Уравнения третьей и четвертой степени

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите уравнение $x^3-16x=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Выносим $x$: $x(x^2-16)=0$.","$x=0$ или $x^2=16$: $x=\\pm4$.","Наибольший корень: $4$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите уравнение $x^3-25x=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Выносим $x$: $x(x^2-25)=0$.","$x=0$ или $x^2=25$: $x=\\pm5$.","Наибольший корень: $5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^3+3x^2-4x-12=0$. В ответе запишите сумму корней. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Группируем: $x^2(x+3)-4(x+3)=0$, то есть $(x+3)(x^2-4)=0$.","$x=-3$, $x=\\pm2$.","Сумма: $-3$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^3-3x^2-4x+12=0$. В ответе запишите сумму корней. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Группируем: $x^2(x-3)-4(x-3)=0$, то есть $(x-3)(x^2-4)=0$.","$x=3$, $x=\\pm2$.","Сумма: $3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите наибольший корень уравнения $x^4-16=0$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$.","$x^2+4=0$ корней не имеет; $x^2=4$ дает $x=\\pm2$.","Наибольший корень: $2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите наибольший корень уравнения $x^4-625=0$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$x^4-625=(x^2-25)(x^2+25)$.","$x^2+25=0$ корней не имеет; $x^2=25$ дает $x=\\pm5$.","Наибольший корень: $5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Соотнесите уравнение и равносильное ему уравнение с разложенной левой частью. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^3-64x=0$","$x^3+2x^2-x-2=0$","$x^4-16=0$"],"items":["$x(x-8)(x+8)=0$","$(x+2)(x-1)(x+1)=0$","$(x-2)(x+2)(x^2+4)=0$","$x^2-64=0$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и разложение","hints":["Первое уравнение: выносим общий множитель $x$ и раскладываем разность квадратов.","Второе: группируем слагаемые парами и выносим общую скобку. Третье: дважды применяем формулу разности квадратов.","Вариант $x^2-64=0$ лишний: он получается делением на $x$, при котором теряется корень $x=0$."],"step":1},{"id":"4","content":"Соотнесите уравнение и равносильное ему уравнение с разложенной левой частью. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^3-49x=0$","$x^3-x^2-9x+9=0$","$x^4-256=0$"],"items":["$x(x-7)(x+7)=0$","$(x-1)(x-3)(x+3)=0$","$(x-4)(x+4)(x^2+16)=0$","$x^2-49=0$"]}},"instruction":"Соотнесите уравнение и разложение","hints":["Первое уравнение: выносим общий множитель $x$ и раскладываем разность квадратов.","Второе: группируем слагаемые парами и выносим общую скобку. Третье: дважды применяем формулу разности квадратов.","Вариант $x^2-49=0$ лишний: он получается делением на $x$, при котором теряется корень $x=0$."],"step":1},{"id":"5","content":"Уравнение $x^3-5x^2+2x-10=0$ имеет [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["два корня","один корень","ни одного корня","три корня"],"answer":1}},"instruction":"Выберите число корней","hints":["Группируем: $(x-5)(x^2+2)=0$.","Множитель $x^2+2$ положителен при любом $x$ и в нуль не обращается.","Единственный корень $x=5$: ответ — один корень."],"step":1},{"id":"5","content":"Уравнение $x^3+4x^2+3x+12=0$ имеет [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["три корня","два корня","ни одного корня","один корень"],"answer":3}},"instruction":"Выберите число корней","hints":["Группируем: $(x+4)(x^2+3)=0$.","Множитель $x^2+3$ положителен при любом $x$ и в нуль не обращается.","Единственный корень $x=-4$: ответ — один корень."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решал уравнение $x^3=9x$: «Сокращаем на $x$, получаем $x^2=9$, откуда $x=\\pm3$. Ответ: $3;\\ -3$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было делить на $x^2$","Корень $x=-3$ лишний в ответе","Ошибок нет, корни $\\pm3$ верны","Потерян корень $x=0$"],"explanations":["Деление на $x^2$ также теряет корень $x=0$","Подстановка $x=-3$ дает верное равенство: корень не лишний","Корни $\\pm3$ верны, но подстановка $x=0$ показывает: ответ неполный",""],"answer":[3]}},"hints":["Деление на $x$ допустимо при $x\\ne0$.","Подстановка $x=0$ в уравнение дает верное равенство.","Верно так: $x(x^2-9)=0$, корни $0$, $3$, $-3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решал уравнение $x^3=25x$: «Сокращаем на $x$, получаем $x^2=25$, откуда $x=\\pm5$. Ответ: $5;\\ -5$». Найдите ошибку.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Потерян корень $x=0$","Надо было делить на $x^2$","Корень $x=-5$ лишний в ответе","Ошибок нет, корни $\\pm5$ верны"],"explanations":["","Деление на $x^2$ также теряет корень $x=0$","Подстановка $x=-5$ дает верное равенство: корень не лишний","Корни $\\pm5$ верны, но подстановка $x=0$ показывает: ответ неполный"],"answer":[0]}},"hints":["Деление на $x$ допустимо при $x\\ne0$.","Подстановка $x=0$ в уравнение дает верное равенство.","Верно так: $x(x^2-25)=0$, корни $0$, $5$, $-5$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал уравнение $x^3-2x^2-9x+18=0$: «Группируем: $(x-2)(x^2-9)=0$. Из $x-2=0$ получаем $x=2$. Множитель $x^2-9$ уже не раскладывается, поэтому других корней нет. Ответ: $2$». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Множитель $x^2-9$ тоже обращается в нуль: $x=\\pm3$ — еще два корня","Корень $x=2$ лишний","Группировка выполнена неверно","Надо было разделить обе части на $x^2-9$"],"explanations":["","Подстановка $x=2$ дает $8-8-18+18=0$: корень верный","Раскрытие скобок $(x-2)(x^2-9)$ возвращает исходный многочлен, группировка верная","Деление на выражение с переменной теряет корни, надо приравнивать к нулю каждый множитель"],"answer":[0]}},"hints":["Группировка выполнена верно.","Множитель $x^2-9$ тоже можно приравнять к нулю: $x^2=9$.","Остальные корни: $3$ и $-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал уравнение $x^3+x^2-16x-16=0$: «Группируем: $(x+1)(x^2-16)=0$. Из $x+1=0$ получаем $x=-1$. Множитель $x^2-16$ уже не раскладывается, поэтому других корней нет. Ответ: $-1$». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Группировка выполнена неверно","Множитель $x^2-16$ тоже обращается в нуль: $x=\\pm4$ — еще два корня","Надо было разделить обе части на $x^2-16$","Корень $x=-1$ лишний"],"explanations":["Раскрытие скобок $(x+1)(x^2-16)$ возвращает исходный многочлен, группировка верная","","Деление на выражение с переменной теряет корни, надо приравнивать к нулю каждый множитель","Подстановка $x=-1$ дает $-1+1+16-16=0$: корень верный"],"answer":[1]}},"hints":["Группировка выполнена верно.","Множитель $x^2-16$ тоже можно приравнять к нулю: $x^2=16$.","Остальные корни: $4$ и $-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите, сколько различных чисел являются корнями уравнения $x^3-6x^2+9x=0$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Три","Четыре","Два","Один"],"explanations":["Корень $x=3$ у квадратного множителя один ($D=0$), его посчитали дважды","У уравнения третьей степени не больше трех корней","","Обе части разделили на $x$ и потеряли корень $x=0$"],"answer":[2]}},"hints":["Выносим $x$: $x(x^2-6x+9)=0$, то есть $x(x-3)^2=0$.","$x=0$ или $(x-3)^2=0$, откуда $x=3$: у квадратного множителя $D=0$.","Различных корней два."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите, сколько различных чисел являются корнями уравнения $x^3+4x^2+4x=0$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Два","Один","Четыре","Три"],"explanations":["","Обе части разделили на $x$ и потеряли корень $x=0$","У уравнения третьей степени не больше трех корней","Корень $x=-2$ у квадратного множителя один ($D=0$), его посчитали дважды"],"answer":[0]}},"hints":["Выносим $x$: $x(x^2+4x+4)=0$, то есть $x(x+2)^2=0$.","$x=0$ или $(x+2)^2=0$, откуда $x=-2$: у квадратного множителя $D=0$.","Различных корней два."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите сумму всех различных корней уравнения $x^4-7x^3+12x^2=0$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Выносим $x^2$: $x^2(x^2-7x+12)=0$.","$x=0$ или $x^2-7x+12=0$: корни $3$ и $4$.","Сумма различных корней: $7$."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите сумму всех различных корней уравнения $x^4-3x^3-10x^2=0$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Выносим $x^2$: $x^2(x^2-3x-10)=0$.","$x=0$ или $x^2-3x-10=0$: корни $5$ и $-2$.","Сумма различных корней: $3$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $x^3-2x^2-5x+6=0$. Один из корней — целое число, являющееся делителем свободного члена. В ответе запишите наибольший корень. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Подставляем делители свободного члена $6$: при $x=1$ получаем $1-2-5+6=0$.","Выделяем множитель $(x-1)$: $(x-1)(x^2-x-6)=0$.","$x^2-x-6=0$ дает $x=3$ и $x=-2$. Наибольший корень: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $x^3-x^2-10x-8=0$. Один из корней — целое число, являющееся делителем свободного члена. В ответе запишите наибольший корень. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставляем делители свободного члена $-8$: при $x=-1$ получаем $-1-1+10-8=0$.","Выделяем множитель $(x+1)$: $(x+1)(x^2-2x-8)=0$.","$x^2-2x-8=0$ дает $x=4$ и $x=-2$. Наибольший корень: $4$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>