9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Задачи на движение: от таблицы к уравнению

Содержание

В уроке «Дробно-рациональные уравнения» вы решали уравнения с переменной в знаменателе и отсеивали посторонние корни. Здесь такие уравнения появятся из задач на движение по дороге, по озеру и по реке. Научимся переводить условие в таблицу, составлять по ней уравнение и выбирать ответ, который имеет смысл. Похожие задачи с линейными уравнениями разобраны в уроке «Решение задач с помощью уравнений».

Путь — это площадь прямоугольника

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Катер в стоячей воде идет со скоростью $12$ км/ч. Он проходит $45$ км вниз по реке и возвращается обратно. Скорость течения $3$ км/ч: на пути туда река помогает катеру, на пути обратно мешает — на одни и те же $3$ км/ч. По озеру те же $90$ км катер прошел бы за $90:12=7{,}5$ ч. Рейс по реке займет столько же времени, больше или меньше?

Чтобы ответить, нужна модель, которая работает в каждой задаче на движение. Велосипедист едет $2$ ч со скоростью $14$ км/ч. Каждый час он проезжает $14$ км, за два часа — $14\cdot 2=28$ км. Нарисуем прямоугольник: высота — скорость $14$, ширина — время $2$. Его площадь $14\cdot 2=28$ равна пути.

Прямоугольник движения

При движении с постоянной скоростью путь $S$, скорость $v$ и время $t$ связаны так же, как площадь, высота и ширина прямоугольника:

$$S=vt,\qquad t=\frac{S}{v},\qquad v=\frac{S}{t}$$

Если скорость дана в км/ч, время берут в часах, а путь получается в километрах.

В задаче каждое движение записывают строкой таблицы: одна строка — один прямоугольник. Две клетки строки известны или выражены через неизвестную, третью находят по формуле. Ширина — площадь, деленная на высоту: лодка, прошедшая $18$ км со скоростью $v$ км/ч, была в пути $\frac{18}{v}$ ч.

Движение	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Велосипедист	$14$	$2$	$14\cdot 2=28$
Лодка	$v$	$\dfrac{18}{v}$	$18$

Пример 1

Велосипедист ехал $45$ минут со скоростью $16$ км/ч. Какой путь он проехал?

Скорость дана в км/ч, поэтому время переводим в часы: $45$ мин $=\frac{45}{60}$ ч $=\frac34$ ч.

$S=vt=16\cdot\frac34=12$ км.

Если умножить $16$ на $45$, получится $720$ км: ширину прямоугольника посчитали бы как $45$ часов, а не $45$ минут.

Ответ: $12$ км.

{"questions":[{"content":"Теплоход идет со скоростью $v$ км/ч и проходит $30$ км. В клетку «время» таблицы нужно записать [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$30-v$ ч","$30v$ ч","$\\dfrac{v}{30}$ ч","$\\dfrac{30}{v}$ ч"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["В прямоугольнике движения путь — площадь, скорость — высота, время — ширина.","Ширина равна площади, деленной на высоту: $t=\\dfrac Sv$.","Время: $\\dfrac{30}{v}$ ч."],"step":1},{"content":"Велосипедист ехал $30$ минут со скоростью $18$ км/ч. Сколько километров он проехал? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$30$ минут — это $0{,}5$ ч.","$S=vt=18\\cdot0{,}5=9$ км."],"step":1}],"mix":1}

Один путь, две скорости: дольше едет медленный

Пусть два тела проходят один и тот же путь. Тогда их прямоугольники одной площади: у быстрого — высокий и узкий, у медленного — низкий и широкий. Насколько один прямоугольник шире другого, настолько дольше в пути медленное тело.

Пример 2

Между двумя пристанями на озере $84$ км. Лодка и катер вышли от одной пристани одновременно. Скорость катера на $7$ км/ч больше, а лодка была в пути на $2$ ч дольше. Найдите скорость лодки.

Обозначим скорость лодки $v$ км/ч, тогда скорость катера $v+7$ км/ч. Путь у обоих $84$ км, время — путь, деленный на скорость. Заполним таблицу.

Движение	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Лодка	$v$	$\dfrac{84}{v}$	$84$
Катер	$v+7$	$\dfrac{84}{v+7}$	$84$

Два прямоугольника с общим началом и равными площадями 84 км: лодка — высота v, ширина 84 на v; катер — выше, высота v плюс 7, и уже, ширина 84 на v плюс 7. Разность ширин — 2 часа — Площади равны, прямоугольник лодки шире на $2$ ч: из большего времени вычитаем меньшее

Пример 2 (продолжение)

Лодка медленнее, ее время больше на $2$ ч:

$$\frac{84}{v}-\frac{84}{v+7}=2$$

Умножим обе части на $v(v+7)$; при $v>0$ эти множители не равны нулю: $84(v+7)-84v=2v(v+7)$, то есть $588=2v^2+14v$ и $v^2+7v-294=0$.

$D=49+1176=1225=35^2$, $v=\frac{-7\pm35}{2}$, откуда $v=14$ или $v=-21$.

Скорость лодки не может быть отрицательной: прямоугольника с высотой $-21$ нет. Проверка: лодка $84:14=6$ ч, катер $84:21=4$ ч, разность $2$ ч.

Ответ: $14$ км/ч.

Правило

Если два тела проходят один путь, время каждого находят как $\frac{S}{v}$. Условие «на $2$ ч дольше» записывают разностью: из времени тела с меньшей скоростью вычитают время тела с большей скоростью.

$$t_{\text{медл.}}-t_{\text{быстр.}}=2$$

{"questions":[{"content":"Автобус проехал $120$ км со скоростью $v$ км/ч. Легковой автомобиль проехал тот же путь со скоростью на $20$ км/ч больше. Соотнесите величину и выражение для нее. Одно выражение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Скорость автомобиля, км/ч","Время автобуса, ч","Время автомобиля, ч"],"items":["$v+20$","$\\dfrac{120}{v}$","$\\dfrac{120}{v+20}$","$\\dfrac{120}{v}-20$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и выражение","hints":["Скорость автомобиля на $20$ км/ч больше: $v+20$.","Время — путь, деленный на скорость: у автобуса $\\dfrac{120}{v}$, у автомобиля $\\dfrac{120}{v+20}$.","Выражение $\\dfrac{120}{v}-20$ лишнее: $20$ — прибавка к скорости, а не к времени."],"step":1},{"content":"Турист прошел $12$ км со скоростью $v$ км/ч, а на обратном пути шел со скоростью $v-2$ км/ч и затратил на $1$ ч больше. Какое уравнение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{12}{v}+\\dfrac{12}{v-2}=1$","$\\dfrac{12}{v}-\\dfrac{12}{v-2}=1$","$\\dfrac{12}{v-2}-\\dfrac{12}{v}=1$","$12(v-2)-12v=1$"],"explanations":["Сумма времен не равна $1$ ч: разность времен равна $1$ ч","Меньшая скорость дает большее время: из большего времени вычитают меньшее, а не наоборот","","Время получают делением пути на скорость, а не умножением"],"answer":[2]}},"hints":["Время равно $\\dfrac Sv$: туда $\\dfrac{12}{v}$, обратно $\\dfrac{12}{v-2}$.","Обратно времени больше на $1$ ч: $\\dfrac{12}{v-2}-\\dfrac{12}{v}=1$."],"step":1}],"mix":1}

Течение поднимает или срезает прямоугольник

Определение

Собственная скорость судна — его скорость в стоячей воде, например на озере.

Река несет все, что в ней находится, со скоростью течения. Бревно, у которого собственной скорости нет, плывет со скоростью течения. Катер, идущий по течению, получает прибавку: к высоте его прямоугольника $v$ добавляется полоска $x$ — скорость течения. Против течения та же полоска срезается, и высота становится $v-x$.

Две панели в одном масштабе. По течению: высота прямоугольника v плюс x, он уже. Против течения: высота v минус x, срезанная полоска x показана пунктиром, прямоугольник ниже и шире. Пути одинаковые — По течению высота $v+x$, против течения $v-x$: путь тот же, а ширины разные

Правило

Пусть $v$ — собственная скорость судна, $x$ — скорость течения. Тогда

$$v_{\text{по теч.}}=v+x,\qquad v_{\text{пр. теч.}}=v-x$$

Против течения судно продвигается вперед, только если $v>x$.

Ошибка

Вообразавр рассуждает: «Течение — помеха, его скорость всегда вычитают. И по течению, и против течения скорость катера $v-3$».

Проверим на числах. Бревно (собственная скорость $0$) плывет по течению со скоростью реки $3$ км/ч. По записи Вообразавра его скорость $0-3=-3$ км/ч: бревно поплыло бы вверх по реке.

Где сломалось рассуждение. Знак зависит от направления. Тому, кто плывет вместе с рекой, течение добавляет скорость, а тому, кто плывет против течения, — отнимает.

Пример 3

Катер прошел $22$ км по течению реки и $20$ км против течения, затратив на весь путь $6$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость. По течению: скорость $v+3$, время $\frac{22}{v+3}$. Против течения: скорость $v-3$, время $\frac{20}{v-3}$. Всего $6$ ч:

$$\frac{22}{v+3}+\frac{20}{v-3}=6$$

Умножим на $(v+3)(v-3)$: $22(v-3)+20(v+3)=6(v^2-9)$, то есть $42v-6=6v^2-54$, $6v^2-42v-48=0$ и $v^2-7v-8=0$.

Корни: $v=8$ и $v=-1$. Отрицательная скорость не подходит.

Проверка: $22:11=2$ ч, $20:5=4$ ч, всего $6$ ч. Ответ: $8$ км/ч.

{"questions":[{"content":"Моторная лодка идет против течения реки. Вообразавр записал время на путь $21$ км как $\\dfrac{21}{v+2}$, где $v$ км/ч — собственная скорость лодки, $2$ км/ч — скорость течения. Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: течение всегда прибавляют","Скорость течения учитывать не нужно","Против течения скорость $v-2$, а не $v+2$","Время равно $21(v+2)$, а не частному"],"explanations":["Течение прибавляют только при движении по течению, против течения его вычитают","Течение меняет скорость лодки относительно берега: против течения она меньше собственной","","Время — путь, деленный на скорость; произведение пути на скорость временем не является"],"answer":[2]}},"hints":["Против течения река сносит лодку назад: от высоты прямоугольника срезается полоска течения.","Скорость против течения $v-2$, время $\\dfrac{21}{v-2}$."],"step":1},{"content":"Собственная скорость катера $15$ км/ч, скорость течения $3$ км/ч. За сколько часов катер пройдет по течению $36$ км? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Скорость по течению: $15+3=18$ км/ч.","$t=36:18=2$ ч."],"step":1}],"mix":1}

Таможня смысла: какой корень станет ответом

В примерах 2 и 3 решение шло одинаково: условие, таблица, дробное уравнение, квадратное уравнение, отбор корней. Это знакомая лестница модуля: дробное уравнение спускаем на ступень квадратного, умножая на общий знаменатель, как в уроке «Дробно-рациональные уравнения». На выходе стоит таможня. В задаче у нее два поста: ОДЗ (знаменатели не равны нулю) и смысл — каждый прямоугольник таблицы должен существовать, то есть его высота и ширина положительны.

Как решать задачу на движение

Обозначьте неизвестную величину буквой.
Выразите через нее остальные величины и заполните таблицу: в каждой строке две клетки известны, третью находят по формуле $S=vt$.
По условию, которое еще не использовано, составьте уравнение.
Решите уравнение: умножьте на общий знаменатель и решите квадратное уравнение.
Таможня: подставьте каждый корень во все клетки таблицы — все скорости и времена должны быть положительны. Запишите ответ на вопрос задачи.

Ошибка

Задача: «Катер прошел $40$ км по течению и $14$ км против течения за $3$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость катера». Вообразавр составил уравнение $\frac{40}{v+3}+\frac{14}{v-3}=3$, получил $v^2-18v+17=0$ и корни $1$ и $17$. Его вывод: «Оба корня положительны, значит, оба подходят. Ответ: $1$ км/ч или $17$ км/ч».

Проверим на числах. При $v=1$ скорость против течения $1-3=-2$ км/ч, время $14:(-2)=-7$ ч. По течению $40:4=10$ ч, и $10+(-7)=3$ — уравнение выполнено. Но прямоугольника с высотой $-2$ и шириной $-7$ не бывает: катер с собственной скоростью $1$ км/ч течение сносит назад. При $v=17$ все клетки положительны: $40:20=2$ ч, $14:14=1$ ч, всего $3$ ч.

Где сломалось рассуждение. Вообразавр проверил только знак корня, а не клетки таблицы. Уравнение не знает, что время положительно, — это знает только условие. Ответ: $17$ км/ч.

Две панели. Слева v равно 17: два прямоугольника подряд, 20 км/ч за 2 ч и 14 км/ч за 1 ч, всего 3 ч, галочка. Справа v равно 1: прямоугольник против течения лежит под осью, высота минус 2, ширина минус 7; такого прямоугольника нет, сумма 10 плюс минус 7 равна 3, но смысла нет — При $v=1$ строка «против течения» дает скорость $-2$ и время $-7$: такого прямоугольника нет, корень не проходит таможню

Задача повышенной сложности: неизвестна скорость течения

Скрыть

Собственная скорость лодки $16$ км/ч. Она прошла $30$ км против течения и вернулась, затратив на обратный путь на $1$ ч меньше. Найдите скорость течения.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения. Таможня заранее: $0<x<16$, иначе лодка не поднимется против течения. Против течения время $\frac{30}{16-x}$, по течению $\frac{30}{16+x}$:

$$\frac{30}{16-x}-\frac{30}{16+x}=1$$

$30(16+x)-30(16-x)=256-x^2$, то есть $60x=256-x^2$ и $x^2+60x-256=0$. $D=3600+1024=4624=68^2$, $x=4$ или $x=-64$.

Подходит только $x=4$. Проверка: $30:12=2{,}5$ ч, $30:20=1{,}5$ ч, разность $1$ ч. Ответ: $4$ км/ч.

{"questions":[{"content":"Задача: «Катер прошел $36$ км по течению и $8$ км против течения за $4$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость катера». Вообразавр решил ее так.<br>1) Пусть $v$ км/ч — собственная скорость, тогда по течению $v+2$ км/ч, против течения $v-2$ км/ч.<br>2) Уравнение: $\\dfrac{36}{v+2}+\\dfrac{8}{v-2}=4$.<br>3) $v^2-11v+10=0$, откуда $v=1$ или $v=10$.<br>4) «Оба корня положительны, значит, ответ — $1$ км/ч или $10$ км/ч».<br>В каком шаге ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В шаге 4","В шаге 1","В шаге 2","В шаге 3"],"explanations":["","Шаг 1 верен: по течению скорость $v+2$, против течения $v-2$","Шаг 2 верен: время — путь, деленный на скорость, времена складываются","Шаг 3 верен: корни $1$ и $10$ удовлетворяют уравнению $v^2-11v+10=0$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте шаги по порядку: таблица, уравнение, корни, отбор.","Шаги 1–3 верны: $36(v-2)+8(v+2)=4(v^2-4)$ дает $v^2-11v+10=0$ с корнями $1$ и $10$.","При $v=1$ скорость против течения $1-2=-1$ км/ч, время $8:(-1)=-8$ ч — такого прямоугольника нет. Ошибка в шаге 4, ответ: $10$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Из $A$ в $B$, расстояние $60$ км, выехали два автомобиля. Скорость первого на $10$ км/ч больше, и он приехал на $1$ ч раньше. Найдите скорость второго автомобиля в км/ч. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Пусть $v$ — скорость второго. Время второго $\\dfrac{60}{v}$, первого $\\dfrac{60}{v+10}$, разность $1$ ч.","$60(v+10)-60v=v(v+10)$, то есть $v^2+10v-600=0$: $v=20$ или $v=-30$.","Скорость положительна: $20$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги решения текстовой задачи в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Обозначаем неизвестную величину буквой","Через эту букву выражаем остальные величины, получаем заполненную таблицу","Из таблицы и условия связи получаем уравнение","Остается решить это уравнение","Тогда из найденных корней отбираем подходящий по смыслу задачи и записываем ответ"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Вводят неизвестную.","Заполняют таблицу.","Из таблицы получают уравнение.","Решают и отбирают корни по смыслу."],"step":1}],"mix":1}

Навстречу и вдогонку: высоты складываются или вычитаются

Если два тела движутся одновременно, ширина у их прямоугольников одна — общее время. Если они едут навстречу, каждый час расстояние между ними сокращается на $v_1+v_2$: прямоугольники ставим один на другой, и их общая площадь — все расстояние. Если второй догоняет первого, за час расстояние сокращается на $v_2-v_1$: работает разность высот.

Две панели. Навстречу: над дорогой две стрелки навстречу друг другу; прямоугольники скоростей v1 и v2 поставлены друг на друга, общая высота v1 плюс v2, ширина t, площадь — все расстояние. Вдогонку: стрелки в одну сторону; прямоугольник v2 выше прямоугольника v1, их разность v2 минус v1, умноженная на t, — отрыв — Навстречу: $(v_1+v_2)t$ — все расстояние; вдогонку: $(v_2-v_1)t$ — начальный отрыв

Правило

Если тела начали двигаться одновременно и расстояние между ними было $S$, то до встречи проходит время $t$, для которого

$$S=(v_1+v_2)\,t\ \ \text{навстречу},\qquad S=(v_2-v_1)\,t\ \ \text{вдогонку}$$

Здесь при движении вдогонку $v_2$ — скорость догоняющего, $v_2>v_1$.

Пример 4

Из двух поселков, расстояние между которыми $27$ км, одновременно навстречу друг другу вышел пешеход и выехал велосипедист. Скорость велосипедиста на $8$ км/ч больше. Они встретились через $1{,}5$ ч. Найдите скорость пешехода.

Пусть $v$ км/ч — скорость пешехода, тогда велосипедиста $v+8$ км/ч. Скорость сближения $v+(v+8)=2v+8$.

$1{,}5(2v+8)=27$, откуда $2v+8=18$ и $v=5$.

Таможня: высоты $5$ и $13$ положительны. Проверка: $1{,}5\cdot5+1{,}5\cdot13=7{,}5+19{,}5=27$ км. Ответ: $5$ км/ч.

Теперь вдогонку. Пешеход вышел из поселка со скоростью $5$ км/ч, а через $2$ ч по той же дороге за ним выехал велосипедист со скоростью $15$ км/ч. К моменту выезда велосипедиста пешеход ушел на $5\cdot 2=10$ км. Этот отрыв каждый час сокращается на $15-5=10$ км, поэтому велосипедист догонит пешехода через $10:10=1$ ч.

{"questions":[{"content":"Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Как найти время до встречи?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Умножить расстояние на сумму скоростей","Разделить расстояние на скорость одного из них","Разделить расстояние на сумму скоростей","Разделить расстояние на разность скоростей"],"explanations":["Время — это расстояние, деленное на скорость, а не умноженное","Сближение происходит со скоростью обоих, а не одного","","Разность скоростей берут при движении вдогонку в одном направлении"],"answer":[2]}},"hints":["При движении навстречу расстояние между ними сокращается на сумму скоростей.","$t=\\dfrac{S}{v_1+v_2}$."],"step":1},{"content":"Велосипедист выехал из поселка со скоростью $12$ км/ч. Через $1$ ч по той же дороге вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью $36$ км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,5","0.5","1/2"]}},"hints":["За $1$ ч велосипедист уехал вперед на $12$ км.","Вдогонку расстояние сокращается на разность скоростей: $36-12=24$ км/ч.","$t=12:24=0{,}5$ ч."],"step":1}],"mix":1}

Почему рейс по реке длиннее и как проверить ответ

Вернемся к катеру из начала урока. По течению его скорость $12+3=15$ км/ч, время $45:15=3$ ч. Против течения скорость $12-3=9$ км/ч, время $45:9=5$ ч. Весь рейс длится $8$ ч — на полчаса дольше, чем $7{,}5$ ч по озеру.

По озеру каждый участок занял бы $45:12=3{,}75$ ч. По течению катер выигрывает $3{,}75-3=0{,}75$ ч, а против течения теряет $5-3{,}75=1{,}25$ ч. Медленный участок длится дольше, поэтому потеря на нем больше выигрыша.

Две строки в одном масштабе по времени. По озеру: два участка высотой 12 км/ч по 3,75 ч, всего 7,5 ч. По реке: 15 км/ч за 3 ч и 9 км/ч за 5 ч, всего 8 ч. Первый участок короче на 0,75 ч, второй длиннее на 1,25 ч, рейс по реке на 0,5 ч длиннее — По течению катер выигрывает $0{,}75$ ч, против течения теряет $1{,}25$ ч: рейс по реке длиннее, чем по озеру

Средняя скорость

Средняя скорость — весь путь, деленный на все время. Это высота прямоугольника, у которого площадь — весь путь, а ширина — все время.

$$v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{все}}}$$

Для катера $v_{\text{ср}}=90:8=11{,}25$ км/ч, а не $(15+9):2=12$ км/ч. Среднее арифметическое скоростей подходит, только если с каждой скоростью тело двигалось одинаковое время.

Почему рейс по реке всегда длиннее, чем по озеру

Скрыть

Пусть $v$ — собственная скорость, $x$ — скорость течения, $0<x<v$, путь в одну сторону $S$. Время рейса

$$\frac{S}{v+x}+\frac{S}{v-x}=\frac{S(v-x)+S(v+x)}{v^2-x^2}=\frac{2Sv}{v^2-x^2}$$

Знаменатель $v^2-x^2$ меньше $v^2$, поэтому дробь больше, чем $\frac{2Sv}{v^2}=\frac{2S}{v}$ — время по озеру. Для катера: $\frac{2\cdot45\cdot12}{144-9}=\frac{1080}{135}=8$ ч.

dvizhenie-reka

Перед тем как записать ответ, пройдите короткую проверку.

Что проверить	Как проверить	Какую ошибку ловит
Клетки таблицы	Подставьте корень: все скорости и времена положительны, против течения $v>x$	Отрицательная скорость или время
Единицы	Скорость в км/ч — время в часах, минуты переведены	Путь или скорость в десятки раз больше или меньше
Вопрос задачи	Найдено то, о чем спрашивают: скорость лодки, а не катера	Ответ на другой вопрос
Условие	Числа из ответа выполняют каждое условие задачи	Ошибка в уравнении

Случай	Что делает прямоугольник движения
Один путь, разные скорости	Площади равны, разность ширин — разность времени
Течение	Высота $v+x$ по течению и $v-x$ против течения
Навстречу или вдогонку	Ширина общая, высоты складываются или вычитаются
Средняя скорость	Высота общего прямоугольника: весь путь, деленный на все время
Отбор корней	Каждый прямоугольник существует: высота и ширина положительны

{"questions":[{"content":"Задача: «Велосипедист проехал $12$ км за $40$ минут. Найдите его скорость в км/ч». Вообразавр ответил: $12:40=0{,}3$ км/ч. Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно умножить путь на время","Ошибки нет, ответ верный","Не перевел минуты в часы","Нужно разделить время на путь"],"explanations":["Произведение пути на время не является скоростью: скорость — путь, деленный на время","Велосипедист со скоростью $0{,}3$ км/ч ехал бы медленнее пешехода: ответ не проходит проверку смыслом","","Частное времени и пути показывает, сколько часов уходит на $1$ км, а не скорость"],"answer":[2]}},"hints":["Скорость в км/ч — это путь в километрах, деленный на время в часах.","$40$ мин $=\\dfrac23$ ч, поэтому $v=12:\\dfrac23=18$ км/ч.","Ошибка: минуты не переведены в часы."],"step":1},{"content":"Автомобиль проехал $120$ км со скоростью $60$ км/ч, а обратно — со скоростью $40$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути в км/ч. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Туда: $120:60=2$ ч. Обратно: $120:40=3$ ч.","Весь путь $240$ км, все время $5$ ч.","$240:5=48$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на движение встречаются во второй части ОГЭ, а прием «таблица — уравнение — проверка смысла» понадобится в следующем уроке, «Текстовые задачи: работа, растворы»: там вместо скорости будет производительность, вместо пути — объем работы, а прямоугольник останется тем же. Чтобы вспомнить главное, нарисуйте прямоугольник движения: высота — скорость, ширина — время, площадь — путь. Ответ с отрицательной высотой или шириной не подходит.

Часто задаваемые вопросы

Какую величину обозначать буквой?

Обычно ту, о которой спрашивают, — тогда ответ получится сразу. Если через нее неудобно выражать остальные клетки таблицы, выберите другую величину, а в конце найдите искомую.

Почему корней два, а ответ один?

Уравнение не знает, что скорость и время положительны, и может дать корень, при котором какая-то клетка таблицы отрицательна. Такой корень не проходит таможню смысла.

Можно ли найти среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей?

Только если тело двигалось с каждой скоростью одинаковое время. Если одинаковы пути, как у катера туда и обратно, медленный участок длится дольше, и средняя скорость меньше среднего арифметического: $11{,}25$ км/ч вместо $12$ км/ч.

Что делать, если время дано в минутах?

Перевести в часы, если скорость дана в км/ч: $20$ мин $=\frac13$ ч. Иначе ширина и высота прямоугольника будут в несогласованных единицах.

Как понять, складывать скорости или вычитать?

Представьте, как меняется расстояние между телами за один час. Навстречу оно сокращается на сумму скоростей, вдогонку — на разность. Течение по ходу движения прибавляет свою скорость, навстречу движению — отнимает.

Награды за урок