9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Задачи на работу, растворы и проценты

Содержание

В уроке «Задачи на движение: от таблицы к уравнению» каждое движение было прямоугольником: скорость — высота, время — ширина, путь — площадь. Здесь тот же прямоугольник опишет совместную работу, растворы, сплавы и проценты. Как и раньше, путь к ответу один: условие, таблица, уравнение, спуск по лестнице к знакомой ступени и таможня смысла. Похожие задачи с линейными уравнениями разобраны в уроке «Задачи на работу и проценты».

Вся работа — единица, а производительность — ее часть за час

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. На этикетке уксусной эссенции написано «$70\%$», на бутылке столового уксуса — «$9\%$». Сколько воды нужно добавить к $90$ г эссенции, чтобы получился раствор с концентрацией $9\%$? Хочется взять воды в $70:9\approx7{,}8$ раза больше, чем эссенции. Верно ли это, выясним в последнем разделе.

Сначала — задачи на работу. В них нет километров, но есть та же связь трех величин. На схеме ниже работа — это площадь: высота прямоугольника показывает производительность, ширина — время. Если бригада выполняет весь заказ за $5$ дней, то за один день она выполняет $\frac15$ заказа. Объем всей работы принимаем за $1$, а часть работы, которую выполняют за единицу времени, называют производительностью.

Два прямоугольника подряд по времени: первая бригада — высота одна двенадцатая, ширина 4 дня, площадь одна треть; вторая — высота одна девятая, ширина 6 дней, площадь две трети; вместе площадь равна 1, весь участок. — Величина $\cdot$ величина $=$ величина: высота — производительность, ширина — время, площадь — работа; площади двух бригад вместе дают весь участок

Прямоугольник работы

Работа $A$, производительность $N$ и время $t$ связаны так же, как путь, скорость и время:

$$A=Nt,\qquad N=\frac{A}{t},\qquad t=\frac{A}{N}$$

Если вся работа выполняется за $t$ ч, то $A=1$ и производительность $N=\frac1t$ работы в час.

Пример 1

Первая бригада может заасфальтировать участок дороги за $12$ дней, вторая — за $9$ дней. Первая проработала $4$ дня, затем ее сменила вторая. За сколько дней вторая бригада закончит работу?

Весь участок — $1$. Заполним таблицу: по строке на бригаду.

Бригада	Производительность (часть участка в день)	Время, дни	Работа (часть участка)
Первая	$\dfrac1{12}$	$4$	$4\cdot\dfrac1{12}=\dfrac13$
Вторая	$\dfrac19$	$t$	$1-\dfrac13=\dfrac23$

Пример 1 (продолжение)

Во второй строке известны высота и площадь, ширину находим делением: $t=\frac23:\frac19=\frac23\cdot9=6$.

Уравнение здесь линейное. Таможня: площади двух прямоугольников вместе дают весь участок, $\frac13+6\cdot\frac19=\frac13+\frac23=1$, время положительно.

Ответ: $6$ дней.

{"questions":[{"content":"Насос осушает котлован за $8$ ч. Соотнесите вопрос и ответ. Один ответ лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Часть котлована за 1 ч","Часть котлована за 3 ч","Время на половину котлована, ч"],"items":["$\\dfrac18$","$\\dfrac38$","$4$","$\\dfrac83$"]}},"instruction":"Соотнесите вопрос и ответ","hints":["Весь котлован — $1$. За $1$ ч насос осушает $\\dfrac18$ котлована: это его производительность.","За $3$ ч: $3\\cdot\\dfrac18=\\dfrac38$ котлована.","Половина котлована: $\\dfrac12:\\dfrac18=4$ ч. Число $\\dfrac83$ лишнее: это время, деленное на время."],"step":1},{"content":"Бригада выполняет весь заказ за $6$ ч. Какую часть заказа она выполнит за $2$ ч? Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1/3"}},"hints":["Производительность: за $1$ ч выполняется $\\dfrac16$ работы.","За $2$ ч: $2\\cdot\\dfrac16=\\dfrac13$."],"step":1}],"mix":1}

Работают вместе — производительности складываются

Пусть два мастера красят забор: первый может покрасить его за $4$ ч, второй — за $12$ ч. Работая вместе, за час они покрасят $\frac14+\frac1{12}=\frac3{12}+\frac1{12}=\frac4{12}=\frac13$ забора. Складывают производительности, а не времена: вдвоем работа идет быстрее, чем у каждого.

На схеме прямоугольники мастеров стоят друг на друге: ширина у них общая — время совместной работы, высота — сумма производительностей, а площадь — весь забор.

Прямоугольник: ширина 3 часа, высота — сумма производительностей. Первый мастер дает одну четвертую забора в час, второй одну двенадцатую, вместе одну треть; площадь равна 1 — весь забор. Пунктиром — первый мастер один: высота одна четвертая, ширина 4 часа. Вместе 3 часа меньше 4 часов — Высоты складываются: $\frac14+\frac1{12}=\frac13$; чтобы площадь стала равна $1$, ширина должна быть $3$ ч

Правило

Если первый выполняет работу за $t_1$ ч, второй — за $t_2$ ч, а вместе — за $t$ ч, то

$$\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac1t$$

Если один работает против другого, например одна труба наполняет бак, а другая из него выливает, производительность второй вычитают.

Пример 2

Сколько времени мастера будут красить забор вместе?

За час вместе — $\frac13$ забора, значит, весь забор — за $1:\frac13=3$ ч. Это меньше, чем у быстрого мастера ($4$ ч): таможня пропускает.

Ответ: $3$ ч.

Теперь обратная задача: время вместе известно, а время одного неизвестно. Решим ее и проверим, что инструмент дает уже известный ответ $4$ ч.

Пример 3

Два мастера, работая вместе, красят забор за $3$ ч. Второй мастер один тратит на эту работу на $8$ ч больше, чем первый. За сколько часов покрасит забор первый мастер?

Пусть первый красит забор за $x$ ч, второй — за $(x+8)$ ч. Производительности $\frac1x$ и $\frac1{x+8}$, вместе за час $\frac13$:

$$\frac1x+\frac1{x+8}=\frac13$$

Спуск по лестнице, как в уроке «Дробно-рациональные уравнения»: умножим на $3x(x+8)$, при $x>0$ множитель не равен нулю. $3(x+8)+3x=x(x+8)$, то есть $x^2+2x-24=0$.

$D=4+96=100$, $x=\frac{-2\pm10}{2}$: $x=4$ или $x=-6$.

Таможня смысла: время не бывает отрицательным, прямоугольника шириной $-6$ ч нет. Остается $x=4$; второй мастер — $12$ ч, как в примере 2.

Ответ: $4$ ч.

Задача повышенной сложности: работа по очереди

Скрыть

Двое рабочих, работая вместе, выполняют задание за $12$ дней. Если сначала первый выполнит половину задания, а затем второй — оставшуюся половину, на все уйдет $25$ дней. За сколько дней каждый выполнит задание один?

Пусть первый выполняет задание за $x$ дней, второй — за $y$ дней. Половину задания каждый делает за половину своего времени: $\frac x2+\frac y2=25$, откуда $y=50-x$.

Вместе: $\frac1x+\frac1{50-x}=\frac1{12}$. Умножим на $12x(50-x)$: $12(50-x)+12x=x(50-x)$, то есть $x^2-50x+600=0$, $x=20$ или $x=30$.

Таможня: оба корня положительны и меньше $50$, значит, и $y=50-x>0$. При $x=20$ получаем $y=30$, при $x=30$ — $y=20$. Проверка: $\frac1{20}+\frac1{30}=\frac5{60}=\frac1{12}$.

Ответ: один рабочий — за $20$ дней, другой — за $30$ дней.

{"questions":[{"content":"Один рабочий выполняет работу за $x$ ч, а другой — на $3$ ч дольше. Вместе они выполняют ее за $2$ ч. Какое уравнение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac1x+\\dfrac1{x+3}=2$","$\\dfrac1x+\\dfrac1{x+3}=\\dfrac12$","$x+(x+3)=2$","$\\dfrac1x\\cdot\\dfrac1{x+3}=\\dfrac12$"],"explanations":["Вместе за час выполняется половина работы, а не $2$ работы: справа стоит $\\dfrac12$","","Складывают время, а складывать надо производительности: сколько работы выполняется за час","Производительности при совместной работе складываются, а не перемножаются"],"answer":[1]}},"hints":["Производительность первого $\\dfrac1x$, второго $\\dfrac1{x+3}$.","Вместе за $1$ ч они делают $\\dfrac12$ работы: $\\dfrac1x+\\dfrac1{x+3}=\\dfrac12$."],"step":1},{"content":"Первый рабочий выполняет работу за $10$ ч, второй — за $15$ ч. За сколько часов они выполнят ее вместе? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Производительности: $\\dfrac1{10}$ и $\\dfrac1{15}$ работы в час.","Вместе: $\\dfrac1{10}+\\dfrac1{15}=\\dfrac16$ работы в час.","Вся работа за $6$ ч."],"step":1},{"content":"Первая труба наполняет бассейн за $12$ ч, а вторая опорожняет его за $20$ ч. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Производительности: наполнение $\\dfrac1{12}$, опорожнение $\\dfrac1{20}$ бассейна в час.","Вместе: $\\dfrac1{12}-\\dfrac1{20}=\\dfrac1{30}$ бассейна в час.","Бассейн наполнится за $30$ ч."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Концентрацию считают от всего раствора

В растворе соли есть растворенное вещество — соль — и вода. Нарисуем раствор полоской: вся ее ширина — масса раствора, закрашенная часть — масса вещества. На рисунке полоска изображает $400$ г раствора, закрашена четверть: вещества $400:4=100$ г, воды $300$ г.

Полоска раствора массой 400 г: четверть полоски закрашена, это растворенное вещество — Закрашенная доля полоски — концентрация: $100$ г вещества в $400$ г раствора, то есть $25\%$

Определение

Концентрация раствора — доля массы вещества в массе всего раствора, обычно в процентах:

$$c=\frac{m_{\text{в-ва}}}{m_{\text{р-ра}}},\qquad m_{\text{в-ва}}=c\cdot m_{\text{р-ра}}$$

Масса раствора — это масса вещества вместе с водой. Для сплава то же самое: вместо вещества — металл, вместо раствора — весь сплав.

Пример 4

В $300$ г раствора содержится $45$ г соли. Найдите концентрацию раствора и массу воды в нем.

$c=45:300=0{,}15$, то есть $15\%$. Воды $300-45=255$ г.

Это снова прямоугольник: концентрация $\cdot$ масса раствора $=$ масса вещества. Таможня: $15\%$ лежит между $0\%$ и $100\%$, масса воды положительна.

Ответ: $15\%$; $255$ г.

Ошибка

Вообразавр растворил $60$ г соли в $240$ г воды и рассуждает: «Соли $60$ г, воды $240$ г, концентрация $60:240=25\%$».

Проверим на числах. Растворим по тому же правилу $60$ г соли в $40$ г воды. Получится $60:40=150\%$: соли больше, чем всего раствора, чего быть не может. Концентрация не проходит таможню — она всегда не больше $100\%$.

Где сломалось рассуждение. Вообразавр взял за целое только воду, а целое — весь раствор: $60+240=300$ г. Верно: $60:300=0{,}2$, то есть $20\%$.

Полоска раствора 300 граммов: соль 60 граммов слева, вода 240 граммов справа. Красная пунктирная скобка только над водой — неверно: 60 к 240 дает 25 процентов. Синяя скобка над всей полоской — верно: целое весь раствор, 60 к 300 дает 20 процентов — Целое — вся полоска $300$ г, а не только вода $240$ г: концентрация $20\%$, а не $25\%$

{"questions":[{"content":"Сколько граммов вещества содержится в $250$ г раствора с концентрацией $20\\%$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Масса вещества равна концентрации, умноженной на массу раствора.","$250\\cdot0{,}2=50$ г."],"step":1},{"content":"К $100$ г воды добавили $25$ г соли. Вообразавр записал: «Концентрация равна $25:100=25\\%$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Делить надо воду на соль: $100:25$","Делить надо на массу раствора $125$ г","Надо вычесть соль из воды: $100-25=75$ г","Ошибки нет: концентрацию считают от воды"],"explanations":["Так получают перевернутую дробь: $4$ — это $400\\%$, а доля вещества в растворе не может быть больше целого","","Соль растворяется в воде, масса раствора получается сложением, а не вычитанием","От воды концентрацию не считают: в раствор входит и вещество, и растворитель"],"answer":[1]}},"hints":["Концентрация — это масса вещества, деленная на массу раствора.","Раствор состоит из воды и соли: $100+25=125$ г.","Концентрация: $25:125=0{,}2$, то есть $20\\%$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

При смешивании складывается вещество, а не проценты

Сольем два раствора. Полоски встают встык: масса смеси — сумма масс, а вещество в смеси — сумма закрашенных частей. Проценты не складываются: $10\%$ и $30\%$ не дают $40\%$. Вода — тоже раствор, только с концентрацией $0\%$: она удлиняет полоску, но не добавляет закрашенной части.

Две полоски в одном масштабе: сплав 4 кг с 10 процентами меди и сплав 12 кг с 30 процентами меди. Ниже после смешивания полоска 16 кг: медь двумя кусками подряд, 0,4 и 3,6, всего 4 кг; концентрация 4 к 16 равна 25 процентам, между 10 и 30 — Вещество и массы складываются: $0{,}4+3{,}6=4$ кг меди в $16$ кг сплава — это $25\%$

Правило

При смешивании растворов (сплавов) складываются массы и массы вещества:

$$c_1m_1+c_2m_2=c\,(m_1+m_2)$$

Концентрация смеси лежит между концентрациями смешиваемых растворов. При доливании воды $c_2=0$: вещества не прибавляется.

Пример 5

Имеется $4$ кг сплава, в котором $10\%$ меди. Сколько килограммов сплава с содержанием меди $30\%$ нужно к нему добавить, чтобы получить сплав с содержанием меди $25\%$?

Пусть добавили $x$ кг. Меди: $0{,}1\cdot4=0{,}4$ кг и $0{,}3x$ кг; масса нового сплава $4+x$ кг.

$$0{,}4+0{,}3x=0{,}25(4+x)$$

Уравнение линейное: $0{,}4+0{,}3x=1+0{,}25x$, $0{,}05x=0{,}6$, $x=12$.

Таможня: $25\%$ лежит между $10\%$ и $30\%$, масса $12$ кг положительна. Проверка: $0{,}4+3{,}6=4$ кг меди в $16$ кг, $4:16=0{,}25$.

Ответ: $12$ кг.

Заметьте: среднее арифметическое $(10+30):2=20\%$ не совпало с ответом $25\%$. Сплава с $30\%$ меди взяли втрое больше, чем сплава с $10\%$ ($12$ кг против $4$ кг), поэтому концентрация смеси ближе к $30\%$. Среднее арифметическое подходит, только если массы смешиваемых растворов равны.

rastvor-smes

{"questions":[{"content":"К раствору соли долили воды. Как изменилась каждая величина? [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Не изменилась","Увеличилась","Уменьшилась"],"items":[["Масса соли"],["Масса воды","Масса раствора","Доля воды в растворе"],["Концентрация соли"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Соль не добавляли: ее масса прежняя. Закрашенная часть полоски не меняется.","Воды стало больше, значит, больше и масса раствора, и доля воды в нем.","Та же соль приходится на больший раствор: концентрация соли уменьшилась."],"step":1},{"content":"К $5$ кг раствора с концентрацией $20\\%$ добавили $5$ кг воды. Какой стала концентрация в процентах? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Вещества: $5\\cdot0{,}2=1$ кг. Оно не изменилось.","Масса раствора: $5+5=10$ кг.","Концентрация: $1:10=0{,}1$, то есть $10\\%$."],"step":1},{"content":"Смешали $200$ г раствора с концентрацией $10\\%$ и $300$ г раствора с концентрацией $20\\%$. Какова концентрация смеси в процентах? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Вещества: $200\\cdot0{,}1=20$ г и $300\\cdot0{,}2=60$ г, вместе $80$ г.","Масса смеси: $200+300=500$ г.","$80:500=0{,}16$, то есть $16\\%$."],"step":1}],"mix":1}

Проценты подряд: каждый раз от новой величины

Цена — полоска, которую принимаем за $100\%$. Повысить цену на $10\%$ — пристроить к полоске еще $10\%$ ее длины, то есть умножить цену на $1{,}1$. Если затем повысить еще на $10\%$, проценты берутся уже от новой, более длинной полоски.

Цена $1000$ р. после первого повышения стала $1000\cdot1{,}1=1100$ р., после второго — $1100\cdot1{,}1=1210$ р. Вместе цена выросла на $21\%$, а не на $20\%$: второй раз прибавили $10\%$ от $1100$, это $110$ р., а не $100$ р.

Три полоски в одном масштабе. Первая: 1000 рублей, 100 процентов. Вторая: плюс 100, десять процентов от 1000, итого 1100. Третья: плюс еще 110, десять процентов от 1100, итого 1210. Вторая прибавка длиннее первой; вместе прибавки дают плюс 21 процент, а не плюс 20 — Второе повышение — от новой полоски: $1000\to1100\to1210$, всего $+21\%$

Правило

Увеличить величину на $p\%$ — умножить ее на $1+\frac{p}{100}$, уменьшить на $p\%$ — умножить на $1-\frac{p}{100}$. При нескольких изменениях подряд множители перемножают:

$$a\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot\left(1-\frac{q}{100}\right)$$

Пример 6

Цену телевизора дважды повышали на одно и то же число процентов, и она выросла с $2500$ р. до $3600$ р. На сколько процентов повышали цену каждый раз?

Пусть каждый раз цену умножали на $k=1+\frac{p}{100}$. Тогда $2500k^2=3600$, $k^2=1{,}44$.

Это неполное квадратное уравнение — ступень 2 из урока «Квадратные уравнения: повторение и замена переменной»: $k=1{,}2$ или $k=-1{,}2$.

Таможня: множитель отрицательным быть не может, иначе цена стала бы отрицательной. Остается $k=1{,}2$, то есть $p=20$. Проверка: $2500\cdot1{,}2=3000$, $3000\cdot1{,}2=3600$.

Ответ: на $20\%$.

{"questions":[{"content":"Увеличить число на $15\\%$ — значит умножить его на [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$0{,}85$","$1{,}15$","$15$","$0{,}15$"],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Число — полоска $100\\%$. К ней пристраивают еще $15\\%$ — получается $115\\%$ числа.","$115\\%=1{,}15$: число умножают на $1{,}15$."],"step":1},{"content":"Цену товара повысили на $20\\%$, а затем новую цену снизили на $20\\%$. Как изменилась цена относительно первоначальной?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Повысилась на $4\\%$","Снизилась на $4\\%$","Снизилась на $20\\%$","Не изменилась"],"explanations":["Произведение $1{,}2\\cdot0{,}8=0{,}96$ меньше единицы, цена уменьшилась","","Снижение берется от новой цены, поэтому итог не равен первоначальному минус $20\\%$","Проценты считают от разных чисел: второй раз $20\\%$ берут от повышенной цены, а не от первоначальной"],"answer":[1]}},"hints":["После повышения цена равна $1{,}2$ от прежней.","После снижения: $1{,}2\\cdot0{,}8=0{,}96$.","Цена стала $96\\%$ от первоначальной, то есть упала на $4\\%$."],"step":1},{"content":"За два года число посетителей музея выросло с $5000$ до $5618$, причем каждый год — на одно и то же число процентов. На сколько процентов в год росло число посетителей? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Пусть каждый год число умножается на $k=1+\\dfrac{p}{100}$. За два года: $5000k^2=5618$.","$k^2=1{,}1236$, $k=1{,}06$ или $k=-1{,}06$. Отрицательный множитель не проходит таможню смысла.","$k=1{,}06$, то есть рост на $6\\%$ в год."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Таможня смысла: что проверить перед ответом

Во всех примерах путь был один: прямоугольник или полоска, таблица, уравнение, спуск по лестнице и таможня. Соберем его в алгоритм.

Как решать задачу на работу, раствор или проценты

Обозначьте неизвестную величину буквой.
Заполните таблицу: в каждой строке две клетки известны или выражены через букву, третью находят по формуле «величина $\cdot$ величина $=$ величина».
По условию, которое еще не использовано, составьте уравнение.
Спуститесь по лестнице: дробное уравнение умножьте на общий знаменатель, решите линейное или квадратное уравнение.
Таможня смысла: подставьте корень во все клетки таблицы и проверьте, что найдено то, о чем спрашивают.

Пример 7

Вернемся к вопросу из начала урока: сколько воды добавить к $90$ г эссенции с концентрацией $70\%$, чтобы получить раствор с концентрацией $9\%$?

Кислоты в эссенции $0{,}7\cdot90=63$ г. Вода кислоты не добавляет, поэтому в новом растворе тоже $63$ г кислоты, и это $9\%$ его массы.

Пусть добавили $x$ г воды. Масса нового раствора $90+x$ г: $0{,}09(90+x)=63$, $90+x=700$, $x=610$.

Таможня: в ответ идет масса воды $610$ г, а не масса раствора $700$ г. Проверка: $63:700=0{,}09$. Если бы концентрацию считали от воды, получилось бы $63:610\approx10{,}3\%$ — это главная ошибка урока.

Теперь видно, где ошибка в прикидке из начала урока. В $70:9\approx7{,}8$ раза больше эссенции должен быть весь раствор: $700:90\approx7{,}8$. Воды же нужно на массу эссенции меньше. Если долить $7{,}8\cdot90\approx700$ г воды, концентрация будет $63:790\approx8\%$.

Ответ: $610$ г.

Две полоски в одном масштабе, 700 граммов — вся ширина. Эссенция 90 г: кислоты 63 г и воды 27 г, 70 процентов. Уксус 700 г: те же 63 г кислоты, 27 г воды и долитая вода 610 г. Концентрация 63 к 700 равна 9 процентам; делить на воду 610 нельзя — получится 10,3 процента — Кислоты по-прежнему $63$ г, а раствор вырос до $700$ г: долили $610$ г воды

Что проверить	Как проверить	Какую ошибку ловит
Время и массы	Подставьте корень: каждое время и каждая масса положительны	Время $-6$ ч, отрицательная масса
Целое	Концентрацию делят на массу раствора, а процент берут от новой величины	Процент от воды, проценты сложены
Границы	Концентрация от $0\%$ до $100\%$, у смеси — между исходными	Ошибка в уравнении смешивания
Вопрос задачи	Найдено то, о чем спрашивают: воды, а не раствора; второго, а не первого	Ответ на другой вопрос

Случай	Что делает прямоугольник
Работа	Производительность $\cdot$ время $=$ работа, вся работа $1$
Работа вместе	Прямоугольники друг на друге: производительности складываются
Раствор, сплав	Концентрация $\cdot$ масса раствора $=$ масса вещества
Смешивание	Полоски встык: складываются массы и вещество
Проценты подряд	Каждый множитель применяют к новой полоске

{"questions":[{"content":"Задача: «Сколько граммов воды надо добавить к $150$ г раствора с концентрацией $40\\%$, чтобы получить раствор с концентрацией $24\\%$?» Вообразавр решил ее так.<br>1) Вещества в растворе: $150\\cdot0{,}4=60$ г.<br>2) Масса нового раствора: $60:0{,}24=250$ г.<br>3) Ответ: $250$ г воды.<br>В каком шаге ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет","В шаге 2","В шаге 1","В шаге 3"],"explanations":["$250$ г — масса нового раствора; в нем $150$ г старого раствора, воды долили $100$ г","Шаг 2 верен: вещества $60$ г, а $60:250=0{,}24$, то есть $24\\%$","Шаг 1 верен: $40\\%$ от $150$ г — это $60$ г вещества",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте шаги по порядку: вещество, новый раствор, ответ на вопрос.","Шаги 1 и 2 верны: вещества $60$ г, и $60$ г составляют $24\\%$ от $250$ г.","В шаге 3 записана масса всего нового раствора. Воды добавили $250-150=100$ г."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Первый рабочий выполняет задание на $15$ ч быстрее второго, а вместе они выполняют его за $4$ ч. За сколько часов выполнит это задание первый рабочий, работая один? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Пусть первый работает $x$ ч, второй $(x+15)$ ч: $\\dfrac1x+\\dfrac1{x+15}=\\dfrac14$.","$4(x+15)+4x=x(x+15)$, то есть $x^2+7x-60=0$: $x=5$ или $x=-12$.","Время положительно: $5$ ч."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на работу, растворы и проценты встречаются во второй части ОГЭ, а расчет скидок и разбавление растворов нужны и в жизни. Чтобы вспомнить главное, нарисуйте прямоугольник: производительность на время — работа, концентрация на массу раствора — вещество. Целое — всегда весь раствор, вся работа или новая цена. Уравнение спускайте по лестнице до первой или второй ступени, а ответ пропускайте через таможню смысла. Проверьте себя в тесте модуля.

Часто задаваемые вопросы

Почему всю работу принимают за единицу?

Объем работы обычно не известен и не нужен: важно, какую его часть выполняют за час. Тогда производительность сразу равна $\frac1t$.

Можно ли сложить времена двух рабочих?

Нет. Сумма времен больше времени каждого, а вдвоем работа идет быстрее. Складывают производительности — части работы за час.

Чем концентрация отличается от отношения вещества к воде?

Концентрация — доля вещества во всем растворе, а раствор — это вещество вместе с водой. Отношение к воде всегда больше концентрации и может превысить $100\%$.

Почему после повышения и снижения на одно и то же число процентов цена не возвращается?

Второй процент берется от новой цены. После $+10\%$ и $-10\%$ цена умножается на $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, то есть уменьшается на $1\%$.

Как понять, какой корень подходит?

Подставьте каждый корень во все клетки таблицы. Отрицательное время, отрицательная масса, концентрация больше $100\%$ или вне промежутка между исходными означают, что корень не проходит таможню смысла.

Награды за урок