Биквадратные уравнения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое из уравнений можно решить заменой $t=x^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^4-8x^2+7=0$","$x^3-8x^2+7=0$","$x^4-8x+7=0$","$x^4-8x^3+7=0$"],"explanations":["","Нет четвертой степени: это кубическое уравнение","Есть $x$ в первой степени, заменой $t=x^2$ его не записать","Есть $x^3$: через $x^2$ оно не выражается"],"answer":[0]}},"hints":["Нужны только степени $x^4$, $x^2$ и свободный член.","Подходит $x^4-8x^2+7=0$."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое из уравнений можно решить заменой $t=x^2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$2x^4+9x^3-5=0$","$2x^4+9x-5=0$","$2x^4+9x^2-5=0$","$2x^3+9x^2-5=0$"],"explanations":["Член $9x^3$ с нечетной степенью не выражается через $x^2$","Есть $x$ в первой степени, заменой $t=x^2$ его не записать","","Третья степень не сводится к квадратному уравнению заменой $t=x^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Нужны только степени $x^4$, $x^2$ и свободный член.","Подходит $2x^4+9x^2-5=0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^4-34x^2+225=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2-34t+225=0$, $t_1=9$, $t_2=25$.","$x^2=9$ и $x^2=25$ дают корни $\\pm3$ и $\\pm5$.","Наибольший корень: $5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^4-17x^2+16=0$. В ответе запишите наибольший корень. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2-17t+16=0$, $t_1=1$, $t_2=16$.","$x^2=1$ и $x^2=16$ дают корни $\\pm1$ и $\\pm4$.","Наибольший корень: $4$."],"step":1},{"id":"3","content":"Расставьте шаги решения уравнения $x^4-7x^2-18=0$ в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: получаем $t^2-7t-18=0$","Тогда из этого уравнения находим $t_1=9$, $t_2=-2$","Тогда значение $t_2=-2$ отбрасываем: $x^2$ не бывает отрицательным","Значит, остается $x^2=9$, откуда $x=\\pm3$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала вводят новую переменную $t=x^2$ и решают уравнение по $t$.","Затем проверяют знак каждого значения $t$.","Только потом возвращаются к $x$: ответ $x=\\pm3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Расставьте шаги решения уравнения $x^4-21x^2-100=0$ в верном порядке. [[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: получаем $t^2-21t-100=0$","Тогда из этого уравнения находим $t_1=25$, $t_2=-4$","Тогда значение $t_2=-4$ отбрасываем: $x^2$ не бывает отрицательным","Значит, остается $x^2=25$, откуда $x=\\pm5$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала вводят новую переменную $t=x^2$ и решают уравнение по $t$.","Затем проверяют знак каждого значения $t$.","Только потом возвращаются к $x$: ответ $x=\\pm5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Уравнение $x^4+2x^2-8=0$ имеет [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["ни одного корня","четыре корня","один корень","два корня"],"answer":3}},"instruction":"Выберите число корней","hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2+2t-8=0$, $t_1=-4$, $t_2=2$.","$t=-4$ не подходит: $x^2$ не бывает отрицательным. $t=2$ дает $x=\\pm\\sqrt{2}$.","Ответ: два корня."],"step":1},{"id":"4","content":"Уравнение $x^4+5x^2-14=0$ имеет [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["ни одного корня","два корня","один корень","четыре корня"],"answer":1}},"instruction":"Выберите число корней","hints":["Пусть $t=x^2$, $t\\ge0$: $t^2+5t-14=0$, $t_1=-7$, $t_2=2$.","$t=-7$ не подходит: $x^2$ не бывает отрицательным. $t=2$ дает $x=\\pm\\sqrt{2}$.","Ответ: два корня."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решал уравнение $x^4-29x^2+100=0$: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2-29t+100=0$, $t_1=4$, $t_2=25$. Ответ: $4;\\ 25$». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Уравнение $t^2-29t+100=0$ решено неверно","В ответ нужно записать только $2$ и $5$","В ответ записаны значения $t$: надо решить $x^2=4$ и $x^2=25$, корни $\\pm2$ и $\\pm5$","Одно из значений $t$ надо отбросить"],"explanations":["Подстановка $t=4$ и $t=25$ дает верные равенства: значения $t$ найдены верно","Отрицательные числа $-2$ и $-5$ тоже удовлетворяют уравнениям $x^2=4$ и $x^2=25$","","Отбрасывают только отрицательные $t$, а здесь оба значения положительны"],"answer":[2]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","Но $t$ — это $x^2$, а не $x$: нужно решить $x^2=4$ и $x^2=25$.","Корни: $\\pm2$ и $\\pm5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решал уравнение $x^4-26x^2+25=0$: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2-26t+25=0$, $t_1=1$, $t_2=25$. Ответ: $1;\\ 25$». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["В ответ нужно записать только $1$ и $5$","В ответ записаны значения $t$: надо решить $x^2=1$ и $x^2=25$, корни $\\pm1$ и $\\pm5$","Одно из значений $t$ надо отбросить","Уравнение $t^2-26t+25=0$ решено неверно"],"explanations":["Отрицательные числа $-1$ и $-5$ тоже удовлетворяют уравнениям $x^2=1$ и $x^2=25$","","Отбрасывают только отрицательные $t$, а здесь оба значения положительны","Подстановка $t=1$ и $t=25$ дает верные равенства: значения $t$ найдены верно"],"answer":[1]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","Но $t$ — это $x^2$, а не $x$: нужно решить $x^2=1$ и $x^2=25$.","Корни: $\\pm1$ и $\\pm5$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решал уравнение $x^4+2x^2-15=0$: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2+2t-15=0$, $t_1=3$, $t_2=-5$. Значит, $x=\\pm\\sqrt3$ и $x=\\pm\\sqrt5$». Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Корни $\\pm\\sqrt3$ тоже надо отбросить, они иррациональные","Из $t=3$ нужно взять один корень","Уравнение $t^2+2t-15=0$ решено неверно","Из $t=-5$ корней нет: $x^2$ не бывает отрицательным, корни $\\pm\\sqrt5$ лишние"],"explanations":["Иррациональное число — вполне допустимый корень уравнения","Из $x^2=3$ получаются оба корня $\\pm\\sqrt3$","Подстановка: $3^2+6-15=0$ и $(-5)^2-10-15=0$, значения $t$ найдены верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","$t_2=-5$ не может быть значением $x^2$.","Остается $x=\\pm\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решал уравнение $x^4+4x^2-21=0$: «Пусть $t=x^2$. Тогда $t^2+4t-21=0$, $t_1=3$, $t_2=-7$. Значит, $x=\\pm\\sqrt3$ и $x=\\pm\\sqrt7$». Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Из $t=-7$ корней нет: $x^2$ не бывает отрицательным, корни $\\pm\\sqrt7$ лишние","Из $t=3$ нужно взять один корень","Корни $\\pm\\sqrt3$ тоже надо отбросить, они иррациональные","Уравнение $t^2+4t-21=0$ решено неверно"],"explanations":["","Из $x^2=3$ получаются оба корня $\\pm\\sqrt3$","Иррациональное число — вполне допустимый корень уравнения","Подстановка: $3^2+12-21=0$ и $(-7)^2-28-21=0$, значения $t$ найдены верно"],"answer":[0]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","$t_2=-7$ не может быть значением $x^2$.","Остается $x=\\pm\\sqrt3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите сумму квадратов всех корней уравнения $x^4-5x^2+6=0$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$t=x^2$: $t^2-5t+6=0$, $t_1=2$, $t_2=3$.","Корни: $\\pm\\sqrt{2}$ и $\\pm\\sqrt{3}$, их квадраты — по два раза $2$ и $3$.","Сумма: $2\\cdot2+2\\cdot3=10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите сумму квадратов всех корней уравнения $x^4-7x^2+12=0$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$t=x^2$: $t^2-7t+12=0$, $t_1=3$, $t_2=4$.","Корни: $\\pm\\sqrt{3}$ и $\\pm\\sqrt{4}$, их квадраты — по два раза $3$ и $4$.","Сумма: $2\\cdot3+2\\cdot4=14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком отрицательном значении $b$ уравнение $x^4+bx^2+4=0$ имеет ровно два корня? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["По $t=x^2$: $t^2+bt+4=0$. Два корня по $x$ даст единственное положительное $t$.","Значит, $D=b^2-16=0$ и $b^2=16$.","Условие $b<0$ оставляет $b=-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком отрицательном значении $b$ уравнение $x^4+bx^2+9=0$ имеет ровно два корня? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["По $t=x^2$: $t^2+bt+9=0$. Два корня по $x$ даст единственное положительное $t$.","Значит, $D=b^2-36=0$ и $b^2=36$.","Условие $b<0$ оставляет $b=-6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Корни уравнения $x^4+bx^2+c=0$ равны $\\pm1$ и $\\pm3$. Найдите $b+c$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Значения $t=x^2$ равны $1$ и $9$.","По теореме Виета для $t$: $b=-(1+9)=-10$, $c=1\\cdot9=9$.","$b+c=-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Корни уравнения $x^4+bx^2+c=0$ равны $\\pm2$ и $\\pm3$. Найдите $b+c$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"23"}},"hints":["Значения $t=x^2$ равны $4$ и $9$.","По теореме Виета для $t$: $b=-(4+9)=-13$, $c=4\\cdot9=36$.","$b+c=23$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наибольший корень уравнения $x^4=(4x-5)^2$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Из $x^4=(4x-5)^2$ следует $x^2=4x-5$ или $x^2=-(4x-5)$.","$x^2-4x+5=0$: $D<0$, корней нет. $x^2+4x-5=0$: $x=-5$, $x=1$.","Наибольший корень: $1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наибольший корень уравнения $x^4=(2x+3)^2$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Из $x^4=(2x+3)^2$ следует $x^2=2x+3$ или $x^2=-(2x+3)$.","$x^2-2x-3=0$: $x=-1$, $x=3$. $x^2+2x+3=0$: $D<0$, корней нет.","Наибольший корень: $3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>