Целое уравнение и его корни

Линейные и квадратные уравнения — это лишь частные случаи более крупного класса математических моделей. Целые уравнения объединяют их в общую систему, позволяя работать с переменными в любых натуральных степенях по одним и тем же правилам.

Такой обобщенный подход необходим, когда процессы усложняются. Будь то расчет объемов, вычисление площади фундамента, законы механики или экономические модели — все эти разные задачи описываются целыми выражениями. Переход к целым уравнениям позволяет не искать каждый раз новый метод, а использовать единый инструмент для решения широкого круга прикладных задач.

Что такое целое уравнение?

Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого являются математическими выражениями, составленными из чисел и переменных с помощью арифметических действий.

Вот некоторые уравнения, которые относятся к классу целых. Обратите внимание, что переменная в них может находиться только в числителе — деления на буквенные выражения здесь нет.

• $x^4 – 10x^2 + 9 = 0$ — уравнение четвертой степени (биквадратное).

• $3x^2 – 7x + 2 = 0$ — классическое квадратное уравнение.

• $x^3 – 4x = 0$ — уравнение третьей степени, где переменная возводится в куб.

• $\frac{x^2 – 5}{4} = 2x$ — целое уравнение. Наличие дроби не должно пугать: в знаменателе стоит число $4$, а не переменная, поэтому деления на букву здесь нет.

Степень целого уравнения

После того как мы убедились, что уравнение целое, нужно определить его степень. От этого зависит выбор метода решения и количество возможных корней.

Чтобы определить степень целого уравнения, его сначала нужно привести к стандартному виду.

1. Перенести все слагаемые из правой части в левую, чтобы справа остался только нуль.
2. Раскрыть все скобки, если они есть.
3. Привести подобные слагаемые (сложить или вычесть буквы с одинаковыми показателями степеней).

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Определите степень уравнения $x^2(x+3)=x^3+5x-2$.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Уравнение $1$-й степени","Уравнение $2$-й степени","Уравнение $3$-й степени","Уравнение $4$-й степени"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Раскроем скобки слева и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить вид $P(x)=0$:<br />$x^2(x+3)=x^3+3x^2$.","Получаем уравнение $x^3+3x^2=x^3+5x-2$. Перенесем все влево: <br />$x^3+3x^2-x^3-5x+2=0$<br />$3x^2-5x+2=0$.","Наибольшая степень $x$ равна $2$."]}]}

Теорема о количестве корней

Степень уравнения жестко ограничивает число его возможных решений. В школьном курсе математики (на множестве действительных чисел) действует важное правило:

Теорема
Целое уравнение степени $n$ может иметь не более $n$ корней.

Это означает, что между степенью уравнения и количеством его ответов существует прямая закономерность: максимальное число корней всегда совпадает со степенью уравнения.

• Уравнение $1$-й степени (линейное) может иметь максимум $1$ корень.
• Уравнение $2$-й степени (квадратное) может иметь максимум $2$ корня (в зависимости от дискриминанта их может быть $2$, $1$ или $0$).

По этой же аналогии любое целое уравнение высшей степени никогда не может иметь больше корней, чем показатель его старшей степени после упрощения.

Метод решения целых уравнений — разложение на множители

Суть метода заключается в том, чтобы с помощью вынесения общего множителя, группировки или формул сокращенного умножения перенести все слагаемые влево и привести уравнение к виду:

$$A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) = 0$$

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

После разложения на множители решение одного сложного уравнения высшей степени сводится к решению нескольких простых уравнений (линейных или квадратных).

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Надите все корни уравнения $x^3-3x^2-4x+12=0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-2;2;3$","$-2;2$","$-2;3$","$-2;2;3;0$"],"explanations":["Решение: $(x-3)(x-2)(x+2)=0$, поэтому корни $-2$, $2$, $3$.","В этом варианте пропущен корень $3$.","В этом варианте пропущен корень $2$.","В этом варианте добавлен лишний корень $0$, который не обращает многочлен в ноль."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Сгруппируем слагаемые попарно так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель: $(x^3-3x^2)+(-4x+12)=0$.","Вынесем общий множитель из каждой пары: $x^2(x-3)-4(x-3)=0$ и затем вынесем $(x-3)$: $(x-3)(x^2-4)=0$.","Разложим $x^2-4$ как разность квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Тогда корни $x=3$, $x=2$, $x=-2$. Ответ: $-2;2;3$."]}]}

Часто задаваемые вопросы