9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Дробно-рациональные уравнения

Содержание

В уроке «Уравнения третьей и четвертой степени» мы спускались по лестнице степеней: сложное уравнение сводили к уравнениям первой и второй степени. Теперь переменная окажется в знаменателе. В этом уроке научимся находить область допустимых значений, избавляться от дробей с помощью общего знаменателя, сводить такие уравнения к квадратным и отбрасывать посторонние корни. Первое знакомство с этими уравнениями было в уроке «Дробные рациональные уравнения» для 8 класса.

Сначала таможня: где дробь теряет смысл

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Иксератопс решал уравнение

$$\frac{2}{x}+\frac{x}{x-3}=\frac{9}{x^2-3x}$$

Он избавился от дробей и получил квадратное уравнение с корнями $3$ и $-5$. Для проверки он подставил $x=3$ во второе слагаемое и получил $\frac{3}{0}$. На нуль делить нельзя. Значит, в решении ошибка? Или число $3$ все-таки корень?

Все дело в знаменателе. Посмотрим, какие значения принимает дробь $\frac{6}{x-2}$ при разных $x$.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$
$\frac{6}{x-2}$	$-3$	$-6$	$\frac{6}{0}$ — нет смысла	$6$	$2$

При $x=2$ знаменатель равен нулю, и такого числа, как $\frac{6}{0}$, не существует. Для этой дроби значение $x=2$ запрещено, все остальные — допустимы.

Определение

Дробно-рациональное уравнение — уравнение, в котором есть деление на выражение с переменной. Например, $\frac{2}{x}+\frac{x}{x-3}=\frac{9}{x^2-3x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения — все значения переменной, при которых каждый знаменатель не равен нулю.

Вспомним лестницу степеней. Дробное уравнение мы будем спускать на знакомую ступень — к линейному или квадратному уравнению без дробей. Но перед спуском поставим таможню: выпишем значения $x$, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю. Корень, найденный внизу, пройдет таможню, только если его нет в этом списке.

Пример 1

Найдите ОДЗ уравнения $\frac{x}{x+3}-\frac{5}{x^2-4x}=1$.

Первый знаменатель: $x+3\ne0$, то есть $x\ne-3$.

Второй знаменатель разложим на множители: $x^2-4x=x(x-4)$. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель, поэтому $x\ne0$ и $x\ne4$.

Ответ: ОДЗ — все числа, кроме $-3$, $0$ и $4$.

Числовая прямая от минус 5 до 6. В точках минус 3, 0 и 4 знаменатели уравнения x делить на x плюс 3 минус 5 делить на x в квадрате минус 4x равно 1 обращаются в нуль: стоят закрытые шлагбаумы. ОДЗ: x не равно минус 3, 0 и 4 — ОДЗ из примера 1 — вся числовая прямая, кроме точек $-3$, $0$ и $4$: в них стоят шлагбаумы таможни

Как найти ОДЗ

Выпишите все знаменатели, в которых есть переменная.
Разложите каждый знаменатель на множители.
Приравняйте каждый множитель к нулю: найденные числа в ОДЗ не входят.

$$\frac{A}{B}\ \text{имеет смысл}\ \Leftrightarrow\ B\ne0$$

{"questions":[{"content":"Дано уравнение $\\dfrac{4}{x^2-9}+\\dfrac{1}{x}=1$. Распределите числа: входят они в ОДЗ этого уравнения или нет. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Входят в ОДЗ","Не входят в ОДЗ"],"items":[["$-1$","$1$","$9$"],["$-3$","$0$","$3$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Знаменатели уравнения: $x^2-9$ и $x$. Ни один из них не может быть равен нулю.","$x^2-9=0$ при $x=3$ и $x=-3$; знаменатель $x$ равен нулю при $x=0$.","Не входят в ОДЗ: $-3$, $0$, $3$. Остальные числа входят."],"step":1},{"content":"Найдите область допустимых значений (ОДЗ) уравнения $\\dfrac{1}{x-1}+\\dfrac{2}{x+3}=1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x\\ne1$","$x\\ne0$","$x\\ne-1$ и $x\\ne3$","$x\\ne1$ и $x\\ne-3$"],"explanations":["Второй знаменатель $x+3$ тоже обращается в нуль, при $x=-3$","Нуль нужно исключать, только когда $x$ стоит в знаменателе сам по себе, а здесь знаменатели $x-1$ и $x+3$","Знак у числа теряется: из $x-1=0$ получается $x=1$, а не $-1$",""],"answer":[3]}},"hints":["Каждый знаменатель не равен нулю.","$x-1\\ne0$ и $x+3\\ne0$, то есть $x\\ne1$ и $x\\ne-3$."],"step":1}],"mix":1}

Умножаем на общий знаменатель, и дроби исчезают

Уравнения с числовыми знаменателями вы решали в 7 классе, в уроке «Уравнения, которые сводятся к линейным». Например, в уравнении $\frac{x}{2}+\frac{x}{5}=7$ обе части умножают на общий знаменатель $10$: получается $5x+2x=70$, откуда $x=10$. Каждая дробь сократилась, потому что $10$ делится на каждый знаменатель.

Со знаменателями-многочленами поступаем так же. Общий знаменатель составляем из множителей всех знаменателей: каждый множитель берем один раз; если в каком-то знаменателе он стоит в квадрате, берем его в квадрате. Затем умножаем на общий знаменатель каждое слагаемое. От дроби остается числитель, умноженный на недостающие множители.

Умножение на общий знаменатель (x минус 2)(x плюс 2): у дроби 1 делить на x минус 2 остается x плюс 2, у дроби 3 делить на x плюс 2 остается 3(x минус 2), у дроби 8 делить на общий знаменатель остается 8. Сократившиеся множители зачеркнуты. Получается уравнение x плюс 2 плюс 3(x минус 2) равно 8 — Каждая дробь, умноженная на $(x-2)(x+2)$, теряет свой знаменатель и получает недостающий множитель

Пример 2

Решите уравнение $\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}$.

ОДЗ. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, поэтому $x\ne2$ и $x\ne-2$.

Спуск. Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Умножаем на него обе части:

$$(x+2)+3(x-2)=8$$

$x+2+3x-6=8$, $4x=12$, $x=3$.

Таможня. Число $3$ не равно ни $2$, ни $-2$, оно входит в ОДЗ.

Проверка подстановкой: слева $\frac{1}{1}+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$, справа $\frac{8}{9-4}=\frac{8}{5}$.

Ответ: $3$.

Правило

Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель. Каждую дробь сокращают: ее числитель умножается на недостающие множители.

$$\frac{1}{x-2}\cdot(x-2)(x+2)=x+2$$

Почему это верно. Если обе части равенства умножить на одно и то же число, не равное нулю, равенство сохранится. И наоборот: если после умножения на ненулевое число получилось верное равенство, верным было и исходное. На ОДЗ общий знаменатель не равен нулю. Поэтому на ОДЗ новое уравнение имеет те же корни, что и исходное. Вне ОДЗ это рассуждение не работает — к этому вернемся, когда будем говорить о посторонних корнях.

Обратите внимание

ОДЗ выписывают до умножения. После спуска знаменателей уже не видно, и проверять найденные корни будет не с чем. И еще: на общий знаменатель умножают все слагаемые, в том числе те, где дроби нет, например число в правой части.

{"questions":[{"content":"Обе части уравнения $\\dfrac{4}{x}-\\dfrac{1}{x+3}=\\dfrac{6}{x^2+3x}$ умножили на общий знаменатель. Получилось уравнение [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$4(x+3)-x=6$","$4x-(x+3)=6$","$4(x+3)-1=6$","$4-1=6$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Разложим третий знаменатель: $x^2+3x=x(x+3)$. Общий знаменатель — $x(x+3)$.","$\\frac{4}{x}\\cdot x(x+3)=4(x+3)$, $\\ \\frac{1}{x+3}\\cdot x(x+3)=x$, $\\ \\frac{6}{x(x+3)}\\cdot x(x+3)=6$.","Получается $4(x+3)-x=6$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\dfrac{1}{x-1}+\\dfrac{2}{x+1}=\\dfrac{5}{x^2-1}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$x^2-1=(x-1)(x+1)$, ОДЗ: $x\\ne1$, $x\\ne-1$. Умножаем на $x^2-1$.","$(x+1)+2(x-1)=5$, то есть $3x-1=5$.","$x=2$, он входит в ОДЗ."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Дробь равна нулю, только если нулю равен числитель

Сравним три записи. $\frac{0}{5}=0$: нуль, деленный на ненулевое число, равен нулю. $\frac{5}{0}$ не имеет смысла. $\frac{0}{0}$ тоже не имеет смысла: это не число, и тем более не нуль. Значит, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, но знаменатель при этом обязан быть не нулем.

Правило

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$\frac{A}{B}=0\ \Leftrightarrow\ A=0\ \text{и}\ B\ne0$$

Пример 3

Решите уравнение $\frac{x^2-7x+10}{x-5}=0$.

ОДЗ: $x\ne5$.

Числитель равен нулю: $x^2-7x+10=0$, $D=49-40=9$, $x=\frac{7\pm3}{2}$, то есть $x=5$ или $x=2$.

Таможня: $x=5$ не входит в ОДЗ, $x=2$ входит.

Ответ: $2$.

Ошибка

Вообразавр решает уравнение $\frac{x^2-x-12}{x+3}=0$: «Дробь равна нулю, значит, числитель равен нулю: $x^2-x-12=0$, $x=4$ или $x=-3$. Ответ: $4;\ -3$».

Проверим на числах. При $x=-3$ числитель равен $9+3-12=0$, а знаменатель $-3+3=0$. Получается $\frac{0}{0}$ — это не число. Значит, $-3$ не корень.

Где сломалось рассуждение. Вообразавр взял только половину правила: про числитель вспомнил, а условие «знаменатель не равен нулю» пропустил. Корень $-3$ прошел мимо таможни. Верный ответ: $4$.

Уравнение (x в квадрате минус x минус 12) делить на (x плюс 3) равно нулю. Вообразавр записал ответ 4 и минус 3, но минус 3 зачеркнут: при нем знаменатель равен нулю, получается 0 делить на 0, шлагбаум закрыт. Корень 4 проходит. Ответ: 4 — Таможня не пропускает $x=-3$: при нем знаменатель $x+3$ равен нулю. В ответе остается только $4$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На числовой оси отмечены корни числителя дробного уравнения $\\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=0$; красным выделено значение, при котором знаменатель равен нулю. Сколько корней имеет уравнение? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qsafgcvyf4aa.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Корни числителя: $-2$ и $3$.","Значение $x=3$ обращает знаменатель в нуль, оно не входит в ОДЗ.","Остается один корень: $-2$."],"step":1},{"content":"Вообразавр решал уравнение $\\dfrac{x^2-3x-10}{x+2}=0$: «Приравниваю числитель к нулю: $x^2-3x-10=0$, $x=5$ или $x=-2$. Ответ: $5;\\ -2$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корень $x=-2$ посторонний","Числитель нельзя приравнивать к нулю","Неверно решено $x^2-3x-10=0$","Корень $x=5$ посторонний"],"explanations":["","Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет: способ верный, не хватает проверки знаменателя","Подстановка: $25-15-10=0$ и $4+6-10=0$, корни числителя найдены верно","При $x=5$ знаменатель равен $7$, а дробь равна нулю: корень подходит. Посторонний — тот, при котором $x+2=0$"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель равен нулю при $x=5$ и $x=-2$ — это верно.","При $x=-2$ знаменатель $x+2$ равен нулю, дробь не имеет смысла.","Корень $x=-2$ посторонний, остается $5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Откуда берутся посторонние корни

Пример 4

Решите уравнение $\frac{x+1}{x-3}=\frac{4}{x-3}$.

ОДЗ: $x\ne3$.

Спуск. Умножаем обе части на $x-3$: $x+1=4$, $x=3$.

Таможня. Число $3$ не входит в ОДЗ. Других корней у уравнения $x+1=4$ нет.

Ответ: корней нет.

Почему после спуска появился корень, которого у исходного уравнения нет? При $x=3$ множитель $x-3$ равен нулю. Умножая обе части на $x-3$, мы при $x=3$ умножили их на нуль. Такое умножение нельзя отменить: обратно делить на нуль нельзя. Новое уравнение $x+1=4$ уже не помнит, что в исходном был знаменатель $x-3$, и спокойно принимает $x=3$. Исходное уравнение принять это число не может: при $x=3$ обе дроби теряют смысл.

Две числовые прямые в одном масштабе. Сверху уравнение (x плюс 1) делить на (x минус 3) равно 4 делить на (x минус 3): точка 3 выколота, ОДЗ x не равно 3. Снизу уравнение x плюс 1 равно 4: корень x равно 3. Пунктирная стрелка от нижней точки к верхней упирается в закрытый шлагбаум: корень не проходит, корней нет — Единственный корень уравнения $x+1=4$ попадает в выколотую точку $x=3$, поэтому у исходного уравнения корней нет

Определение

Посторонний корень — число, которое является корнем уравнения, полученного после умножения на общий знаменатель, но не входит в ОДЗ исходного уравнения. Посторонний корень не является корнем исходного уравнения.

Правило

При умножении на общий знаменатель корни не теряются, но могут появиться посторонние — значения $x$, при которых общий знаменатель равен нулю. Поэтому каждый найденный корень сверяют с ОДЗ.

$$x_0\ \text{— корень нового уравнения и}\ x_0\ \text{входит в ОДЗ}\ \Rightarrow\ x_0\ \text{— корень исходного}$$

На языке нашей модели: посторонний корень поднялся с нижней ступени, но он есть в списке запрещенных, и таможня его не пропускает. Настоящий корень при таком спуске потеряться не может: он лежит в ОДЗ, а там исходное и новое уравнения имеют одни и те же корни. Корни теряются при делении на выражение с переменной, как в уроке «Уравнения третьей и четвертой степени», а не при умножении.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $\\dfrac{x}{x-2}=\\dfrac{2}{x-2}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Любое число","Любое число, кроме $2$","$x=2$","Корней нет"],"explanations":["Уравнение сводится к $x=2$, а не к верному при любом $x$ равенству","Так было бы при равных числителях. Здесь числители равны только при $x=2$, а это значение запрещено","Корень $x=2$ обращает знаменатель в нуль, подставлять его в уравнение нельзя",""],"answer":[3]}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne2$.","Знаменатели равны, поэтому числители равны: $x=2$.","$x=2$ не входит в ОДЗ. Корней нет."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\dfrac{x^2}{x-5}=\\dfrac{5x}{x-5}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne5$. Знаменатели равны, значит, равны и числители: $x^2=5x$.","На $x$ не делим: $x^2-5x=0$, $x(x-5)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$.","$x=5$ не входит в ОДЗ — посторонний корень. Ответ: $0$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

После спуска получилось квадратное уравнение

Чаще всего после умножения на общий знаменатель получается квадратное уравнение. Тогда решение проходит три шага: таможня, спуск к квадратному уравнению, проверка найденных корней. Рассмотрим, как это выглядит.

Пример 5

Решите уравнение $\frac{2}{x}+\frac{1}{x-2}=1$.

Шаг 1. ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne2$.

Шаг 2. Спуск. Умножаем обе части на $x(x-2)$, включая число $1$ справа:

$$2(x-2)+x=x(x-2)$$

$2x-4+x=x^2-2x$, то есть $x^2-5x+4=0$.

Шаг 3. Корни и таможня. $D=25-16=9$, $x=\frac{5\pm3}{2}$: $x=4$ или $x=1$. Оба числа не равны ни $0$, ни $2$ — оба проходят таможню.

Ответ: $1;\ 4$.

Три шага. Уравнение 2 делить на x плюс 1 делить на x минус 2 равно 1: сначала таможня, x не равно 0 и 2. Умножаем на x(x минус 2), получается x в квадрате минус 5x плюс 4 равно 0, дискриминант 9, корни 1 и 4. Пунктирная стрелка подъема к таможне: 1 и 4 не запрещены, проходят — Три шага: записали ОДЗ, спустились к квадратному уравнению $x^2-5x+4=0$, проверили корни $1$ и $4$ на таможне

Обратите внимание

Посторонних корней может не оказаться, как в примере 5. А может не оказаться корней у самого квадратного уравнения. В уравнении $\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x}$ после умножения на $x(x-1)$ получаем $x^2=2x-2$, то есть $x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D=4-8=-4<0$, поэтому корней нет ни у квадратного, ни у исходного уравнения.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $\\dfrac{x+1}{x-1}=\\dfrac{6}{x}$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne1$, $x\\ne0$. Умножаем на $x(x-1)$: $x(x+1)=6(x-1)$.","$x^2+x=6x-6$, то есть $x^2-5x+6=0$: $x=2$, $x=3$.","Оба корня входят в ОДЗ. Наибольший корень: $3$."],"step":1},{"content":"Найдите сумму корней уравнения $\\dfrac{6}{x}-\\dfrac{6}{x+1}=1$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne0$, $x\\ne-1$. Умножаем на $x(x+1)$: $6(x+1)-6x=x(x+1)$.","$6=x^2+x$, то есть $x^2+x-6=0$: $x=2$, $x=-3$.","Оба корня входят в ОДЗ. Сумма: $2-3=-1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Полное решение: проверка по ОДЗ вместо подстановки

Вернемся к уравнению Иксератопса из начала урока. Теперь Решавр решит его по всем правилам.

Пример 6

Решите уравнение $\frac{2}{x}+\frac{x}{x-3}=\frac{9}{x^2-3x}$.

ОДЗ. $x^2-3x=x(x-3)$. Знаменатели — $x$, $x-3$ и $x(x-3)$, поэтому $x\ne0$, $x\ne3$.

Спуск. Умножаем обе части на $x(x-3)$:

$$2(x-3)+x\cdot x=9$$

$x^2+2x-6=9$, то есть $x^2+2x-15=0$.

Корни. $D=4+60=64$, $x=\frac{-2\pm8}{2}$: $x=3$ или $x=-5$.

Таможня. Число $3$ есть в списке запрещенных — это посторонний корень. Число $-5$ входит в ОДЗ.

Ответ: $-5$.

Вот ответ на вопрос из начала урока. Иксератопс не ошибся в вычислениях: квадратное уравнение действительно имеет корни $3$ и $-5$. Но $3$ — посторонний корень: он появился при умножении на $x(x-3)$, а это выражение при $x=3$ равно нулю. Решавр выписал ОДЗ заранее, поэтому ему не пришлось подставлять $3$ в дроби. Достаточно было сравнить число со списком: $x\ne0$, $x\ne3$.

Алгоритм

Разложите знаменатели на множители и запишите ОДЗ.
Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель — произведение этих множителей.
Решите полученное уравнение без дробей.
Сравните каждый корень с ОДЗ и отбросьте посторонние.
Запишите ответ. Если ни один корень не прошел таможню, ответ — «корней нет».

Почему проверки по ОДЗ достаточно. На ОДЗ общий знаменатель не равен нулю, а умножение на ненулевое выражение не меняет корней. Значит, каждый корень нового уравнения, который входит в ОДЗ, — корень исходного. Подставлять корни в дроби не обязательно. Подстановка полезна для самопроверки: она ловит ошибки в вычислениях, которые таможня не замечает.

drob-odz

Проверьте себя	Если нет
ОДЗ записана до умножения?	Вернитесь к исходному уравнению и выпишите запрещенные значения
Все знаменатели разложены на множители?	Иначе можно пропустить запрещенное значение: $x^2-3x$ равно нулю и при $x=0$, и при $x=3$
На общий знаменатель умножено каждое слагаемое, включая числа?	Повторите умножение
Каждый корень сравнен с ОДЗ?	Сравните и отбросьте посторонние

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги решения дробно-рационального уравнения в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Раскладываем знаменатели на множители и записываем ОДЗ","Умножаем обе части на общий знаменатель — произведение этих множителей","Решаем уравнение без дробей, которое получили после умножения","Сравниваем с ОДЗ корни, которые получили","Записываем в ответ то, что осталось после сравнения"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Знаменатели раскладывают на множители: из них получаются и ОДЗ, и общий знаменатель.","После умножения решают уравнение без дробей.","Найденные корни сверяют с ОДЗ и только потом записывают ответ."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $\\dfrac{x+2}{x-1}-\\dfrac{3}{x+1}=\\dfrac{6}{x^2-1}$. В ответ запишите количество его корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ne1$, $x\\ne-1$. Умножаем на $x^2-1=(x-1)(x+1)$: $(x+2)(x+1)-3(x-1)=6$.","$x^2+3x+2-3x+3=6$, то есть $x^2=1$: $x=1$ или $x=-1$.","Оба числа не входят в ОДЗ, оба корня посторонние. Корней нет: ответ $0$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Дробно-рациональные уравнения встречаются в задачах второй части экзамена и сразу понадобятся дальше. В уроке «Текстовые задачи: движение» время равно пути, деленному на скорость, и уравнение получается дробным. Чтобы вспомнить главное, представьте ту же лестницу: умножение на общий знаменатель спускает уравнение на ступень без дробей, а ОДЗ — таможня на обратном пути.

Что видим	Что делаем	Как это на лестнице
Переменная в знаменателе	Записываем ОДЗ до любых преобразований	Ставим таможню
Несколько дробей	Умножаем обе части на общий знаменатель	Спускаемся на ступень без дробей
Дробь равна нулю	Числитель равен нулю, знаменатель — нет	Таможня проверяет знаменатель
Корень не входит в ОДЗ	Отбрасываем: он посторонний	Таможня его не пропускает
После спуска — квадратное уравнение	Решаем через дискриминант, оба корня сверяем с ОДЗ	Две ступени вниз и таможня

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли записывать ОДЗ, если можно подставить корни в уравнение?

Подстановка тоже отсеет посторонний корень: при нем в знаменателе получится нуль. Но подставлять корни в несколько дробей долго, и легко ошибиться. Сравнить число со списком запрещенных значений проще и надежнее, поэтому ОДЗ записывают в начале решения.

Может ли при умножении на общий знаменатель потеряться корень?

Нет. Каждый корень исходного уравнения лежит в ОДЗ, а там умножение на общий знаменатель не меняет корней. Умножение может только добавить посторонние корни. Корни теряются при делении на выражение с переменной — например, при делении обеих частей на $x$.

Можно ли сначала сократить дробь?

Можно, но ОДЗ записывают по исходному уравнению. Дробь $\frac{x^2-7x+10}{x-5}$ после сокращения превращается в $x-2$, однако значение $x=5$ для исходного уравнения все равно запрещено.

Что писать в ответе, если все корни оказались посторонними?

Пишут «корней нет». Так было в примере 4: уравнение $x+1=4$ дало только число $3$, а оно не входит в ОДЗ.

Почему в уравнениях с числовыми знаменателями посторонних корней не бывает?

Числовой знаменатель, например $10$, никогда не равен нулю. ОДЗ такого уравнения — все числа, и умножение на общий знаменатель всегда идет на ненулевое число. Посторонние корни появляются, только когда общий знаменатель содержит переменную.

Награды за урок