Уравнения, приводимые к квадратным

1. Введение новой переменной. Пусть $x^2 = t$.
2. Ограничение на переменную. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, вводим условие: $t \geq 0$.
3. Составление квадратного уравнения. Заменяем $x^4$ на $t^2$, а $x^2$ на $t$:$$t^2-13t + 36 = 0$$
4. Решение квадратного уравнения. Находим корни с помощью дискриминанта:$$D = (-13)^2-4 \cdot 1 \cdot 36 = 169-144 = 25 = 5^2$$$$t_1 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$$$$t_2 = \frac{13-5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$$
5. Проверка ограничений. Оба полученных значения ($t_1 = 9$ и $t_2 = 4$) больше нуля, поэтому они подходят.
6. Обратная замена. Возвращаемся к переменной $x$:
   • из первого корня: $x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3$
   • из второго корня: $x^2 = 4 \implies x_3 = 2, \quad x_4 = -2$

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

1. Введение новой переменной. Пусть $x^2 = t$.
2. Ограничение на переменную. Условие: $t \geq 0$.
3. Составление квадратного уравнения:$$t^2-3t-4 = 0$$
4. Решение квадратного уравнения. Находим корни (например, по теореме Виета):$$t_1 = 4$$$$t_2 = -1$$
5. Проверка ограничений. Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $t \geq 0$.
   • Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$ (квадрат действительного числа не может быть равен $-1$). Этот корень мы отсеиваем.
6. Обратная замена. Работаем только с подходящим значением $t = 4$:$$x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2$$

Ответ: $-2; 2$.

1. Введение новой переменной. Пусть $x^2 = t$.
2. Ограничение на переменную. Условие: $t \geq 0$.
3. Составление квадратного уравнения:$$t^2 + 7t + 10 = 0$$
4. Решение квадратного уравнения. Находим корни:$$D = 7^2-4 \cdot 1 \cdot 10 = 49-40 = 9 = 3^2$$$$t_1 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$$$t_2 = \frac{-7-3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
5. Проверка ограничений. Оба корня ($t_1 = -2$ и $t_2 = -5$) являются отрицательными числами. Ни один из них не удовлетворяет условию $t \geq 0$.
6. Обратная замена. Поскольку подходящих значений $t$ нет, уравнения $x^2 = -2$ и $x^2 = -5$ не имеют решений в действительных числах.

Ответ: Действительных корней нет.

1. Введение новой переменной. Мы видим, что выражение в скобках $(x^2-x)$ полностью дублируется. Обозначим этот блок буквой $t$:$$x^2-x = t$$
2. Переход к квадратному уравнению. Заменяем скобки на переменную $t$ и получаем простое квадратное уравнение:$$t^2-8t + 12 = 0$$
3. Решение относительно $t$. Находим корни с помощью дискриминанта (или по теореме Виета):$$D = (-8)^2-4 \cdot 1 \cdot 12 = 64-48 = 16 = 4^2$$$$t_1 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$$$t_2 = \frac{8-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$Ограничений на $t$ нет, поэтому оба значения используются для дальнейшего расчета.
4. Обратная замена. Возвращаемся к исходной переменной $x$, приравнивая выражение $(x^2-x)$ к найденным числам $6$ и $2$.
   • Случай 1 (при $t_1 = 6$):$$x^2-x = 6 \implies x^2-x-6 = 0$$Решаем через дискриминант:$$D = (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$$$$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1-5}{2} = -2$$
   • Случай 2 (при $t_2 = 2$):$$x^2 — x = 2 \implies x^2-x-2 = 0$$Решаем через дискриминант:$$D = (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$$$$x_3 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_4 = \frac{1-3}{2} = -1$$
5. Нахождение финального ответа. Запишем все четыре полученных целых числа в порядке возрастания.

Ответ: $-2; -1; 2; 3$.

$$(x^2-5x)^2-2(x^2-5x)-24 = 0$$

1. Введение новой переменной. Видим, что выражение в скобках $(x^2-5x)$ повторяется дважды. Заменяем его новой переменной:$$\text{Пусть } x^2-5x = t$$
2. Переход к квадратному уравнению. Подставляем $t$ вместо скобок и получаем уравнение:$$t^2-2t-24 = 0$$
3. Решение относительно $t$. Находим корни через дискриминант:$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$$$$t_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$$$$t_2 = \frac{2-10}{2} = -4$$
4. Обратная замена. Переходим к переменной $x$, приравнивая выражение $(x^2-5x)$ к найденным числам $6$ и $-4$.
   • Случай 1 (при $t_1 = 6$):$$x^2-5x = 6 \implies x^2-5x-6 = 0$$Находим корни:$$D = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$$$$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{5-7}{2} = -1$$
   • Случай 2 (при $t_2 = -4$):$$x^2 — 5x = -4 \implies x^2 — 5x + 4 = 0$$Находим корни:$$D = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 25-16 = 9 = 3^2$$$$x_3 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_4 = \frac{5-3}{2} = 1$$
5. Нахождение финального ответа. Расставим все четыре полученных целых корня по порядку.

Ответ: $-1; 1; 4; 6$.

1. Анализ знаменателей и поиск ОДЗ. Дробь теряет смысл, если ее знаменатель обращается в ноль. Заметим, что знаменатель правой дроби раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x + 2)$. Приравняем знаменатели к нулю, чтобы найти «запрещенные» значения переменной:
   $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$
   $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
   ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
2. Перенос всех членов в одну часть и поиск общего знаменателя. Перенесем дробь из правой части влево с противоположным знаком, чтобы приравнять уравнение к нулю. Общим знаменателем для всех трех дробей будет выражение $(x-2)(x + 2)$.$$\frac{x}{x + 2} + \frac{1}{x-2}-\frac{4}{(x-2)(x + 2)} = 0$$Определим дополнительные множители для каждой дроби:Для первой дроби: $(x-2)$;Для второй дроби: $(x + 2)$;Для третьей дроби: $1$.
3. Избавление от знаменателя (переход к целому уравнению). Запишем все выражения над общей чертой дроби:$$\frac{x \cdot (x-2) + 1 \cdot (x + 2)-4}{(x-2)(x + 2)} = 0$$Дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл. Так как ограничения мы уже выписали в ОДЗ, мы можем перейти к решению уравнения для числителя:$$x(x-2) + (x + 2)-4 = 0$$
4. Раскрытие скобок и приведение к квадратному виду. Раскрываем скобки и упрощаем получившееся выражение:$$x^2-2x + x + 2-4 = 0$$Приводим подобные слагаемые:$$x^2-x-2= 0$$Мы получили стандартное квадратное уравнение.
5. Решение квадратного уравнения. Решим уравнение с помощью дискриминанта:$$D = (-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$$Находим корни:$$x_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 1} = 2, \quad x_2 = \frac{1-3}{2 \cdot 1} = -1$$
6. Проверка корней по ОДЗ. Теперь сопоставим найденные корни с ограничениями, которые мы определили в первом пункте ($x \neq -2$ и $x \neq 2$):Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при подстановке в исходное уравнение он обращает знаменатели второй и третьей дробей в ноль. Это посторонний корень.Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ, так как он не равен ни $2$, ни $-2$.

Ответ: $-1$.