ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
14. Прогрессии: все задания
В амфитеатре $15$ рядов. В первом ряду $20$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 20, \quad d = 2$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$
$3)$ Найдем $a_{10}{:}$
$$a_{10} = 20 + (10- 1) \cdot 2 = 20 + 9 \cdot 2 = 20 + 18 = 38$$
20
В амфитеатре $13$ рядов. В первом ряду $17$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 17, \quad d = 2, \quad n = 13$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$
Найдем $a_{13}{:}$
$$a_{13} = 17 + (13- 1) \cdot 2 = 17 + 24 = 41$$
$3)$ Формула суммы арифметической прогрессии:
$$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$
Вычислим $S_{13}{:}$
$$S_{13} = \dfrac{17 + 41}{2} \cdot 13 = 377$$
20
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение $10$ минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $6^\circ C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через $4$ минуты после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $-7^\circ C.$
$1)$ Начальная температура: $t_0 = -7^\circ C.$
$2)$ Каждую минуту температура уменьшается на $6^\circ C{:}$
$$t_n = t_0- n \cdot 6$$
$3)$ Через $4$ минуты:
$$t_4 = -7- 4 \cdot 6 = -31$$
20
Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду после начала торможения автомобиль проехал $30\ м,$ а за каждую следующую секунду он проезжал на $4\ м$ меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошел за первые $5$ секунд торможения?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 30, \quad d = -4, \quad n = 5$$
$2)$ Найдем путь за пятую секунду:
$$a_5 = a_1 + (5- 1) \cdot d = 30 + 4 \cdot (-4) =14\ \text{м}$$
$3)$ Сумма первых пяти членов прогрессии:
$$S_5 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot n = \dfrac{30 + 14}{2} \cdot 5 = 110\ \text{м}$$
20
Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду после начала торможения автомобиль проехал $24\ м,$ а за каждую следующую секунду он проезжал на $8\ м$ меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошел до полной остановки?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 24,\quad d = -8$$
$2)$ Найдем номера членов прогрессии, пока они положительны:
$$a_2 = 24- 8 = 16,\ \ a_3 = 16- 8 = 8,$$$$a_4 = 8- 8 = 0$$ Движение до полной остановки — первые $3$ секунды.
$3)$ Сумма первых трех членов прогрессии:
$$S_3 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \cdot 3 = \dfrac{24 + 8}{2} \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48\ \text{м}$$
20
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на $0.6\ м,$ а за каждую следующую секунду он проходил на $0.1\ м$ больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошел за первые $7$ секунд движения?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 0.6,\quad d = 0.1,\quad n = 7$$
$2)$ Найдем расстояние, пройденное за седьмую секунду:
$$a_7 = a_1 + (7- 1) \cdot d = 0.6 + 6 \cdot 0.1 = 1.2\ \text{м}$$
$3)$ Сумма первых семи членов прогрессии:
$$S_7 = \dfrac{a_1 + a_7}{2} \cdot n = \dfrac{0.6 + 1.2}{2} \cdot 7 = 0.9 \cdot 7 = 6.3\ \text{м}$$
20
Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает $6\ м,$ а за каждую следующую секунду на $10\ м$ больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые $5$ секунд?
$1)$ Расстояния, пролетаемые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 6,\quad d = 10,\quad n = 5$$
$2)$ Найдем расстояние, пройденное за пятую секунду:
$$a_5 = a_1 + (5- 1) \cdot d = 6 + 4 \cdot 10 = 46\ \text{м}$$
$3)$ Сумма первых пяти членов прогрессии:
$$S_5 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot n = \dfrac{6 + 46}{2} \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130\ \text{м}$$
20
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой $3\ мг.$ За каждые $20$ минут масса колонии увеличивается в $3$ раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через $80$ минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
$1)$ Число периодов удвоения за $80$ минут:
$$\dfrac{80}{20} = 4$$
$2)$ Масса колонии через $4$ периода:
$$m = 3 \cdot 3^4 = 3 \cdot 81 = 243\ \text{мг}$$
20
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на $2.4\ м,$ а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счету прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты $5\ см?$
$1)$ Переведем высоту первого прыжка в сантиметры:
$$2.4\ \text{м} = 240\ \text{см}$$
$2)$ Каждый следующий прыжок в два раза ниже предыдущего:
$$h_1 = 240,\quad h_2 = 120,\quad h_3 = 60,\quad h_4 = 30,\quad$$$$h_5 = 15,\quad h_6 = 7.5,\quad h_7 = 3.75\ \text{см}$$
$3)$ Высота $5$ см впервые не будет достигнута при седьмом прыжке, так как $3.75 < 5.$
20
В амфитеатре $10$ рядов. В первом ряду $25$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 25,\quad d = 3$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$
$3)$ Найдем $a_8{:}$
$$a_8 = 25 + (8- 1) \cdot 3 = 25 + 21 = 46$$
20
В амфитеатре $10$ рядов. В первом ряду $19$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 19, \quad d = 3, \quad n = 10$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$
Найдем $a_{10}{:}$
$$a_{10} = 19 + (10- 1) \cdot 3 = 46$$
$3)$ Формула суммы арифметической прогрессии:
$$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$
Вычислим $S_{10}{:}$
$$S_{10} = \dfrac{19 + 46}{2} \cdot 10 = \dfrac{65}{2} \cdot 10 = 325$$
20
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение $10$ минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $8^\circ C.$ Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через $6$ минут после начала опыта, если начальная температура вещества составляла $-6^\circ C.$
$1)$ Температура каждую минуту уменьшается на $8^\circ C,$ значит, образуется арифметическая прогрессия:
$$a_1 = -6,\quad d = -8$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$ Через $6$ минут после начала — это температура в $7$-ю минуту ($a_7){:}$
$$a_7 = -6 + (7- 1) \cdot (-8) = -6- 48 = -54$$
20
Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду после начала торможения автомобиль проехал $15\ м,$ а за каждую следующую секунду он проезжал на $2\ м$ меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошел за первые $5$ секунд торможения?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 15,\quad d = -2,\quad n = 5$$
$2)$ Найдем путь за пятую секунду:
$$a_5 = a_1 + (5- 1) \cdot d = 15 + 4 \cdot (-2) = 7\ \text{м}$$
$3)$ Сумма первых пяти членов прогрессии:
$$S_5 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot n = \dfrac{15 + 7}{2} \cdot 5 = 55\ \text{м}$$
20
Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду после начала торможения автомобиль проехал $45\ м,$ а за каждую следующую секунду он проезжал на $9\ м$ меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошел до полной остановки?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 45,\quad d = -9$$
$2)$ Найдем номера членов прогрессии, пока они положительны: $$a_2 = 45- 9 = 36, \ \ a_3 = 36- 9 = 27$$ $$a_4 = 27- 9 = 18, \ \ a_5 = 18- 9 = 9$$$$a_6 = 9- 9 = 0$$Движение до полной остановки — первые $5$ секунд.
$3)$ Сумма первых пяти членов прогрессии:
$$S_5 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = \dfrac{45 + 9}{2} \cdot 5 = 135\ \text{м}$$
20
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на $0.4\ м,$ а за каждую следующую секунду он проходил на $0.3\ м$ больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошел за первые $10$ секунд движения?
$1)$ Расстояния, проходимые за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 0.4,\quad d = 0.3,\quad n = 10$$
$2)$ Найдем расстояние, пройденное за десятую секунду:
$$a_{10} = a_1 + (10- 1) \cdot d = 0.4 + 9 \cdot 0.3 = 3.1\ \text{м}$$
$3)$ Сумма первых десяти членов прогрессии:
$$S_{10} = \dfrac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot n = \dfrac{0.4 + 3.1}{2} \cdot 10 = 17.5\ \text{м}$$
20
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой $5\ мг.$ За каждые $30$ минут масса колонии увеличивается в $3$ раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через $120$ минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
$1)$ Число периодов увеличения за $120$ минут:
$$\dfrac{120}{30} = 4$$
$2)$ Масса колонии увеличивается в $3$ раза каждый период, значит, через $4$ периода:
$$m = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405\ \text{мг}$$
20
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые $8$ минут. В начальный момент масса изотопа составляла $200\ мг.$ Найдите массу изотопа через $32$ минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
$1)$ Число периодов полураспада за $32$ минуты:
$$\dfrac{32}{8} = 4$$
$2)$ Масса изотопа уменьшается вдвое каждый период, значит, через $4$ периода:
$$m = 200 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 200 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{200}{16} = 12.5\ \text{мг}$$
20
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на $4.5 \ м,$ а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счету прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты $20\ см?$
$1)$ Переведем высоту первого прыжка в сантиметры:
$$4.5\ \text{м} = 450\ \text{см}$$
$2)$ Каждый следующий прыжок в три раза ниже предыдущего:
$$h_1 = 450,\quad h_2 = 450 : 3 = 150\quad$$$$h_3 = 150 : 3 = 50\quad h_4 = 50 : 3 \approx 16.667\ \text{см}$$
$3)$ Высота $20$ см впервые не будет достигнута при четвертом прыжке, так как $16.667 < 20.$
20
В амфитеатре $14$ рядов. В первом ряду $20$ мест, а в каждом следующем на $3$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 20,\quad d = 3$$ $2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$ $3)$ Найдем $a_{10}{:}$
$$a_{10} = 20 + (10- 1) \cdot 3 = 20 + 9 \cdot 3 = 47$$
20
В амфитеатре $12$ рядов. В первом ряду $18$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
$1)$ Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
$$a_1 = 18, \quad d = 2, \quad n = 12$$
$2)$ Формула $n$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n = a_1 + (n- 1) \cdot d$$ Найдем $a_{12}{:}$
$$a_{12} = 18 + (12- 1) \cdot 2 = 18 + 22 = 40$$
$3)$ Формула суммы арифметической прогрессии:
$$S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ Вычислим $S_{12}{:}$
$$S_{12} = \dfrac{18 + 40}{2} \cdot 12 = \dfrac{58}{2} \cdot 12 = 348$$
20