Квадратные уравнения: повторение и замена переменной

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите уравнение $3x^2+12x=0$. С какого шага удобнее всего начать?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Разделить обе части на $x$","Вынести за скобки $3x$: $3x(x+4)=0$","Перенести $12x$ вправо и извлечь корень","Решить $x^2=-4$"],"explanations":["Деление на $x$ теряет корень $x=0$: при $x=0$ уравнение верно, а после деления он исчезает","","Получится $3x^2=-12x$, где справа осталась переменная: извлекать корень нельзя","Так получается, если потерять $x$ у $12x$ и решать $3x^2+12=0$; к тому же у $x^2=-4$ корней нет"],"answer":[1]}},"hints":["В уравнении нет свободного члена: выносим общий множитель.","$3x(x+4)=0$, откуда $x=0$ или $x=-4$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите уравнение $5x^2-20x=0$. С какого шага удобнее всего начать?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Вынести за скобки $5x$: $5x(x-4)=0$","Решить $x^2=4$","Перенести $20x$ вправо и извлечь корень","Разделить обе части на $x$"],"explanations":["","Так получается, если потерять $x$ у $20x$ и решать $5x^2-20=0$; тогда корень $x=0$ теряется","Справа осталась переменная, извлекать корень из такого равенства нельзя","Деление на $x$ теряет корень $x=0$, который удовлетворяет уравнению"],"answer":[0]}},"hints":["Свободного члена нет: выносим общий множитель.","$5x(x-4)=0$, откуда $x=0$ или $x=4$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^2+2x-15=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["$D=2^2-4\\cdot1\\cdot(-15)=64$.","$x=\\dfrac{-2\\pm8}{2}$: $x_1=-5$, $x_2=3$.","Наименьший корень: $-5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^2-3x-18=0$. В ответе запишите наименьший корень. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["$D=(-3)^2-4\\cdot1\\cdot(-18)=81$.","$x=\\dfrac{3\\pm9}{2}$: $x_1=-3$, $x_2=6$.","Наименьший корень: $-3$."],"step":1},{"id":"3","content":"При каком положительном значении $p$ уравнение $x^2+px+9=0$ имеет ровно один корень? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Один корень получается при $D=0$.","$D=p^2-4\\cdot1\\cdot9=p^2-36$, откуда $p^2=36$.","Положительное значение: $p=6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"При каком положительном значении $p$ уравнение $x^2+px+16=0$ имеет ровно один корень? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Один корень получается при $D=0$.","$D=p^2-4\\cdot1\\cdot16=p^2-64$, откуда $p^2=64$.","Положительное значение: $p=8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Корни уравнения $x^2+px+q=0$ равны $-2$ и $7$. Найдите значение $p+q$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-19"}},"hints":["По теореме Виета $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.","$p=-(-2+7)=-5$, $q=-2\\cdot7=-14$.","$p+q=-5-14=-19$."],"step":1},{"id":"4","content":"Корни уравнения $x^2+px+q=0$ равны $5$ и $-8$. Найдите значение $p+q$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-37"}},"hints":["По теореме Виета $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$.","$p=-(5-8)=3$, $q=5\\cdot(-8)=-40$.","$p+q=3-40=-37$."],"step":1},{"id":"5","content":"Какую замену удобно ввести в уравнении $(x^2+2x)^2-7(x^2+2x)+10=0$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$t=(x^2+2x)^2$","$t=x+2$","$t=x^2+2x$","$t=x^2$"],"explanations":["Тогда в уравнении останется отдельная скобка, и квадратного уравнения по $t$ не получится","Выражение $x+2$ — только множитель куска $x^2+2x$; повторяется вся скобка","","Замена должна охватить всю повторяющуюся скобку, а не часть выражения"],"answer":[2]}},"hints":["Ищем выражение, которое повторяется целиком.","Это выражение $x^2+2x$.","Вводим $t=x^2+2x$."],"step":1},{"id":"5","content":"Какую замену удобно ввести в уравнении $(x^2-4x)^2+3(x^2-4x)-10=0$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$t=(x^2-4x)^2$","$t=x^2$","$t=x-4$","$t=x^2-4x$"],"explanations":["Тогда в уравнении останется отдельная скобка, и квадратного уравнения по $t$ не получится","Замена должна охватить всю повторяющуюся скобку, а не часть выражения","Выражение $x-4$ — только множитель куска $x^2-4x$; повторяется вся скобка",""],"answer":[3]}},"hints":["Ищем выражение, которое повторяется целиком.","Это выражение $x^2-4x$.","Вводим $t=x^2-4x$."],"step":1},{"id":"6","content":"После замены $t=x^2+5x$ уравнение $(x^2+5x)^2-4(x^2+5x)-12=0$ принимает вид [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$t^2-4t-12=0$","$t^2-4(x^2+5x)-12=0$","$t-4t-12=0$","$t^4-4t^2-12=0$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите уравнение","hints":["Выражение $x^2+5x$ заменяют буквой $t$ везде, где оно встречается: и в квадрате, и во втором слагаемом.","$(x^2+5x)^2=t^2$, а $-4(x^2+5x)=-4t$.","Ответ: $t^2-4t-12=0$."],"step":1},{"id":"6","content":"После замены $t=2x-3$ уравнение $(2x-3)^2+3(2x-3)-10=0$ принимает вид [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$(2t-3)^2+3(2t-3)-10=0$","$t^2+3(2x-3)-10=0$","$t+3t-10=0$","$t^2+3t-10=0$"],"answer":3}},"instruction":"Выберите уравнение","hints":["Выражение $2x-3$ заменяют буквой $t$ везде, где оно встречается: и в квадрате, и во втором слагаемом.","$(2x-3)^2=t^2$, а $3(2x-3)=3t$.","Ответ: $t^2+3t-10=0$."],"step":1},{"id":"7","content":"Для каждой замены уже найдено значение $t$. Соотнесите замену и корни $x$. Один ответ лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$t=x-3$, $t=4$","$t=2x-1$, $t=5$","$t=x^2+x$, $t=2$"],"items":["$x=7$","$x=3$","$x=-2$ или $x=1$","$x=4$"]}},"instruction":"Соотнесите замену и корни","hints":["Значение $t$ — это значение выражения, а не $x$: для каждой строки решают уравнение «выражение $=t$».","$x-3=4$, $x=7$; $2x-1=5$, $x=3$; $x^2+x-2=0$, $x=-2$ или $x=1$.","Ответ $x=4$ лишний: это значение $t$, записанное вместо $x$."],"step":1},{"id":"7","content":"Для каждой замены уже найдено значение $t$. Соотнесите замену и корни $x$. Один ответ лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$t=x+5$, $t=3$","$t=3x-1$, $t=8$","$t=x^2-x$, $t=2$"],"items":["$x=-2$","$x=3$","$x=-1$ или $x=2$","$x=8$"]}},"instruction":"Соотнесите замену и корни","hints":["Значение $t$ — это значение выражения, а не $x$: для каждой строки решают уравнение «выражение $=t$».","$x+5=3$, $x=-2$; $3x-1=8$, $x=3$; $x^2-x-2=0$, $x=-1$ или $x=2$.","Ответ $x=8$ лишний: это значение $t$, записанное вместо $x$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решение уравнения $(x^2-2x)^2-3(x^2-2x)-4=0$ записано так: «Пусть $t=x^2-2x$. Тогда $t^2-3t-4=0$, $t_1=4$, $t_2=-1$. Ответ: $4;\\ -1$». Найдите ошибку в решении.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в решении уравнения по $t$","В ответ записаны значения $t$, а не $x$","Замена $t$ выбрана неверно","Отрицательное $t$ надо было отбросить"],"explanations":["Подстановка $t=4$ и $t=-1$ обращает уравнение по $t$ в верное равенство","","Выражение $x^2-2x$ повторяется целиком, замена выбрана верно","Условие $t\\ge0$ бывает у $t=x^2$, а выражение $x^2-2x$ может быть отрицательным"],"answer":[1]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","Но $t$ — это значение выражения, а не $x$.","Нужно решить $x^2-2x=4$ и такое же уравнение с $-1$ справа."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решение уравнения $(x^2+3x)^2-(x^2+3x)-12=0$ записано так: «Пусть $t=x^2+3x$. Тогда $t^2-t-12=0$, $t_1=4$, $t_2=-3$. Ответ: $4;\\ -3$». Найдите ошибку в решении.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["В ответ записаны значения $t$, а не $x$","Отрицательное $t$ надо было отбросить","Ошибка в решении уравнения по $t$","Замена $t$ выбрана неверно"],"explanations":["","Условие $t\\ge0$ бывает у $t=x^2$, а выражение $x^2+3x$ может быть отрицательным","Подстановка $t=4$ и $t=-3$ обращает уравнение по $t$ в верное равенство","Выражение $x^2+3x$ повторяется целиком, замена выбрана верно"],"answer":[0]}},"hints":["Уравнение по $t$ решено верно.","Но $t$ — это значение выражения, а не $x$.","Нужно решить $x^2+3x=4$ и такое же уравнение с $-3$ справа."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Определите число решений уравнения $(x^2+2x)^2-(x^2+2x)-2=0$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть $t=x^2+2x$: $t^2-t-2=0$, $t_1=-1$, $t_2=2$.","$x^2+2x=-1$: $D=0$, один корень $x=-1$.","$x^2+2x=2$: $D=12>0$, два корня. Всего три корня."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Определите число решений уравнения $(x^2-2x)^2+(x^2-2x)-6=0$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Пусть $t=x^2-2x$: $t^2+t-6=0$, $t_1=-3$, $t_2=2$.","$x^2-2x=-3$: $x^2-2x+3=0$, $D=4-12=-8<0$ — ветка пустая.","$x^2-2x=2$: $x^2-2x-2=0$, $D=4+8=12>0$, два корня. Всего два корня."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $(x^2-2x)^2-11(x^2-2x)+24=0$. В ответе запишите сумму всех его корней. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть $t=x^2-2x$: $t^2-11t+24=0$, $t_1=3$, $t_2=8$.","$x^2-2x=3$: $x=-1$ и $x=3$. $x^2-2x=8$: $x=-2$ и $x=4$.","Сумма: $-1+3-2+4=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите уравнение $(x^2+4x)^2-9(x^2+4x)-36=0$. В ответе запишите сумму всех его корней. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Пусть $t=x^2+4x$: $t^2-9t-36=0$, $D=81+144=225$, $t_1=-3$, $t_2=12$.","$x^2+4x=-3$: $x_1=-3$, $x_2=-1$. $x^2+4x=12$: $x_3=-6$, $x_4=2$.","Сумма: $-3-1-6+2=-8$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>