Задачи на движение: от таблицы к уравнению

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Расстояние между пунктами $30$ км. Из них одновременно выехали два велосипедиста: первый со скоростью $12$ км/ч, второй — $18$ км/ч. Соотнесите величину и выражение для нее. Одно выражение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Скорость сближения навстречу, км/ч","Скорость сближения вдогонку, км/ч","Время до встречи (навстречу), ч"],"items":["$18+12$","$18-12$","$\\dfrac{30}{18+12}$","$\\dfrac{30}{18-12}$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и выражение","hints":["Навстречу расстояние сокращается на сумму скоростей, вдогонку — на разность.","Время до встречи при движении навстречу: $\\dfrac{30}{18+12}$ ч.","Выражение $\\dfrac{30}{18-12}$ лишнее: при движении навстречу скорости складывают."],"step":1},{"id":"1","content":"Расстояние между пунктами $210$ км. Из них одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью $60$ км/ч, второй — $80$ км/ч. Соотнесите величину и выражение для нее. Одно выражение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Скорость сближения навстречу, км/ч","Скорость сближения вдогонку, км/ч","Время до встречи (навстречу), ч"],"items":["$80+60$","$80-60$","$\\dfrac{210}{80+60}$","$\\dfrac{210}{80-60}$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и выражение","hints":["Навстречу расстояние сокращается на сумму скоростей, вдогонку — на разность.","Время до встречи при движении навстречу: $\\dfrac{210}{80+60}$ ч.","Выражение $\\dfrac{210}{80-60}$ лишнее: при движении навстречу скорости складывают."],"step":1},{"id":"2","content":"Пешеход прошел $16$ км со скоростью $v$ км/ч, а на обратном пути шел со скоростью $v-4$ км/ч и затратил на $1$ ч больше. Какое уравнение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{16}{v}+\\dfrac{16}{v-4}=1$","$\\dfrac{16}{v-4}-\\dfrac{16}{v}=1$","$\\dfrac{16}{v}-\\dfrac{16}{v-4}=1$","$16(v-4)-16v=1$"],"explanations":["Не сумма времен, а их разность равна заданному числу часов","","Меньшая скорость дает большее время: из большего времени вычитают меньшее","Время получают делением пути на скорость, а не умножением"],"answer":[1]}},"hints":["Время равно $\\dfrac Sv$: туда $\\dfrac{16}{v}$, обратно $\\dfrac{16}{v-4}$.","Обратно времени больше на $1$ ч: разность равна $1$."],"step":1},{"id":"2","content":"Пешеход прошел $30$ км со скоростью $v$ км/ч, а на обратном пути шел со скоростью $v-5$ км/ч и затратил на $2$ ч больше. Какое уравнение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$30(v-5)-30v=2$","$\\dfrac{30}{v-5}-\\dfrac{30}{v}=2$","$\\dfrac{30}{v}+\\dfrac{30}{v-5}=2$","$\\dfrac{30}{v}-\\dfrac{30}{v-5}=2$"],"explanations":["Время получают делением пути на скорость, а не умножением","","Не сумма времен, а их разность равна заданному числу часов","Меньшая скорость дает большее время: из большего времени вычитают меньшее"],"answer":[1]}},"hints":["Время равно $\\dfrac Sv$: туда $\\dfrac{30}{v}$, обратно $\\dfrac{30}{v-5}$.","Обратно времени больше на $2$ ч: разность равна $2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Собственная скорость лодки $18$ км/ч, скорость течения $3$ км/ч. За сколько часов лодка пройдет $60$ км против течения? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Скорость против течения: $18-3=15$ км/ч.","$t=60:15=4$ ч."],"step":1},{"id":"3","content":"Собственная скорость лодки $14$ км/ч, скорость течения $2$ км/ч. За сколько часов лодка пройдет $48$ км по течению? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Скорость по течению: $14+2=16$ км/ч.","$t=48:16=3$ ч."],"step":1},{"id":"4","content":"Задача: «Катер прошел $24$ км по течению и $6$ км против течения за $3$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость». Вообразавр получил корни $1$ и $9$ и записал: «оба положительны, ответ $1$ или $9$ км/ч». Какой ответ верен?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$6$ км/ч","$1$ км/ч","$9$ км/ч","$1$ км/ч и $9$ км/ч"],"explanations":["Это скорость против течения $v-3$ при $v=9$, а не собственная скорость катера","При $v=1$ скорость против течения $-2$ км/ч — катер не сможет подняться против течения","","Оба значения положительны, но $v=1$ меньше скорости течения $3$: время против течения отрицательно"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте скорость против течения для каждого корня: $v-3$.","При $v=1$ получаем $1-3=-2$ км/ч: время $6:(-2)$ отрицательно, такого рейса нет.","Подходит только $v=9$ км/ч."],"step":1},{"id":"4","content":"Задача: «Лодка прошла $27$ км по течению и $5$ км против течения за $4$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость». Вообразавр получил корни $1$ и $7$ и записал: «оба положительны, ответ $1$ или $7$ км/ч». Какой ответ верен?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$5$ км/ч","$7$ км/ч","$1$ км/ч","$1$ км/ч и $7$ км/ч"],"explanations":["Это скорость против течения $v-2$ при $v=7$, а не собственная скорость катера","","При $v=1$ скорость против течения $-1$ км/ч — катер не сможет подняться против течения","Оба значения положительны, но $v=1$ меньше скорости течения $2$: время против течения отрицательно"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте скорость против течения для каждого корня: $v-2$.","При $v=1$ получаем $1-2=-1$ км/ч: время $5:(-1)$ отрицательно, такого рейса нет.","Подходит только $v=7$ км/ч."],"step":1},{"id":"5","content":"Два велосипедиста проехали по $80$ км. Скорость первого на $4$ км/ч больше, и он затратил на $1$ ч меньше. Найдите скорость второго. Расставьте шаги решения в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Пусть $v$ км/ч — скорость второго, тогда скорость первого $v+4$ км/ч","Значит, время второго $\\dfrac{80}{v}$ ч, а первого $\\dfrac{80}{v+4}$ ч","Первый затратил на $1$ ч меньше, поэтому $\\dfrac{80}{v}-\\dfrac{80}{v+4}=1$","Умножив на $v(v+4)$, получаем $v^2+4v-320=0$","Отсюда $v=16$ или $v=-20$","Скорость положительна, поэтому ответ: $16$ км/ч"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Каждый следующий шаг использует результат предыдущего.","Ответ: $16$ км/ч."],"step":1},{"id":"5","content":"Два велосипедиста проехали по $90$ км. Скорость первого на $3$ км/ч больше, и он затратил на $1$ ч меньше. Найдите скорость второго. Расставьте шаги решения в верном порядке. [[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Пусть $v$ км/ч — скорость второго, тогда скорость первого $v+3$ км/ч","Значит, время второго $\\dfrac{90}{v}$ ч, а первого $\\dfrac{90}{v+3}$ ч","Первый затратил на $1$ ч меньше, поэтому $\\dfrac{90}{v}-\\dfrac{90}{v+3}=1$","Умножив на $v(v+3)$, получаем $v^2+3v-270=0$","Отсюда $v=15$ или $v=-18$","Скорость положительна, поэтому ответ: $15$ км/ч"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Каждый следующий шаг использует результат предыдущего.","Ответ: $15$ км/ч."],"step":1},{"id":"6","content":"Поезд прошел $90$ км со скоростью $45$ км/ч, а обратно $90$ км со скоростью $30$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути в км/ч. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Время туда: $90:45=2$ ч. Обратно: $90:30=3$ ч.","Весь путь $180$ км, все время $5$ ч.","$180:5=36$ км/ч."],"step":1},{"id":"6","content":"Поезд прошел $60$ км со скоростью $30$ км/ч, а обратно $60$ км со скоростью $20$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всем пути в км/ч. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Время туда: $60:30=2$ ч. Обратно: $60:20=3$ ч.","Весь путь $120$ км, все время $5$ ч.","$120:5=24$ км/ч."],"step":1},{"id":"7","content":"Задача: «Катер прошел $48$ км по течению и $30$ км против течения за $6$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость». Вообразавр начал решать так.<br>1) Пусть $v$ км/ч — собственная скорость.<br>2) Тогда по течению скорость $v-3$ км/ч, а против течения $v+3$ км/ч.<br>3) Значит, $\\dfrac{48}{v-3}+\\dfrac{30}{v+3}=6$.<br>В каком шаге ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["В шаге 2","Ошибки нет","В шаге 3","В шаге 1"],"explanations":["","По течению скорость больше собственной: $v+3$, а не $v-3$","Шаг 3 записан по шагу 2 без ошибок: время — путь, деленный на скорость; ошибка пришла из шага 2","Шаг 1 верен: за $v$ обозначена именно та скорость, которую спрашивают"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте шаги по порядку: неизвестная, скорости, уравнение.","По течению река помогает: скорость $v+3$, против течения $v-3$. В шаге 2 знаки перепутаны.","Верное уравнение: $\\dfrac{48}{v+3}+\\dfrac{30}{v-3}=6$, откуда $v=13$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Задача: «Лодка прошла $28$ км по течению и $30$ км против течения за $5$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость». Вообразавр начал решать так.<br>1) Пусть $v$ км/ч — собственная скорость.<br>2) Тогда по течению скорость $v-2$ км/ч, а против течения $v+2$ км/ч.<br>3) Значит, $\\dfrac{28}{v-2}+\\dfrac{30}{v+2}=5$.<br>В каком шаге ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["В шаге 3","Ошибки нет","В шаге 2","В шаге 1"],"explanations":["Шаг 3 записан по шагу 2 без ошибок: время — путь, деленный на скорость; ошибка пришла из шага 2","По течению скорость больше собственной: $v+2$, а не $v-2$","","Шаг 1 верен: за $v$ обозначена именно та скорость, которую спрашивают"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте шаги по порядку: неизвестная, скорости, уравнение.","По течению река помогает: скорость $v+2$, против течения $v-2$. В шаге 2 знаки перепутаны.","Верное уравнение: $\\dfrac{28}{v+2}+\\dfrac{30}{v-2}=5$, откуда $v=12$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Расстояние от $A$ до $B$ равно $48$ км. Один велосипедист проезжает его на $1$ ч быстрее другого, потому что едет со скоростью на $4$ км/ч больше. С какой скоростью едет более медленный велосипедист, в км/ч? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Пусть $v$ — скорость второго: $\\dfrac{48}{v}-\\dfrac{48}{v+4}=1$.","$192=v(v+4)$, то есть $v^2+4v-192=0$.","$v=12$ или отрицательное значение. Ответ: $12$ км/ч."],"step":1},{"id":"8","content":"Расстояние от $A$ до $B$ равно $72$ км. Один велосипедист проезжает его на $1$ ч быстрее другого, потому что едет со скоростью на $6$ км/ч больше. С какой скоростью едет более медленный велосипедист, в км/ч? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Пусть $v$ — скорость второго: $\\dfrac{72}{v}-\\dfrac{72}{v+6}=1$.","$432=v(v+6)$, то есть $v^2+6v-432=0$.","$v=18$ или отрицательное значение. Ответ: $18$ км/ч."],"step":1},{"id":"9","content":"Рейс катера занял $4$ ч: $36$ км он шел по течению реки, а $24$ км — против течения. Течение имеет скорость $3$ км/ч. Какова собственная скорость катера, в км/ч? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Пусть $v$ — собственная скорость: $\\dfrac{36}{v+3}+\\dfrac{24}{v-3}=4$.","$36(v-3)+24(v+3)=4(v^2-9)$, то есть $4v^2-60v=0$.","$v=0$ не подходит, $v=15$. Ответ: $15$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Рейс катера занял $6$ ч: $36$ км он шел по течению реки, а $24$ км — против течения. Течение имеет скорость $2$ км/ч. Какова собственная скорость катера, в км/ч? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Пусть $v$ — собственная скорость: $\\dfrac{36}{v+2}+\\dfrac{24}{v-2}=6$.","$36(v-2)+24(v+2)=6(v^2-4)$, то есть $6v^2-60v=0$.","$v=0$ не подходит, $v=10$. Ответ: $10$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Моторная лодка прошла против течения реки $112$ км и вернулась, затратив на обратный путь на $6$ ч меньше. Найдите скорость течения в км/ч, если собственная скорость лодки $11$ км/ч. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть $x$ — скорость течения: $\\dfrac{112}{11-x}-\\dfrac{112}{11+x}=6$.","$112\\cdot2x=6(121-x^2)$, то есть $3x^2+112x-363=0$, $D=130^2$.","$x=3$ или $x=-\\dfrac{121}{3}$. Скорость течения положительна: $3$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Моторная лодка прошла против течения реки $64$ км и вернулась, затратив на обратный путь на $4$ ч меньше. Найдите скорость течения в км/ч, если собственная скорость лодки $12$ км/ч. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть $x$ — скорость течения: $\\dfrac{64}{12-x}-\\dfrac{64}{12+x}=4$.","$64\\cdot2x=4(144-x^2)$, то есть $x^2+32x-144=0$, $D=40^2$.","$x=4$ или $x=-36$. Скорость течения положительна: $4$ км/ч."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>