9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Уравнения с одной переменной

Уравнения третьей и четвертой степени

Содержание

В уроке «Биквадратные уравнения» уравнение четвертой степени мы сводили к квадратному с помощью замены. Но так решаются не все уравнения высоких степеней. В этом уроке научимся решать уравнения третьей и четвертой степени разложением на множители: каждое такое уравнение мы будем сводить к уравнениям первой и второй степени и следить, чтобы не потерять ни одного корня. Что такое целое уравнение и его степень, рассказано в уроке «Целое уравнение и его корни».

Произведение равно нулю — ступень вниз

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. На рисунке — график $y=x^4+x^3-4x^2-4x$. Он пересекает ось $x$ в четырех точках. В каждой из них $y=0$, то есть абсциссы этих точек — корни уравнения $x^4+x^3-4x^2-4x=0$. Рисунок не подписан числами: где именно лежат эти точки и как не пропустить ни одной?

График функции y равно x в четвертой плюс x в кубе минус 4 x в квадрате минус 4x пересекает ось x в четырех точках, над каждой стоит вопрос: где именно эти корни — График пересекает ось $x$ четыре раза: у уравнения $x^4+x^3-4x^2-4x=0$ четыре корня

Формулы для корней уравнения четвертой степени в школе не изучают. Поэтому будем действовать иначе: спускаться по лестнице степеней. Сложное уравнение заменим несколькими простыми — первой или второй степени, которые вы уже умеете решать.

Ступенькой вниз служит знакомое свойство. Найдем корни уравнения $(x-1)(x+2)(2x-5)=0$. Слева — произведение трех множителей. Если $x=1$, первый множитель равен нулю, и все произведение равно нулю. То же при $x=-2$ (второй множитель) и при $x=2{,}5$ (третий). При любом другом $x$ все три множителя отличны от нуля, и их произведение тоже не нуль.

Правило

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

$$A\cdot B=0\ \Leftrightarrow\ A=0\ \text{или}\ B=0$$

Корни уравнения $A\cdot B=0$ — это все корни уравнения $A=0$ и все корни уравнения $B=0$ вместе.

Уравнение третьей степени $(x-1)(x+2)(2x-5)=0$ распалось на три уравнения первой степени. Если один из множителей квадратный, мы спускаемся на ступени первой и второй степени.

Лестница степеней для уравнения (x плюс 4) на (x в квадрате минус 3x минус 10) равно нулю. Множитель x плюс 4 сразу дает уравнение первой степени и корень минус 4. Множитель x в квадрате минус 3x минус 10 дает квадратное уравнение, а затем корни 5 и минус 2. Корни: минус 4, минус 2, 5 — Уравнение третьей степени распадается на уравнения первой и второй степени: корни $-4$, $-2$ и $5$

Пример 1

Решите уравнение $(x+4)(x^2-3x-10)=0$.

Произведение равно нулю, значит, $x+4=0$ или $x^2-3x-10=0$.

Первое уравнение: $x=-4$.

Второе: $D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=49$, $x=\frac{3\pm7}{2}$, то есть $x=5$ или $x=-2$.

Ответ: $-4;\ -2;\ 5$.

Каждый корень уравнения — это нуль одного из множителей. Наоборот, множитель $(x-a)$ в разложении означает корень $a$. Например, у многочлена $x(x-a)(x-b)$ при любых числах $a$ и $b$ корни $0$, $a$ и $b$: в этих точках его график встречается с осью $x$.

poly-roots

{"questions":[{"content":"График функции $y=(x+3)(x-1)(x-4)$ пересекает ось $x$ в точках с абсциссами [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$1$ и $4$","$-3$, $-1$ и $4$","$3$, $-1$ и $-4$","$-3$, $1$ и $4$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["На оси $x$ значение $y$ равно нулю: решаем $(x+3)(x-1)(x-4)=0$.","Каждый множитель приравниваем к нулю: $x+3=0$, $x-1=0$, $x-4=0$.","Абсциссы: $-3$, $1$ и $4$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $x(x-2)(x+3)=0$. В ответе запишите сумму корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей.","$x=0$, $x-2=0$ или $x+3=0$: корни $0$, $2$, $-3$.","Сумма: $0+2-3=-1$."],"step":1}],"mix":1}

Делить на переменную нельзя: так теряется корень

Чтобы применить правило, нужно получить произведение, равное нулю. Рассмотрим уравнение $x^3=x$ и два способа его решить.

Ошибка

Вообразавр решает так: «Разделю обе части на $x$: $x^2=1$, значит, $x=1$ или $x=-1$. Ответ: $-1;\ 1$».

Проверим на числах. Подставим $x=0$: слева $0^3=0$, справа $0$. Равенство верное — значит, $0$ тоже корень, а в ответе его нет.

Где сломалось рассуждение. Делить на $x$ можно только при $x\ne0$. Разделив, Вообразавр молча предположил, что $x\ne0$, и потерял именно этот корень.

Две панели в одном масштабе. Решавр выносит x: уравнение x(x в квадрате минус 1) равно нулю, график y равно x в кубе минус x пересекает ось в точках минус 1, 0 и 1. Вообразавр делит на x: остается y равно x в квадрате минус 1, точки минус 1 и 1, а корень 0 потерян. Всего три корня, а не два — График $y=x^3-x$ пересекает ось $x$ в трех точках; после деления на $x$ точка $x=0$ теряется

Решавр поступает иначе: переносит все в одну часть и выносит общий множитель.

$$x^3-x=0,\quad x(x^2-1)=0$$

Отсюда $x=0$ или $x^2=1$, то есть $x=\pm1$. Ответ: $-1;\ 0;\ 1$. Три корня — как три точки пересечения на графике.

Правило

Обе части уравнения нельзя делить на выражение с переменной: при значениях, где это выражение равно нулю, теряются корни. Нужно перенести все в одну часть и вынести общий множитель за скобки.

$$x^3=x\ \Rightarrow\ x^3-x=0\ \Rightarrow\ x(x^2-1)=0$$

Пример 2

Решите уравнение $x^3=5x^2$.

Переносим: $x^3-5x^2=0$. Выносим $x^2$: $x^2(x-5)=0$.

$x^2=0$ дает один корень $x=0$; $x-5=0$ дает $x=5$.

Ответ: $0;\ 5$.

Если бы мы разделили обе части на $x^2$, получили бы только $x=5$.

Деление на $x$ — спуск по лестнице без проверки: корень $0$ остался наверху.

{"questions":[{"content":"Вообразавр решал уравнение $x^3=4x$: «Делим обе части на $x$, получаем $x^2=4$, значит $x=\\pm2$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корень $x=-2$ лишний в ответе","Надо было делить на $x^2$","Ошибок нет, ответ верный","Потерян корень $x=0$"],"explanations":["Подстановка $x=-2$ дает $-8=-8$: корень верный, он не лишний","Деление на $x^2$ тоже теряет корень $x=0$","Подстановка $x=0$ дает верное равенство, значит ответ неполный",""],"answer":[3]}},"hints":["Деление на $x$ допустимо только при $x\\ne0$.","Подстановка $x=0$: $0=0$ — верно, это корень.","Верно так: $x(x^2-4)=0$, корни $0$, $2$, $-2$."],"step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^3=36x$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Переносим все в левую часть: $x^3-36x=0$.","Выносим $x$: $x(x^2-36)=0$, откуда $x=0$ или $x^2=36$.","Корни $0$, $6$ и $-6$ — всего три."],"step":1}],"mix":1}

Группировка: общая скобка у двух пар

У слагаемых уравнения $x^3+2x^2-9x-18=0$ нет общего множителя: $x$ входит не во все слагаемые, а у чисел $1$, $2$, $9$ и $18$ общий делитель только $1$. Но у пар слагаемых общий множитель есть. В первой паре $x^3+2x^2$ выносим $x^2$, во второй паре $-9x-18$ выносим $-9$. Группировка — способ найти ступеньку вниз, когда общего множителя у всех слагаемых нет.

Группировка x в кубе плюс 2x в квадрате минус 9x минус 18. Пары: x в кубе плюс 2x в квадрате и минус 9x минус 18. Из первой выносим x в квадрате, из второй минус 9, в обеих остается скобка x плюс 2. Выносим ее: (x плюс 2) на (x в квадрате минус 9) равно нулю — В обеих парах осталась одна и та же скобка $(x+2)$ — ее выносим: $(x+2)(x^2-9)=0$

Пример 3

Решите уравнение $x^3+2x^2-9x-18=0$.

Группируем: $x^2(x+2)-9(x+2)=0$.

Выносим общую скобку: $(x+2)(x^2-9)=0$.

$x+2=0$ дает $x=-2$; $x^2-9=0$ дает $x^2=9$, $x=\pm3$.

Ответ: $-3;\ -2;\ 3$.

Способ группировки

Объедините слагаемые в пары так, чтобы в каждой паре был общий множитель.
Вынесите его из каждой пары: в скобках должно остаться одно и то же выражение.
Вынесите общую скобку и приравняйте к нулю каждый множитель.

Почему это верно: мы дважды применили распределительный закон $ma+mb=m(a+b)$ — сначала внутри пар, потом к общей скобке. Уравнение при этом не меняется, поэтому корни не теряются и не появляются. Проверить разложение можно, раскрыв скобки. Подробно о разложении на множители — в уроке «Разложение на множители: комбинирование способов».

Обратите внимание

Если пара начинается с минуса, выносите множитель вместе с минусом: $-9x-18=-9(x+2)$. Если вынести $9$ без минуса, получится $9(-x-2)$, и скобки в парах не совпадут.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $x^3-3x^2-x+3=0$ способом группировки. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Группируем слагаемые парами: $(x^3-3x^2)+(-x+3)=0$","Тогда из первой пары выносим $x^2$, из второй $-1$: $x^2(x-3)-(x-3)=0$","Тогда выносим общую скобку $(x-3)$: $(x-3)(x^2-1)=0$","Значит, $x-3=0$ или $x^2-1=0$","Решаем оба уравнения. Ответ: $-1;\\ 1;\\ 3$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Слагаемые объединяем в пары: $(x^3-3x^2)+(-x+3)$.","В каждой паре выносим общий множитель: $x^2(x-3)-(x-3)$.","Общая скобка $(x-3)$ выносится: $(x-3)(x^2-1)=0$.","Ответ: $-1;\\ 1;\\ 3$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $x^3-x^2-4x+4=0$. В ответе запишите сумму корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Группируем: $x^2(x-1)-4(x-1)=0$, то есть $(x-1)(x^2-4)=0$.","$x=1$ или $x^2=4$: $x=\\pm2$.","Сумма: $1+2-2=1$."],"step":1}],"mix":1}

Формулы сокращенного умножения: спуск до конца

Иногда левая часть уравнения уже является разностью квадратов или разностью кубов. Тогда первым шагом применяем формулу.

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Пример 4

Решите уравнение $16x^4-1=0$.

$16x^4=(4x^2)^2$, поэтому $16x^4-1=(4x^2-1)(4x^2+1)$.

$4x^2-1=0$ дает $x^2=\frac14$, $x=\pm\frac12$.

$4x^2+1=0$ корней не имеет: при любом $x$ выражение $4x^2+1\ge1$.

Ответ: $-\frac12;\ \frac12$.

У уравнения $x^3-8=0$ разложение $(x-2)(x^2+2x+4)=0$. Первый множитель дает $x=2$. У второго $D=2^2-4\cdot 4=-12<0$, корней нет. Единственный корень: $2$.

Значит, на нижней ступени нас ждут множители первой степени и квадратные. Квадратный множитель нужно обязательно проверить: у него может быть два корня, один или ни одного.

Три параболы в одной системе координат. Парабола y равно x в квадрате минус 9 пересекает ось x в точках минус 3 и 3: два корня. Парабола y равно x в квадрате касается оси в нуле: один корень. Парабола y равно x в квадрате плюс 9 лежит над осью: корней нет — Квадратный множитель $x^2-9$ обращается в нуль дважды, $x^2$ — один раз, $x^2+9$ — ни разу

Ошибка

Вообразавр решает уравнение из примера 3: «$(x+2)(x^2-9)=0$, $x=-2$. Множитель $x^2-9$ — квадратный, он уже не раскладывается. Ответ: $-2$».

Проверим на числах. При $x=3$: $27+18-27-18=0$. Число $3$ — корень, а в ответе его нет.

Где сломалось рассуждение. Квадратный множитель тоже может обращаться в нуль. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ — это еще одна ступень вниз: корни $3$ и $-3$. Спуск закончен, только когда каждый множитель решен как уравнение.

{"questions":[{"content":"Вообразавр решал уравнение $x^3+5x^2-x-5=0$: «Группирую: $(x+5)(x^2-1)=0$. Из $x+5=0$ получаю $x=-5$. Множитель $x^2-1$ — квадратный, на множители он не раскладывается. Ответ: $-5$». Что неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было разделить обе части уравнения на $x^2-1$","Группировка выполнена неверно: скобки не совпадают","Потеряны корни $1$ и $-1$: множитель $x^2-1$ тоже обращается в нуль","Корень $-5$ посторонний: он не подходит к уравнению"],"explanations":["Деление на выражение с переменной теряет корни $\\pm1$; множители приравнивают к нулю","Раскрытие $(x+5)(x^2-1)$ дает $x^3+5x^2-x-5$, группировка верная","","Подстановка $x=-5$: $-125+125+5-5=0$, корень верный"],"answer":[2]}},"hints":["Раскройте скобки $(x+5)(x^2-1)$: группировка верная.","Приравняйте к нулю второй множитель: $x^2-1=0$, $x^2=1$.","Потеряны корни $1$ и $-1$. Верный ответ: $-5;\\ -1;\\ 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^4-81=0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)$.","$x^2=9$ дает $x=\\pm3$; $x^2=-9$ корней не имеет.","Всего два корня."],"step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $(x^2+1)(x-3)=0$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Один корень","Ни одного корня","Два корня","Три корня"],"explanations":["","Множитель $x-3$ равен нулю при $x=3$: это корень уравнения","Множитель $x^2+1$ положителен при любом $x$ и в нуль не обращается","Из $x^2+1=0$ берут $x=\\pm1$, но $x^2=-1$ невозможно"],"answer":[0]}},"hints":["$x^2+1=0$ дает $x^2=-1$: решений нет.","$x-3=0$ дает $x=3$. Один корень."],"step":1}],"mix":1}

Если один корень уже известен

Обратите внимание

Это раздел повышенной сложности. Большинство уравнений в задачах решаются способами из разделов 1–4.

В уравнении $x^3-7x+6=0$ три слагаемых: общего множителя нет, на пары их не разбить. Но число $1$ подходит: $1-7+6=0$. Если $a$ — корень многочлена, то этот многочлен делится на $x-a$. Значит, у левой части есть множитель $(x-1)$ — это и есть ступенька вниз: известный корень $a$ всегда показывает множитель $(x-a)$. Выделить его можно по шагам.

Выделение множителя x минус 1 в многочлене x в кубе минус 7x плюс 6. Слагаемое минус 7x расщепляем на минус x и минус 6x и добавляем минус x в квадрате и плюс x в квадрате. Получаем три пары, в каждой скобка x минус 1. Выносим: (x минус 1) на (x в квадрате плюс x минус 6) равно нулю — Слагаемые расщепляем так, чтобы в каждой паре появилась скобка $(x-1)$

Как выделить множитель с известным корнем

Из $x^3$ сделайте пару $x^3-ax^2=x^2(x-a)$; к слагаемому с $x^2$ (если его нет — к нулю) прибавьте $ax^2$, чтобы уравнение не изменилось.
Получившееся слагаемое $kx^2$ сделайте парой $kx^2-akx=kx(x-a)$, изменив слагаемое с $x$ на столько же.
Оставшиеся слагаемые дадут третью пару $c(x-a)$: она есть, потому что $a$ — корень.
Вынесите общую скобку $(x-a)$.

Пример 5

Решите уравнение $x^3-7x+6=0$, зная, что $x=1$ — его корень.

Чтобы из $x^3$ вынести $(x-1)$, нужна пара $x^3-x^2$. Добавим и вычтем $x^2$, затем $-7x$ запишем как $-x-6x$ (здесь $a=1$):

$$x^3-x^2+x^2-x-6x+6=0$$

$$x^2(x-1)+x(x-1)-6(x-1)=0$$

$$(x-1)(x^2+x-6)=0$$

$x^2+x-6=0$: $D=1+24=25$, $x=\frac{-1\pm5}{2}$, то есть $x=2$ или $x=-3$.

Ответ: $-3;\ 1;\ 2$.

Почему многочлен делится на множитель с известным корнем

Скрыть

Пусть $P(x)=x^3+bx^2+cx+d$ и $P(a)=0$. Вычтем: $P(x)-P(a)=(x^3-a^3)+b(x^2-a^2)+c(x-a)$. Каждая скобка делится на $x-a$ по формулам разности кубов и разности квадратов. Значит, $P(x)=P(x)-P(a)$ делится на $x-a$. Для многочлена четвертой степени рассуждение то же.

Повышенная сложность: где искать целый корень

Скрыть

Пусть у уравнения $x^3+bx^2+cx+d=0$ все коэффициенты целые и есть целый корень $a$. Тогда $a^3+ba^2+ca+d=0$, то есть $d=-a(a^2+ba+c)$. В скобках целое число, поэтому $d$ делится на $a$.

Значит, целый корень может быть только делителем свободного члена. Для $x^3-7x+6=0$ проверяем делители числа $6$: $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm6$. Подходят $1$, $2$ и $-3$. Делитель — лишь кандидат: его обязательно подставляют.

Тот же результат дает деление многочлена на $x-a$ «уголком».

{"questions":[{"content":"Уравнение $x^3-6x^2+11x-6=0$ имеет корень $x=1$. Найдите сумму всех его корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Выделяем $(x-1)$ по рамке из раздела 5: $x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)$.","$x^2-5x+6=0$ дает $x=2$ и $x=3$.","Корни $1$, $2$, $3$, сумма равна $6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Четвертая степень: вся лестница сразу

Вернемся к уравнению из начала урока: $x^4+x^3-4x^2-4x=0$. Ни одного способа не хватает сразу, но друг за другом они приводят на нижнюю ступень.

Пример 6

Шаг 1. Общий множитель $x$: $x(x^3+x^2-4x-4)=0$. Степень $4$ распалась на $1$ и $3$.

Шаг 2. Группировка в скобке: $x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)$. Получили $x(x+1)(x^2-4)=0$.

Шаг 3. Разность квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Итог: $x(x+1)(x-2)(x+2)=0$.

Каждый множитель дает свой корень. Ответ: $-2;\ -1;\ 0;\ 2$.

Подстановка подтверждает, что это точные корни: например, при $x=2$ получаем $16+8-16-8=0$, при $x=-1$ получаем $1-1-4+4=0$.

Сверху лестница разложения: четвертая степень, затем множитель x и кубический, затем x, x плюс 1 и x в квадрате минус 4, затем четыре множителя первой степени x плюс 2, x плюс 1, x и x минус 2. Каждый множитель линией соединен со своей точкой на графике y равно x в четвертой плюс x в кубе минус 4 x в квадрате минус 4x: точки минус 2, минус 1, 0 и 2 — Четыре множителя первой степени — четыре точки на оси: $-2$, $-1$, $0$ и $2$

Если общий множитель — $x^2$, его тоже выносят, а не сокращают. В уравнении $x^4-2x^3-3x^2=0$ получаем $x^2(x^2-2x-3)=0$. Множитель $x^2$ дает один корень $0$, квадратное уравнение — корни $3$ и $-1$. Ответ: $-1;\ 0;\ 3$. Различных корней три, хотя степень уравнения четыре.

Порядок действий

Перенесите все слагаемые в одну часть, справа — нуль.
Вынесите общий множитель, если он есть.
Разложите оставшееся: группировкой или по формуле.
Приравняйте к нулю каждый множитель и решите каждое уравнение до конца.
Запишите все корни вместе, без повторов.

Что видим	Что делаем	Где проверяем себя
Общий множитель у всех слагаемых, в том числе $x$ или $x^2$	Выносим за скобки	Не делим на $x$: корень $0$ сохраняется
Четыре слагаемых без общего множителя	Группируем по два	Скобки в парах должны совпасть
Разность квадратов или кубов	Применяем формулу	Квадратный множитель решаем до конца
Известен корень $a$ (повышенный уровень)	Выделяем множитель $(x-a)$	Подставляем корень, прежде чем выделять множитель

{"questions":[{"content":"Распределите уравнения по первому шагу решения. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Вынести общий множитель","Сгруппировать слагаемые","Разность квадратов"],"items":[["$x^3-7x^2=0$","$2x^3+6x=0$"],["$x^3-3x^2+2x-6=0$","$x^3+x^2-5x-5=0$"],["$x^4-36=0$","$16x^4-81=0$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Если у всех слагаемых есть общий множитель, его выносят первым.","Если слагаемых четыре и общего множителя нет, группируют по два.","Двучлен вида $a^2-b^2$ раскладывают по формуле разности квадратов."],"step":1},{"content":"Сколько различных корней имеет уравнение $x^4-5x^3+4x^2=0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Выносим $x^2$: $x^2(x^2-5x+4)=0$.","$x=0$ или $x^2-5x+4=0$, откуда $x=1$ и $x=4$.","Три различных корня."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Уравнения третьей и четвертой степени встречаются в задачах второй части экзамена, а прием «разложить и приравнять каждый множитель к нулю» понадобится в неравенствах и при исследовании функций. Чтобы вспомнить главное, представьте лестницу степеней: каждый шаг разложения — ступень вниз, а на каждой ступени — проверка, что корни не потеряны. Какой способ выбрать первым, подскажет таблица из последнего раздела.

В следующем уроке, «Дробно-рациональные уравнения», переменная окажется в знаменателе. Спуск по лестнице останется тем же, но появится новая проверка: при некоторых $x$ дробь не имеет смысла.

Часто задаваемые вопросы

Сколько корней может быть у уравнения третьей степени?

Не больше трех. Уравнение третьей степени распадается на множители не выше второй степени, и каждый из них дает не больше двух корней. Корней может быть три, два или один: например, у $x^3-8=0$ корень один. Хотя бы один корень у уравнения третьей степени есть всегда.

Почему нельзя просто разделить на $x$, если так быстрее?

Деление на $x$ возможно только при $x\ne0$. Разделив, вы выбрасываете из рассмотрения значение $x=0$, а оно может оказаться корнем, как в уравнении $x^3=x$. Вынесение $x$ за скобки дает тот же квадратный множитель и сохраняет корень $0$.

Как понять, что разложение закончено?

Разложение закончено, когда остались множители первой степени и квадратные множители без корней ($D<0$ или вида $x^2+9$). Каждый квадратный множитель с корнями — еще одна ступень: решите его как уравнение.

Чем этот урок отличается от биквадратных уравнений?

Биквадратное уравнение $ax^4+bx^2+c=0$ решается заменой $t=x^2$. Уравнения этого урока содержат и нечетные степени, например $x^3$, поэтому заменой не обойтись: их раскладывают на множители.

Можно ли проверить ответ?

Да. Подставьте каждый корень в исходное уравнение: должно получиться верное равенство. Еще проверьте число корней по графику левой части: сколько раз он пересекает ось $x$ или касается ее, столько различных корней у уравнения.

Награды за урок