25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: Электричество и электродинамика

$1.$ Напряженность электрического поля в конденсаторе: $$E = \frac{U}{d}$$ $2.$ Сила, действующая на пылинку со стороны поля: $$F = |q| E = \frac{|q| U}{d}$$ $3.$ Ускорение пылинки вдоль оси $Oy$ (перпендикулярно пластинам): $$a = \frac{F}{m} = \frac{|q| U}{m d}$$ $4.$ Время пролета конденсатора вдоль оси $Ox$: $$t = \frac{l}{v}$$ $5.$ Смещение пылинки вдоль оси $Oy$ за время $t$: $$s_y = \frac{a t^2}{2} = \frac{|q| U l^2}{2 m d v^2}$$ $6.$ Условие пролета насквозь: $$s_y \leq \frac{d}{2}$$ $7.$ Подставляем и находим минимальную скорость: $$\frac{|q| U l^2}{2 m d v^2} \leq \frac{d}{2} \quad \Rightarrow \quad v \geq \frac{l}{d} \sqrt{\frac{|q| U}{m}}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $l = 0.1 \space \text{м},$ $d = 0.01 \space \text{м},$ $|q| = 1.8 \cdot 10^{-14} \space \text{Кл},$ $U = 5\space000 \space \text{В},$ $m = 10^{-11} \space \text{кг}{:}$ $$v = \frac{0.1}{0.01} \sqrt{\frac{1.8 \cdot 10^{-14} \cdot 5\space000}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{-11}}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30 \space \text{м/с}$$ Ответ: минимальная скорость пылинки равна $30 \space \text{м/с}.$

$1.$ При разомкнутом ключе конденсатор разряжается через резистор $R.$ По закону сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: $$Q = W_C = \frac{q U}{2}$$ где $U$ — напряжение на конденсаторе.

$2.$ При замкнутом ключе конденсатор заряжен до напряжения $U,$ которое равно падению напряжения на резисторе $R.$ По закону Ома для полной цепи: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

$3.$ Напряжение на резисторе $R$ (и на конденсаторе): $$U = I R = \frac{\mathcal{E} R}{R + r}$$

$4.$ Подставляем выражение для напряжения в формулу для теплоты: $$Q = \frac{q}{2} \cdot \frac{\mathcal{E} R}{R + r}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $q = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $\mathcal{E} = 24 \space \text{В},$ $R = 25 \space \text{Ом},$ $r = 5 \space \text{Ом}{:}$
$$Q = \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot (25 + 5)} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot 30} = \frac{1\space200 \cdot 10^{-6}}{60} = 20 \cdot 10^{-6} \space \text{Дж} = 20 \space \text{мкДж}$$

Ответ: количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно $20 \space \text{мкДж}.$

$1.$ При изменении расстояния между пластинами конденсатора изменяется его емкость. По закону сохранения энергии:
$$A_{\text{ист}} + A = \Delta W + Q$$ где $A_{\text{ист}}$ — работа источника, $A$ — работа против сил притяжения, $\Delta W$ — изменение энергии конденсатора, $Q$ — теплота на резисторе.

$2.$ Работа источника: $$A_{\text{ист}} = \mathcal{E} \Delta q = \mathcal{E}^2 \Delta C$$ где $\Delta q$ — изменение заряда конденсатора, $\Delta C$ — изменение емкости.

$3.$ Изменение энергии конденсатора: $$\Delta W = W_2-W_1 = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_2- \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_1 = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C$$ $4.$ Подставляем в закон сохранения энергии:$$\mathcal{E}^2 \Delta C + A = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C + Q$$ $5.$ Решаем уравнение относительно $\Delta C$: $$\mathcal{E}^2 \Delta C -\frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A$$ $$\frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A$$ $$\Delta C = \frac{2(Q -A)}{\mathcal{E}^2}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $Q = 4 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $A = 9 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}$ $$\Delta C = \frac{2(4 \cdot 10^{-5} -9 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \frac{2(-5 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \frac{-10^{-4}}{10\space000} = -10^{-8} \space \text{Ф}$$ Ответ: емкость конденсатора уменьшилась на $10^{-8} \space \text{Ф}.$

$1.$ При замкнутом ключе конденсатор заряжается до напряжения $U,$ равного напряжению на резисторе $R.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

$3.$ Напряжение на резисторе $R$ (и на конденсаторе): $$U = I R = \frac{\mathcal{E} R}{R + r} = \frac{\mathcal{E}}{1 + \frac{r}{R}} = \frac{\mathcal{E}}{1 + k}$$

$4.$ После размыкания ключа конденсатор разряжается через резистор $R.$ По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: $$Q = \frac{C U^2}{2} = \frac{C}{2} \left( \frac{\mathcal{E}}{1 + k} \right)^2$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $C = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф},$ $\mathcal{E} = 12 \space \text{В},$ $k = 0.2{:}$
$$Q = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{2} \cdot \left( \frac{12}{1.2} \right)^2 = 10^{-7} \cdot (10)^2 = 10^{-7} \cdot 100 = 10^{-5} \space \text{Дж}$$

Ответ: количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно $10^{-5} \space \text{Дж}.$

$1.$ После установления равновесия ток через резисторы прекратится. Конденсатор $C_1$ будет заряжен до напряжения $\mathcal{E}$, так как он подключен непосредственно к источнику. Конденсатор $C_2$ окажется разряженным, поскольку его обкладки соединены через резисторы с одинаковым потенциалом.

$2.$ Заряд, прошедший через источник тока: $$q = C_1 \mathcal{E}$$ $3.$ Работа сторонних сил источника тока: $$A = q \mathcal{E} = C_1 \mathcal{E}^2$$ $4.$ Подставляем числовые значения: $C_1 = 10^{-4} \space \text{Ф},$ $\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}$ $$A = 10^{-4} \cdot (100)^2 = 10^{-4} \cdot 10^4 = 1 \space \text{Дж}$$ Ответ: работа сторонних сил равна $1 \space \text{Дж}.$

$1.$ При нахождении ключа в положении $1$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}$. Энергия заряженного конденсатора: $$W_0 = \frac{C \mathcal{E}^2}{2}$$

$2.$ После переключения ключа в положение $2$ конденсатор разряжается через резистор $R.$ К моменту времени $t$ на резисторе выделилось тепло $Q,$ а на конденсаторе осталась энергия $W = \dfrac{C U^2}{2},$ где $U$ — напряжение на конденсаторе в момент $t.$

$3.$ По закону сохранения энергии: $$W_0 = W + Q$$ $$\frac{C \mathcal{E}^2}{2} = \frac{C U^2}{2} + Q$$ $4.$ Выражаем напряжение на конденсаторе: $$U = \sqrt{\mathcal{E}^2 -\frac{2Q}{C}}$$ $5.$ Сила тока в цепи в момент $t$: $$I = \frac{U}{R}$$ откуда $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{I} \sqrt{\mathcal{E}^2 -\frac{2Q}{C}}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $I = 10^{-4} \space \text{А},$ $\mathcal{E} = 15 \space \text{В},$ $Q = 2.5 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $C = 4 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф}{:}$ $$R = \frac{1}{10^{-4}} \sqrt{225 -\frac{5 \cdot 10^{-5}}{4 \cdot 10^{-7}}} = 10^4 \sqrt{225 -125} = 10^4 \sqrt{100} = 10^4 \cdot 10 = 10^5 \space \text{Ом}$$ Ответ: сопротивление резистора $R$ равно $100 \space \text{кОм}.$

$1.$ Исходный заряд системы конденсаторов: $$q = C_{\text{общ}} U = (C + 2C) U = 3CU$$ $2.$ После вытекания диэлектрика из левого конденсатора его емкость уменьшается: $$C_1′ = \frac{C}{\varepsilon}$$ Емкость правого конденсатора остается неизменной: $$C_2′ = 2C$$ $3.$ Новая общая емкость: $$C_{\text{общ}}’ = C_1′ + C_2′ = \frac{C}{\varepsilon} + 2C = C \left( \frac{1}{\varepsilon} + 2 \right)$$ $4.$ Заряд сохраняется, поэтому новое напряжение: $$U’ = \frac{q}{C_{\text{общ}}’} = \frac{3CU}{C \left( \frac{1}{\varepsilon} + 2 \right)} = \frac{3U}{\frac{1}{\varepsilon} + 2} = \frac{3U}{\frac{1 + 2\varepsilon}{\varepsilon}} = \frac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}$$ Ответ: разность потенциалов между обкладками станет равной $\dfrac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}.$

$1.$ При разомкнутом ключе ток течет только через резисторы $R_1$ и $R_3,$ так как диод включен в обратном направлении. Общее сопротивление: $$R_{\text{общ}} = R_1 + R_3 = 2R$$
По закону Ома: $$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{2R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E} = 2 I_0 R$$ $2.$ При замыкании ключа лампа подключается параллельно резистору $R_3$. Сопротивление параллельного участка: $$R_{\text{пар}} = \frac{R_3 \cdot R_{\text{л}}}{R_3 + R_{\text{л}}} = \frac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \frac{3}{4}R$$ $3.$ Общее сопротивление цепи после замыкания ключа: $$R_{\text{общ}}’ = R_1 + R_{\text{пар}} = R + \frac{3}{4}R = \frac{7}{4}R$$ $4.$ Сила тока в цепи: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{общ}}’} = \frac{2 I_0 R}{\frac{7}{4}R} = \frac{8}{7} I_0$$ $5.$ Напряжение на параллельном участке: $$U_{\text{пар}} = I \cdot R_{\text{пар}} = \frac{8}{7} I_0 \cdot \frac{3}{4}R = \frac{6}{7} I_0 R$$ $6.$ Сила тока через лампу: $$I_{\text{л}} = \frac{U_{\text{пар}}}{R_{\text{л}}} = \frac{\frac{6}{7} I_0 R}{3R} = \frac{2}{7} I_0$$ $7.$ Подставляем числовое значение: $$I_{\text{л}} = \frac{2}{7} \cdot 1.4 = 0.4 \space \text{А}$$ $8.$ Сравниваем с током зажигания: $0.4 \space \text{А} < 0.5 \space \text{А},$ значит лампа не загорится.

Ответ: сила тока через лампу равна $0.4 \space \text{А},$ лампа не загорится.

$1.$ После установления равновесия в положении $1$ конденсатор заряжается до напряжения $U_1$ на резисторе $R_1.$ По закону Ома для участка цепи: $$U_1 = I R_1$$ где $I$ — сила тока в цепи.

$2.$ После переключения в положение $2$ конденсатор перезаряжается до напряжения $U_2$ на участке $R_1 + R_2$: $$U_2 = I (R_1 + R_2)$$ $3.$ Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения: $$E = \frac{C U^2}{2}$$ поэтому отношение энергий: $$n = \frac{E_2}{E_1} = \frac{U_2^2}{U_1^2}$$ $4.$ Подставляем выражения для напряжений: $$n = \left( \frac{U_2}{U_1} \right)^2 = \left( \frac{I (R_1 + R_2)}{I R_1} \right)^2 = \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1} \right)^2 = \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right)^2$$ $5.$ Подставляем данное отношение $\dfrac{R_2}{R_1} = 4$: $$n = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25$$ Ответ: энергия конденсатора увеличится в $25$ раз.

$1.$ Сила Ампера, действующая на стержень: $$F_A = B I l = 0.1 \cdot 10 \cdot 0.1 = 0.1 \space \text{Н}$$

$2.$ Ускорение стержня в горизонтальном направлении: $$a = \frac{F_A}{m} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \space \text{м/с}^2$$ $3.$ Скорость стержня в момент выключения тока: $$v = a t = 10 \cdot 0.1 = 1 \space \text{м/с}$$ $4.$ По закону сохранения энергии после прекращения тока кинетическая энергия переходит в потенциальную: $$\frac{m v^2}{2} = m g h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v^2}{2g} = \frac{1}{2 \cdot 10} = 0.05 \space \text{м}$$ $5.$ Из геометрии подвеса: $$\cos \alpha = \frac{L -h}{L} = 1 -\frac{h}{L} = 1 -\frac{0.05}{1} = 0.95$$ $6.$ Находим угол: $$\alpha = \arccos(0.95) \approx 18^\circ$$ Ответ: максимальный угол отклонения нитей от вертикали составит $18^\circ.$

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ $2.$ Выражаем радиус траектории: $$R = \frac{m v}{B q}$$ $3.$ Для первой частицы: $$R_1 = \frac{m_1 v_1}{B q_1}$$ Для второй частицы: $$R_2 = \frac{m_2 v_2}{B q_2}$$ $4.$ Находим отношение радиусов: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{m_1 v_1}{B q_1} \cdot \frac{B q_2}{m_2 v_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{v_1}{v_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}$$ $5.$ Выражаем отношение скоростей: $$\frac{v_1}{v_2} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{q_1}{q_2}$$ $6.$ Подставляем данные значения: $$\frac{v_1}{v_2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = 1$$ Ответ: отношение скоростей частиц $\dfrac{v_1}{v_2} = 1.$

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ $2.$ Выражаем радиус траектории: $$R = \frac{m v}{B q}$$ $3.$ Период обращения частицы: $$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{B q}$$ $4.$ Для первой частицы: $$T_1 = \frac{2\pi m_1}{B q_1}$$ Для второй частицы: $$T_2 = \frac{2\pi m_2}{B q_2}$$ $5.$ Находим отношение периодов: $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}$$ $6.$ Выражаем отношение зарядов: $$\frac{q_1}{q_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}$$ $7.$ Подставляем данные значения: $$\frac{q_1}{q_2} = 4 \cdot 2 = 8$$ Ответ: отношение зарядов частиц $\dfrac{q_1}{q_2} = 8.$

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ Откуда радиус орбиты: $$R = \frac{m v}{B q}$$ $2.$ Частота обращения: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R} = \frac{B q}{2\pi m}$$ $3.$ Кинетическая энергия: $$E_k = \frac{m v^2}{2}$$ $4.$ По условию $E_k \propto \nu,$ значит существует константа $k$ такая, что: $$\frac{m v^2}{2} = k \nu$$ $5.$ Подставляем выражение для частоты: $$\frac{m v^2}{2} = k \frac{B q}{2\pi m}$$ $6.$ Выражаем скорость: $$v^2 = \frac{k B q}{\pi m^2}$$ $7.$ Подставляем в выражение для радиуса: $$R = \frac{m}{B q} \sqrt{\frac{k B q}{\pi m^2}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{k B q}{\pi}}$$ $8.$ Для начального состояния $($ $B = B_0,$ $R = R_0){:}$ $$R_0 = \frac{1}{B_0} \sqrt{\frac{k B_0 q}{\pi}} = \sqrt{\frac{k q}{\pi B_0}}$$ $9.$ Выражаем константу $k{:}$ $$k = \frac{\pi B_0 R_0^2}{q}$$ $10.$ Подставляем в общую формулу для радиуса: $$R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{\pi B_0 R_0^2 q}{\pi}} \cdot B = R_0 \sqrt{\frac{B_0}{B}}$$ Ответ: радиус орбиты частицы $R = R_0 \sqrt{\dfrac{B_0}{B}}.$

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ $2.$ Частота обращения: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R} = \frac{B q}{2\pi m}$$ $3.$ Кинетическая энергия: $$E = \frac{m v^2}{2}$$ $4.$ По условию $E \propto B,$ значит существует константа $k$ такая, что: $$E = k B$$ $5.$ Выражаем частоту через энергию: $$\nu = \frac{B q}{2\pi m} = \frac{E q}{2\pi m k}$$ $6.$ Для начального состояния $($ $E = E_0,$ $\nu = \nu_0){:}$ $$\nu_0 = \frac{E_0 q}{2\pi m k}$$ $7.$ Выражаем константу: $$k = \frac{E_0 q}{2\pi m \nu_0}$$ $8.$ Подставляем в общую формулу для частоты: $$\nu = \frac{E q}{2\pi m} \cdot \frac{2\pi m \nu_0}{E_0 q} = \nu_0 \frac{E}{E_0}$$ Ответ: частота обращения частицы $\nu = \nu_0 \dfrac{E}{E_0}.$

$1.$ По закону сохранения импульса: $$0 = m v_1 -M v_2 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{m}{M} v_1$$ $2.$ По закону сохранения энергии: $$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{M v_2^2}{2} = \Delta E$$ $3.$ Подставляем $v_2$ из первого уравнения во второе: $$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{M}{2} \left( \frac{m}{M} v_1 \right)^2 = \Delta E$$ $$\frac{m v_1^2}{2} + \frac{m^2 v_1^2}{2M} = \Delta E$$ $$v_1^2 \left( \frac{m}{2} + \frac{m^2}{2M} \right) = \Delta E$$ $$v_1^2 = \frac{2 \Delta E}{m \left( 1 + \frac{m}{M} \right)} = \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)}$$ $4.$ Скорость $\alpha$-частицы: $$v_1 = \sqrt{ \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)} }$$ $5.$ Для $\alpha$-частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v_1 = \frac{m v_1^2}{R}$$ где $q = 2e.$

$6.$ Выражаем магнитную индукцию: $$B = \frac{m v_1}{q R} = \frac{m}{2e R} \sqrt{ \frac{2 M \Delta E}{m (M + m)} } = \frac{1}{2e R} \sqrt{ \frac{2 m M \Delta E}{M + m} }$$ Ответ: индукция магнитного поля $B = \dfrac{1}{2e R} \sqrt{ \dfrac{2 m M \Delta E}{M + m} }.$

$1.$ Площадь кольца: $$S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0.2)^2}{4} = 0.01\pi \space \text{м}^2$$ $2.$ Изменение магнитного потока за время $\Delta t$: $$\Delta \Phi = S \Delta B = S \frac{dB}{dt} \Delta t$$ $3.$ $ЭДС$ индукции: $$\mathcal{E}_i = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = S \frac{dB}{dt}$$

$4.$ Сопротивление кольца:
Длина провода: $l = \pi D = 0.2\pi \space \text{м}.$
Площадь сечения провода: $S_c = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi (0.002)^2}{4} = \pi \cdot 10^{-6} \space \text{м}^2.$
Сопротивление: $R = \dfrac{\rho l}{S_c} = \dfrac{1.72 \cdot 10^{-8} \cdot 0.2\pi}{\pi \cdot 10^{-6}} = 3.44 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}.$

$5.$ Сила индукционного тока: $$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = \frac{S \frac{dB}{dt}}{R}$$ $6.$ Заряд, прошедший через кольцо: $$q = I \Delta t = \frac{S \frac{dB}{dt} \Delta t}{R}$$ $7.$ Подставляем числовые значения: $$q = \frac{0.01\pi \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 60}{3.44 \cdot 10^{-3}} = \frac{0.01 \cdot 3.14 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 60}{3.44 \cdot 10^{-3}}$$ $$= \frac{3.768 \cdot 10^{-3}}{3.44 \cdot 10^{-3}} = 1.095 \space \text{Кл}$$ Ответ: через кольцо пройдет заряд $1.1 \space \text{Кл}.$

$1)$ При разомкнутом ключе ток проходит через резистор $R_1.$ По закону Ома для полной цепи сила тока в цепи для данного случая равна:
$$I_1 = \dfrac{\mathscr{E}}{R_1 + r} = \dfrac{\mathscr{E}}{2R}$$
На внешней цепи выделяется мощность $P_1 = I_1^2R_1 = \dfrac{\mathscr{E}^2}{4R}$

$2)$ При замкнутом ключе ток проходит через параллельно соединенные резисторы, общее сопротивление которых:
$$R_o = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{2R}{3}$$

$3)$ По закону Ома для полной цепи сила тока:
$$I_2 = \dfrac{\mathscr{E}}{R_o + r} = \dfrac{\mathscr{E}}{\dfrac{5R}{3}} = \dfrac{3\mathscr{E}}{5R}$$

$4)$ Выделяющаяся мощность тока при замкнутом ключе:
$$P_2 = I_2^2R_o = \left(\dfrac{3\mathscr{E}}{5R}\right)^2 \cdot \dfrac{2R}{3} = \dfrac{6\mathscr{E}^2}{25R}$$

$5)$ Находим отношение мощностей:
$$\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{\dfrac{\mathscr{E}^2}{4R}}{\dfrac{6\mathscr{E}^2}{25R}} = \dfrac{25}{24}$$

$6)$ Находим мощность тока на внешней цепи при замкнутом ключе:
$$P_2 = \dfrac{24}{25}P_1 = \dfrac{24}{25} \cdot 4.9 = 4.704 \space Вт$$

Ответ: $4.704 \space Вт.$

$1)$ На капельку действуют сила тяжести $mg$ и сила действия электрического поля, направленная по линиям напряженности и равная $F_э = Eq.$

$2)$ По горизонтальной оси проекция ускорения капельки.
$$a_x = \dfrac{Eq}{m}$$

$3)$ Проекция скорости на горизонтальную ось при равноускоренном движении без начальной скорости.
$$v_x = a_xt = \dfrac{Eqt}{m}$$

$4)$ По вертикали под действием силы тяжести $a_y = g,$ поэтому вертикальная проекция скорости капельки равна:
$$v_y = gt$$

$5)$ Тогда скорость капли через промежуток времени $t$ равна:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = t\sqrt{\left(\dfrac{Eq}{m}\right)^2 + g^2}$$

$6)$ Подставляем числовые значения (переводим в СИ):
$$E = 1\space000 \space \text{кВ/м} = 10^6 \space \text{В/м}$$ $$m = 0.4 \space \text{г} = 4 \cdot 10^{-4} \space \text{кг}$$ $$q = 3 \space \text{нКл} = 3 \cdot 10^{-9} \space \text{Кл}$$ $$g = 10 \space \text{м/с}^2$$

$7)$ Вычисляем:
$$v = 0.2 \cdot \sqrt{\left(\dfrac{10^6 \cdot 3 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-4}}\right)^2 + 10^2} = 0.2 \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-4}}\right)^2 + 100}$$ $$v = 0.2 \cdot \sqrt{\left(7.5\right)^2 + 100} = 0.2 \cdot \sqrt{56.25 + 100} = 0.2 \cdot \sqrt{156.25} = 0.2 \cdot 12.5 = 2.5 \space \text{м/с}$$

Ответ: $2.5 \space \text{м/с}$

$1)$ При присоединении незаряженного конденсатора к заряженному будет происходить перетекание заряда до тех пор, пока напряжения на каждом из них не установится напряжение $U_1 = U_2 = U.$

$2)$ По закону сохранения заряда $q = q_1 + q_2,$ где заряд первого конденсатора станет равным $q_1 = CU,$ а второго конденсатора — $q_2 = 2CU.$

$3)$ Таким образом, получаем:
$$q = CU + 2CU = 3CU$$

$4)$ Откуда установившееся напряжение:
$$U = \dfrac{q}{3C}$$

$5)$ Подставляем числовые значения:
$$U = \dfrac{12 \cdot 10^{-9}}{3 \cdot 10^{-9}} = 4 \space \text{В}$$

Ответ: $4 \space \text{В}$ напряжение на первом конденсаторе.