Задачи на работу, растворы и проценты

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Рабочий выполняет всю работу за $8$ ч. Какую часть работы он выполнит за $3$ ч? Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3/8"}},"hints":["За $1$ ч выполняется $\\dfrac1{8}$ работы.","За $3$ ч: $3\\cdot\\dfrac1{8}=\\dfrac{3}{8}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Рабочий выполняет всю работу за $12$ ч. Какую часть работы он выполнит за $5$ ч? Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5/12"}},"hints":["За $1$ ч выполняется $\\dfrac1{12}$ работы.","За $5$ ч: $5\\cdot\\dfrac1{12}=\\dfrac{5}{12}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Первая труба наполняет бак за $x$ ч, а вторая опорожняет полный бак за $(x+4)$ ч. Если открыть обе трубы, пустой бак наполнится за $12$ ч. Какое уравнение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac1x-\\dfrac1{x+4}=12$","$\\dfrac1x+\\dfrac1{x+4}=\\dfrac1{12}$","$\\dfrac1x-\\dfrac1{x+4}=\\dfrac1{12}$","$\\dfrac1{x+4}-\\dfrac1x=\\dfrac1{12}$"],"explanations":["За час наполняется часть бака $\\dfrac1{12}$, а не $12$ баков","Вторая труба опорожняет бак, ее производительность вычитают, а не прибавляют","","Левая часть отрицательна: из меньшей производительности вычли большую, бак так не наполнится"],"answer":[2]}},"hints":["Производительность первой трубы $\\dfrac1x$, второй $\\dfrac1{x+4}$ бака в час.","Вторая труба мешает: за час бак наполняется на $\\dfrac1x-\\dfrac1{x+4}$, а по условию на $\\dfrac1{12}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Первая труба наполняет бак за $x$ ч, а вторая опорожняет полный бак за $(x+6)$ ч. Если открыть обе трубы, пустой бак наполнится за $8$ ч. Какое уравнение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac1x-\\dfrac1{x+6}=8$","$\\dfrac1x+\\dfrac1{x+6}=\\dfrac1{8}$","$\\dfrac1{x+6}-\\dfrac1x=\\dfrac1{8}$","$\\dfrac1x-\\dfrac1{x+6}=\\dfrac1{8}$"],"explanations":["За час наполняется часть бака $\\dfrac1{8}$, а не $8$ баков","Вторая труба опорожняет бак, ее производительность вычитают, а не прибавляют","Левая часть отрицательна: из меньшей производительности вычли большую, бак так не наполнится",""],"answer":[3]}},"hints":["Производительность первой трубы $\\dfrac1x$, второй $\\dfrac1{x+6}$ бака в час.","Вторая труба мешает: за час бак наполняется на $\\dfrac1x-\\dfrac1{x+6}$, а по условию на $\\dfrac1{8}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Раствор соли массой $150$ г имеет концентрацию $12\\%$. Соотнесите величину и ее значение. Одно значение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Масса соли, г","Масса воды, г","Доля воды в растворе"],"items":["$18$","$132$","$88\\%$","$12$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и значение","hints":["Соли: $150\\cdot0{,}12=18$ г — концентрация берется от всего раствора.","Воды: $150-18=132$ г, это $88\\%$ раствора.","$12$ г лишнее: столько соли было бы в $100$ г раствора, а не в $150$ г."],"step":1},{"id":"3","content":"Раствор соли массой $350$ г имеет концентрацию $40\\%$. Соотнесите величину и ее значение. Одно значение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Масса соли, г","Масса воды, г","Доля воды в растворе"],"items":["$140$","$210$","$60\\%$","$40$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и значение","hints":["Соли: $350\\cdot0{,}4=140$ г — концентрация берется от всего раствора.","Воды: $350-140=210$ г, это $60\\%$ раствора.","$40$ г лишнее: столько соли было бы в $100$ г раствора, а не в $350$ г."],"step":1},{"id":"4","content":"В раствор соли досыпали еще соли, и она полностью растворилась. Как изменилась каждая величина? [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Не изменилась","Увеличилась","Уменьшилась"],"items":[["Масса воды"],["Масса соли","Масса раствора","Концентрация соли"],["Доля воды в растворе"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Воду не доливали: ее масса прежняя.","Соли стало больше, значит, больше и масса раствора, и концентрация соли.","Та же вода составляет меньшую часть большего раствора: доля воды уменьшилась."],"step":1},{"id":"4","content":"Раствор соли оставили открытым, и часть воды испарилась. Как изменилась каждая величина? [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Не изменилась","Увеличилась","Уменьшилась"],"items":[["Масса соли"],["Концентрация соли"],["Масса воды","Масса раствора","Доля воды в растворе"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Соль не испаряется: ее масса прежняя.","Воды стало меньше, значит, меньше и масса раствора, и доля воды в нем.","Та же соль приходится на меньший раствор: концентрация соли увеличилась."],"step":1},{"id":"5","content":"Уменьшить число на $30\\%$ — значит умножить его на [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1{,}3$","$0{,}7$","$0{,}3$","$0{,}03$"],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Число — полоска $100\\%$. От нее отрезают $30\\%$ — остается $70\\%$ числа.","$70\\%=0{,}7$: число умножают на $0{,}7$."],"step":1},{"id":"5","content":"Уменьшить число на $8\\%$ — значит умножить его на [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$1{,}08$","$0{,}08$","$0{,}92$","$0{,}2$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Число — полоска $100\\%$. От нее отрезают $8\\%$ — остается $92\\%$ числа.","$92\\%=0{,}92$: число умножают на $0{,}92$."],"step":1},{"id":"6","content":"К $40$ г раствора с концентрацией $25\\%$ долили $60$ г воды. Вообразавр записал: «В растворе $10$ г соли, поэтому концентрация равна $10:40=25\\%$, она не изменилась». Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо вычесть соль из раствора: $40-10=30$ г","Делить надо на массу нового раствора $100$ г","Ошибки нет: вода не меняет количество соли, значит, концентрация прежняя","Делить надо на массу воды: $10:60$"],"explanations":["Масса раствора включает и соль, и воду, ее не уменьшают на массу соли","","Соли столько же, но раствора стало больше, поэтому доля соли уменьшилась","Воду не берут отдельно: концентрация — это доля вещества во всем растворе, а не в воде"],"answer":[1]}},"hints":["Соли в растворе $10$ г, и после доливания воды ее масса не меняется.","Масса нового раствора: $40+60=100$ г.","Концентрация: $10:100$, то есть $10\\%$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"К $80$ г раствора с концентрацией $15\\%$ долили $20$ г воды. Вообразавр записал: «В растворе $12$ г соли, поэтому концентрация равна $12:80=15\\%$, она не изменилась». Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Делить надо на массу нового раствора $100$ г","Надо вычесть соль из раствора: $80-12=68$ г","Ошибки нет: вода не меняет количество соли, значит, концентрация прежняя","Делить надо на массу воды: $12:20$"],"explanations":["","Масса раствора включает и соль, и воду, ее не уменьшают на массу соли","Соли столько же, но раствора стало больше, поэтому доля соли уменьшилась","Воду не берут отдельно: концентрация — это доля вещества во всем растворе, а не в воде"],"answer":[0]}},"hints":["Соли в растворе $12$ г, и после доливания воды ее масса не меняется.","Масса нового раствора: $80+20=100$ г.","Концентрация: $12:100$, то есть $12\\%$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько граммов раствора с концентрацией $5\\%$ надо добавить к $100$ г раствора с концентрацией $30\\%$, чтобы получить раствор с концентрацией $10\\%$? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"400"}},"hints":["Пусть добавили $x$ г. Вещества: $100\\cdot0{,}3+0{,}05x$; масса смеси $100+x$.","$30+0{,}05x=0{,}1(100+x)$, откуда $20=0{,}05x$.","$x=400$ г."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Сколько граммов раствора с концентрацией $15\\%$ надо добавить к $300$ г раствора с концентрацией $40\\%$, чтобы получить раствор с концентрацией $30\\%$? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"200"}},"hints":["Пусть добавили $x$ г. Вещества: $300\\cdot0{,}4+0{,}15x$; масса смеси $300+x$.","$120+0{,}15x=0{,}3(300+x)$, откуда $30=0{,}15x$.","$x=200$ г."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Магазин поднял цену на $25\\%$, а потом объявил скидку $20\\%$ от новой цены. Какую часть первоначальной цены составляет цена со скидкой?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Всю первоначальную цену","$0{,}95$ первоначальной цены","$1{,}05$ первоначальной цены","$1{,}45$ первоначальной цены"],"explanations":["","Проценты нельзя вычитать, а произведение $1{,}25\\cdot0{,}8$ равно $1$, а не $0{,}95$","Проценты нельзя вычитать: $25\\%-20\\%$ относятся к разным числам","Проценты не складывают: скидка считается от новой цены"],"answer":[0]}},"hints":["После повышения цена равна $1{,}25$ от прежней.","После снижения: $1{,}25\\cdot0{,}8=1$.","Цена вернулась к первоначальной."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Магазин поднял цену на $50\\%$, а потом объявил скидку $50\\%$ от новой цены. Какую часть первоначальной цены составляет цена со скидкой?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Всю первоначальную цену","$0{,}5$ первоначальной цены","$0{,}75$ первоначальной цены","$1{,}25$ первоначальной цены"],"explanations":["Проценты берутся от разных чисел: $50\\%$ от повышенной цены больше, чем $50\\%$ от первоначальной","Скидка берется от новой цены $1{,}5$, а не от первоначальной: итог $0{,}75$, а не $0{,}5$","","Произведение $1{,}5\\cdot0{,}5=0{,}75$ меньше единицы, а не больше"],"answer":[2]}},"hints":["После повышения цена равна $1{,}5$ от прежней.","После снижения: $1{,}5\\cdot0{,}5=0{,}75$.","Цена составляет $75\\%$ от первоначальной."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В течение часа через один кран бак наполняется на $\\dfrac1{6}$ своего объема, а через другой кран вытекает $\\dfrac1{9}$ объема. Бак наполовину полон, оба крана открыли. Через сколько часов бак наполнится доверху? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["За час уровень повышается на $\\dfrac1{6}-\\dfrac1{9}=\\dfrac1{18}$ объема.","Осталось наполнить $\\dfrac12$ объема.","$\\dfrac12:\\dfrac1{18}=9$ ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В течение часа через один кран бак наполняется на $\\dfrac1{8}$ своего объема, а через другой кран вытекает $\\dfrac1{24}$ объема. Бак наполовину полон, оба крана открыли. Через сколько часов бак наполнится доверху? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["За час уровень повышается на $\\dfrac1{8}-\\dfrac1{24}=\\dfrac1{12}$ объема.","Осталось наполнить $\\dfrac12$ объема.","$\\dfrac12:\\dfrac1{12}=6$ ч."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за $12$ мин. Первая труба наполняет бассейн на $10$ мин быстрее второй. За сколько минут наполнит бассейн одна вторая труба? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Пусть первая наполняет бассейн за $x$ мин, вторая за $(x+10)$ мин: $\\dfrac1x+\\dfrac1{x+10}=\\dfrac1{12}$.","$12(x+10)+12x=x(x+10)$, откуда $x^2-14x-120=0$, $x=20$ (второй корень отрицателен).","Вторая труба: $x+10=30$ мин."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за $20$ мин. Первая труба наполняет бассейн на $9$ мин быстрее второй. За сколько минут наполнит бассейн одна вторая труба? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["Пусть первая наполняет бассейн за $x$ мин, вторая за $(x+9)$ мин: $\\dfrac1x+\\dfrac1{x+9}=\\dfrac1{20}$.","$20(x+9)+20x=x(x+9)$, откуда $x^2-31x-180=0$, $x=36$ (второй корень отрицателен).","Вторая труба: $x+9=45$ мин."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>