Дробно-рациональные уравнения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите ОДЗ уравнения $\\dfrac{2}{x-1}+\\dfrac{3}{x+2}=1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x\\ne-1$ и $x\\ne2$","$x\\ne-2$","$x\\ne1$ и $x\\ne-2$","$x\\ne1$"],"explanations":["Знаки корней знаменателей поменяны: из $x-a=0$ получается $x=a$","Первый знаменатель обращается в нуль при $x=1$, его тоже исключают","","Второй знаменатель обращается в нуль при $x=-2$, его тоже исключают"],"answer":[2]}},"hints":["Каждый знаменатель не равен нулю.","Исключаем $x=1$ и $x=-2$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите ОДЗ уравнения $\\dfrac{4}{x-3}-\\dfrac{1}{x}=2$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x\\ne0$","$x\\ne3$","$x\\ne-3$ и $x\\ne1$","$x\\ne3$ и $x\\ne0$"],"explanations":["Первый знаменатель обращается в нуль при $x=3$, его тоже исключают","Второй знаменатель обращается в нуль при $x=0$, его тоже исключают","Знаки корней знаменателей поменяны: из $x-a=0$ получается $x=a$",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждый знаменатель не равен нулю.","Исключаем $x=3$ и $x=0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x^2-9x+14}{x-7}=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.","Корни числителя: $2$ и $7$; при $x=7$ знаменатель равен нулю.","Ответ: $2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x^2+x-12}{x+4}=0$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.","Корни числителя: $-4$ и $3$; при $x=-4$ знаменатель равен нулю.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Обе части уравнения $\\dfrac{3}{x}+\\dfrac{2}{x-4}=\\dfrac{13}{x^2-4x}$ умножили на общий знаменатель. Получилось уравнение [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3x+2(x-4)=13$","$3(x-4)+2=13$","$3(x-4)+2x=13$","$3+2=13$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Разложим третий знаменатель: $x^2-4x=x(x-4)$. Это и есть общий знаменатель.","Каждую дробь умножаем на общий знаменатель: ее знаменатель сокращается, остается числитель, умноженный на недостающий множитель.","Получается $3(x-4)+2x=13$."],"step":1},{"id":"3","content":"Обе части уравнения $\\dfrac{5}{x+2}-\\dfrac{2}{x}=\\dfrac{4}{x^2+2x}$ умножили на общий знаменатель. Получилось уравнение [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$5-2=4$","$5(x+2)-2x=4$","$5x-2=4$","$5x-2(x+2)=4$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Разложим третий знаменатель: $x^2+2x=x(x+2)$. Это и есть общий знаменатель.","Каждую дробь умножаем на общий знаменатель: ее знаменатель сокращается, остается числитель, умноженный на недостающий множитель.","Получается $5x-2(x+2)=4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Дано уравнение $\\dfrac{(x-1)(x+2)(x-5)}{x(x-5)}=0$. Распределите числа: являются они его корнями или нет. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Корень уравнения","Не корень"],"items":[["$1$","$-2$"],["$5$","$0$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.","Числитель равен нулю при $x=1$, $x=-2$ и $x=5$; знаменатель — при $x=0$ и $x=5$.","Корни уравнения: $1$ и $-2$. Числа $5$ и $0$ не входят в ОДЗ."],"step":1},{"id":"4","content":"Дано уравнение $\\dfrac{(x+3)(x-2)(x-4)}{x(x+3)}=0$. Распределите числа: являются они его корнями или нет. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Корень уравнения","Не корень"],"items":[["$2$","$4$"],["$-3$","$0$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.","Числитель равен нулю при $x=2$, $x=4$ и $x=-3$; знаменатель — при $x=0$ и $x=-3$.","Корни уравнения: $2$ и $4$. Числа $-3$ и $0$ не входят в ОДЗ."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x+2}{x-2}=\\dfrac{15}{x}$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne2$, $x\\ne0$. Умножаем на $x(x-2)$: $x(x+2)=15(x-2)$.","$x^2+2x=15x-30$, то есть $x^2-13x+30=0$: $x=3$, $x=10$.","Оба корня входят в ОДЗ. Наибольший: $10$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $\\dfrac{x+3}{x-3}=\\dfrac{20}{x}$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne3$, $x\\ne0$. Умножаем на $x(x-3)$: $x(x+3)=20(x-3)$.","$x^2+3x=20x-60$, то есть $x^2-17x+60=0$: $x=5$, $x=12$.","Оба корня входят в ОДЗ. Наибольший: $12$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сколько корней имеет уравнение $\\dfrac{x^2}{x-3}=\\dfrac{9}{x-3}$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne3$. Знаменатели равны, значит $x^2=9$, то есть $x=\\pm3$.","Корень $x=3$ не входит в ОДЗ.","Остается один корень."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сколько корней имеет уравнение $\\dfrac{x^2}{x+4}=\\dfrac{16}{x+4}$? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne-4$. Знаменатели равны, значит $x^2=16$, то есть $x=\\pm4$.","Корень $x=-4$ не входит в ОДЗ.","Остается один корень."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал уравнение $\\dfrac{x^2-4}{x+2}=0$: «Числитель равен нулю при $x=2$ и $x=-2$. Ответ: $2;\\ -2$». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Числитель равен нулю только при $x=2$","Числитель нельзя приравнивать к нулю","Корень $x=2$ посторонний","Корень $x=-2$ посторонний"],"explanations":["Уравнение $x^2=4$ имеет два корня, $x=2$ и $x=-2$","Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: способ верный, не хватает проверки знаменателя","При $x=2$ знаменатель равен $4$ и не нуль, корень подходит",""],"answer":[3]}},"hints":["Числитель $x^2-4$ равен нулю при $x=\\pm2$.","При $x=-2$ знаменатель $x+2$ равен нулю.","Корень $x=-2$ посторонний, ответ: $2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал уравнение $\\dfrac{x^2-25}{x-5}=0$: «Числитель равен нулю при $x=5$ и $x=-5$. Ответ: $5;\\ -5$». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Корень $x=5$ посторонний","Числитель равен нулю только при $x=-5$","Числитель нельзя приравнивать к нулю","Корень $x=-5$ посторонний"],"explanations":["","Уравнение $x^2=25$ имеет два корня, $x=5$ и $x=-5$","Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: способ верный, не хватает проверки знаменателя","При $x=-5$ знаменатель равен $-10$ и не нуль, корень подходит"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель $x^2-25$ равен нулю при $x=\\pm5$.","При $x=5$ знаменатель $x-5$ равен нулю.","Корень $x=5$ посторонний, ответ: $-5$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решал уравнение $\\dfrac{2x}{x-1}=\\dfrac{x+1}{x-1}$: «Знаменатели одинаковые, убираю их: $2x=x+1$, $x=1$. Ответ: $1$». Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Неверно решено уравнение $2x=x+1$","Корень $x=1$ посторонний","Ошибки нет: ответ $x=1$ верный","Знаменатели убирать нельзя"],"explanations":["Из $2x=x+1$ действительно $x=1$: уравнение без дробей решено верно","","При $x=1$ знаменатель $x-1$ равен нулю, такое значение подставлять нельзя","Убирать можно: при равных знаменателях равны числители. Но корень нужно сверить с ОДЗ"],"answer":[1]}},"hints":["Уравнение $2x=x+1$ решено верно: $x=1$.","Но при $x=1$ знаменатель $x-1$ равен нулю: ОДЗ $x\\ne1$.","Корень $x=1$ посторонний, других нет. Ответ: корней нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решал уравнение $\\dfrac{3x}{x+2}=\\dfrac{x-4}{x+2}$: «Знаменатели одинаковые, убираю их: $3x=x-4$, $x=-2$. Ответ: $-2$». Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Корень $x=-2$ посторонний","Знаменатели убирать нельзя","Неверно решено уравнение $3x=x-4$","Ошибки нет: ответ $x=-2$ верный"],"explanations":["","Убирать можно: при равных знаменателях равны числители. Но корень нужно сверить с ОДЗ","Из $3x=x-4$ действительно $x=-2$: уравнение без дробей решено верно","При $x=-2$ знаменатель $x+2$ равен нулю, такое значение подставлять нельзя"],"answer":[0]}},"hints":["Уравнение $3x=x-4$ решено верно: $x=-2$.","Но при $x=-2$ знаменатель $x+2$ равен нулю: ОДЗ $x\\ne-2$.","Корень $x=-2$ посторонний, других нет. Ответ: корней нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком положительном значении $a$ уравнение $\\dfrac{x^2}{x-a}=\\dfrac{9}{x-a}$ имеет ровно один корень? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne a$. Умножаем на $x-a$: $x^2=9$, то есть $x=3$ или $x=-3$.","Корней два, пока $a$ не равно ни $3$, ни $-3$. Если $a=3$, корень $3$ посторонний, и остается один.","Положительное значение: $a=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком положительном значении $a$ уравнение $\\dfrac{x^2}{x-a}=\\dfrac{16}{x-a}$ имеет ровно один корень? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne a$. Умножаем на $x-a$: $x^2=16$, то есть $x=4$ или $x=-4$.","Корней два, пока $a$ не равно ни $4$, ни $-4$. Если $a=4$, корень $4$ посторонний, и остается один.","Положительное значение: $a=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите корень уравнения $\\dfrac{x}{x-3}+\\dfrac{3}{x+3}=\\dfrac{18}{x^2-9}$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne3$, $x\\ne-3$. Умножаем на $x^2-9$: $x(x+3)+3(x-3)=18$.","$x^2+6x-27=0$: $x=3$ и $x=-9$ — по формуле или по теореме Виета.","Корень $x=3$ не входит в ОДЗ. Ответ: $-9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите корень уравнения $\\dfrac{x}{x-2}+\\dfrac{2}{x+2}=\\dfrac{8}{x^2-4}$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne2$, $x\\ne-2$. Умножаем на $x^2-4$: $x(x+2)+2(x-2)=8$.","$x^2+4x-12=0$: $x=2$ и $x=-6$ — по формуле или по теореме Виета.","Корень $x=2$ не входит в ОДЗ. Ответ: $-6$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>