25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: все задания

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию.
По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии. Учитывая, что начальной кинетической энергией можно пренебречь: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ Отсюда получаем: $$v^2 = 2U \cdot \frac{q}{m}$$

$2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Упрощаем выражение: $$v = \frac{BqR}{m}$$ Возводим в квадрат: $$v^2 = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2$$

$3.$ Приравниваем выражения для $v^2$ из первого и второго шагов: $$2U \cdot \frac{q}{m} = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2$$ Делим обе части на $\dfrac{q}{m}$: $$2U = \frac{q}{m} B^2 R^2$$ Выражаем искомое отношение: $$\frac{m}{q} = \frac{B^2 R^2}{2U}$$

$4.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.5 \space \text{Тл},$ $R = 0.2 \space \text{м},$ $U = 10\space000 \space \text{В}{:}$ $$\frac{m}{q} = \frac{(0.5)^2 \cdot (0.2)^2}{2 \cdot 10\space000} = \frac{0.25 \cdot 0.04}{20\space000} = \frac{0.01}{20\space000} = 5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}$$

Ответ: отношение массы иона к его заряду равно $5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}.$

$1.$ На стержень действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила Ампера $F_A = BIl$ $($ так как $\sin 90^\circ = 1)$ и сила реакции опоры $N.$

$2.$ По второму закону Ньютона записываем уравнение движения в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вверх: $$ma = -mg \sin \alpha + F_A \cos \alpha$$

$3.$ Подставляем выражение для силы Ампера: $$ma = -mg \sin \alpha + BIl \cos \alpha$$

$4.$ Переносим слагаемые и выражаем отношение массы к длине: $$\frac{m}{l} = \frac{BI \cos \alpha}{a + g \sin \alpha}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.2 \space \text{Тл},$ $I = 4 \space \text{A},$ $\alpha = 30^\circ,$ $a = 1.9 \space \text{м/с}^2,$ $g = 10 \space \text{м/с}^2{:}$ $$\frac{m}{l} = \frac{0.2 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ}{1.9 + 10 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{0.8 \cdot 0.866}{1.9 + 5} = \frac{0.6928}{6.9} \approx 0.1 \space \text{кг/м}$$

Ответ: отношение массы стержня к его длине равно $0.1 \space \text{кг/м}.$

$1.$ На проводник действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$, сила трения $F_{тр}$ и сила Ампера $F_A = BIl$ $($так как $\sin 90^\circ = 1).$

$2.$ По первому закону Ньютона (равномерное движение) равнодействующая всех сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось: $$N = mg$$

В проекции на горизонтальную ось: $$F_A = F_{тр}$$ где сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg.$

$4.$ Подставляем выражение для силы Ампера: $$BIl = \mu mg$$

$5.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{\mu mg}{Il}$$

$6.$ Подставляем числовые значения: $\mu = 0.3,$ $m = 0.06 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $I = 10 \space \text{А},$ $l = 0.6 \space \text{м}{:}$ $$B = \frac{0.3 \cdot 0.06 \cdot 10}{10 \cdot 0.6} = \frac{0.18}{6} = 0.03 \space \text{Тл}$$

Ответ: индукция магнитного поля равна $0.03 \space \text{Тл}.$

$1.$ Сопротивления верхней и нижней частей рамки равны, поэтому ток в них одинаков и равен половине тока на участке $AC$: $I_1 = I_2 = \dfrac{I}{2} = 1 \space \text{A}.$

$2.$ Силы Ампера, действующие на боковые части рамки, компенсируются, так как токи в них равны по величине и противоположны по направлению.

$3.$ На верхнюю часть рамки действует сила Ампера: $$F_{A1} = B I_1 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l$$ $4.$ На нижнюю часть рамки действует сила Ампера: $$F_{A2} = B I_2 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l$$ $5.$ Равнодействующая всех сил Ампера равна сумме этих двух сил: $$F = F_{A1} + F_{A2} = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l + B \cdot \frac{I}{2} \cdot l = B I l$$ $6.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{F}{I l}$$ $7.$ Подставляем числовые значения: $F = 0.08 \space \text{Н},$ $I = 2 \space \text{А},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$ $$B = \frac{0.08}{2 \cdot 0.1} = \frac{0.08}{0.2} = 0.4 \space \text{Тл}$$ Ответ: модуль вектора индукции магнитного поля равен $0.4 \space \text{Тл}.$

$1.$ Проводники $KNM,$ $KLM$ и $KM$ соединены параллельно. Сопротивления участков:
$$R_1 = \rho \cdot \frac{l_1 + l_2}{S}, \quad R_2 = \rho \cdot \frac{l}{S}, \quad \text{где} \quad l = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5 \space \text{м}$$

$2.$ Токи в проводниках:
$$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1} = \frac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)}, \quad I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2} = \frac{\mathcal{E} S}{\rho l}$$

$3.$ Силы Ампера на проводниках:
На $KL$ и $NM$: $F_1 = B I_1 l_1 = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)} \cdot l_1$
На $KM$: $F_2 = B I_2 l \sin \alpha = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho l} \cdot l \cdot \frac{l_1}{l} = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho} \cdot \frac{l_1}{l}$

$4.$ Равнодействующая сила:
$$F = 2F_1 + F_2 = \frac{B \mathcal{E} S l_1}{\rho} \left( \frac{2}{l_1 + l_2} + \frac{1}{l} \right)$$

$5.$ Подставляем числовые значения:
$$F = \frac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \frac{2}{0.7} + \frac{1}{0.5} \right) = \frac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \frac{20}{7} + 2 \right)$$ $$F = \frac{3.92 \cdot 10^{-8}}{2.8 \cdot 10^{-8}} \cdot \left( \frac{20}{7} + \frac{14}{7} \right) = 1.4 \cdot \frac{34}{7} = 1.4 \cdot 4.857 = 6.8 \space \text{Н}$$

Ответ: равнодействующая сила, действующая на контур, равна $6.8 \space \text{Н}.$

$1.$ При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется $ЭДС$ индукции $\mathcal{E}_i = B l v.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре $I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.$

$3.$ На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера $F_A = B I l = B \cdot \frac{B l v}{R} \cdot l = \frac{B^2 l^2 v}{R},$ направленная вверх.

$4.$ При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: $$F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$$ $5.$ Выражаем скорость движения проводника: $$v = \frac{mg R}{B^2 l^2}$$ $6.$ Напряжение на конденсаторе равно $ЭДС$ индукции: $$U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \frac{mg R}{B^2 l^2} = \frac{mg R}{B l}$$ $7.$ Энергия конденсатора: $$W = \frac{q U}{2} = \frac{q}{2} \cdot \frac{mg R}{B l}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $m = 0.04 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}$, $B = 0.4 \space \text{Тл},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$
$$W = \frac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \frac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}$$

Ответ: энергия на конденсаторе равна $0.2 \space \text{мкДж}.$

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ $2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Откуда получаем: $$v = \frac{BqR}{m}$$

$3.$ Подставляем выражение для скорости в первую формулу: $$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{BqR}{m} \right)^2 = \frac{B^2 q^2 R^2}{2m}$$

$4.$ Выражаем разность потенциалов: $$U = \frac{B^2 q R^2}{2m}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.3 \space \text{Тл},$ $q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл},$ $R = 0.25 \space \text{м},$ $m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}{:}$
$$U = \frac{(0.3)^2 \cdot (3.2 \cdot 10^{-19}) \cdot (0.25)^2}{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25}} = \frac{0.09 \cdot 3.2 \cdot 10^{-19} \cdot 0.0625}{3 \cdot 10^{-25}}$$
$$U = \frac{0.09 \cdot 2 \cdot 10^{-20}}{3 \cdot 10^{-25}} = \frac{1.8 \cdot 10^{-21}}{3 \cdot 10^{-25}} = 0.6 \cdot 10^4 = 6\space000 \space \text{В}$$

Ответ: ускоряющая разность потенциалов равна $6\space000 \space \text{В}.$

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ $2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Откуда получаем: $$v = \frac{BqR}{m}$$ $3.$ Подставляем выражение для скорости в первую формулу: $$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{BqR}{m} \right)^2 = \frac{B^2 q^2 R^2}{2m}$$ $4.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$$ $5.$ Подставляем числовые значения: $R = 0.3 \space \text{м},$ $m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг},$ $U = 1\space000 \space \text{В},$ $q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}{:}$ $$B = \frac{1}{0.3} \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 1\space000}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \frac{1}{0.3} \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \frac{1}{0.3} \sqrt{0.9375 \cdot 10^{-3}}$$ $$B = \frac{1}{0.3} \sqrt{9.375 \cdot 10^{-4}} = \frac{1}{0.3} \cdot 0.03062 = \frac{0.03062}{0.3} = 0.102 \space \text{Тл}$$ Ответ: модуль индукции магнитного поля равен $0.1 \space \text{Тл}.$

$1.$ При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется $ЭДС$ индукции $\mathcal{E}_i = B l v.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре $I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.$

$3.$ На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера $F_A = B I l = B \cdot \dfrac{B l v}{R} \cdot l = \dfrac{B^2 l^2 v}{R},$ направленная вверх.

$4.$ При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: $$F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$$ $5.$ Выражаем скорость движения проводника: $$v = \frac{mg R}{B^2 l^2}$$ $6.$ Напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции: $$U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \frac{mg R}{B^2 l^2} = \frac{mg R}{B l}$$ $7.$ Энергия конденсатора: $$W = \frac{q U}{2} = \frac{q}{2} \cdot \frac{mg R}{B l}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $m = 0.04 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом},$ $B = 0.4 \space \text{Тл},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$ $$W = \frac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \frac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}$$ Ответ: энергия на конденсаторе равна $0.2 \space \text{мкДж}.$

$1.$ Напряженность электрического поля в конденсаторе: $$E = \frac{U}{d}$$ $2.$ Сила, действующая на пылинку со стороны поля: $$F = |q| E = \frac{|q| U}{d}$$ $3.$ Ускорение пылинки вдоль оси $Oy$ (перпендикулярно пластинам): $$a = \frac{F}{m} = \frac{|q| U}{m d}$$ $4.$ Время пролета конденсатора вдоль оси $Ox$: $$t = \frac{l}{v}$$ $5.$ Смещение пылинки вдоль оси $Oy$ за время $t$: $$s_y = \frac{a t^2}{2} = \frac{|q| U l^2}{2 m d v^2}$$ $6.$ Условие пролета насквозь: $$s_y \leq \frac{d}{2}$$ $7.$ Подставляем и находим минимальную скорость: $$\frac{|q| U l^2}{2 m d v^2} \leq \frac{d}{2} \quad \Rightarrow \quad v \geq \frac{l}{d} \sqrt{\frac{|q| U}{m}}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $l = 0.1 \space \text{м},$ $d = 0.01 \space \text{м},$ $|q| = 1.8 \cdot 10^{-14} \space \text{Кл},$ $U = 5\space000 \space \text{В},$ $m = 10^{-11} \space \text{кг}{:}$ $$v = \frac{0.1}{0.01} \sqrt{\frac{1.8 \cdot 10^{-14} \cdot 5\space000}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{-11}}{10^{-11}}} = 10 \sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30 \space \text{м/с}$$ Ответ: минимальная скорость пылинки равна $30 \space \text{м/с}.$

$1.$ При разомкнутом ключе конденсатор разряжается через резистор $R.$ По закону сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: $$Q = W_C = \frac{q U}{2}$$ где $U$ — напряжение на конденсаторе.

$2.$ При замкнутом ключе конденсатор заряжен до напряжения $U,$ которое равно падению напряжения на резисторе $R.$ По закону Ома для полной цепи: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

$3.$ Напряжение на резисторе $R$ (и на конденсаторе): $$U = I R = \frac{\mathcal{E} R}{R + r}$$

$4.$ Подставляем выражение для напряжения в формулу для теплоты: $$Q = \frac{q}{2} \cdot \frac{\mathcal{E} R}{R + r}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $q = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $\mathcal{E} = 24 \space \text{В},$ $R = 25 \space \text{Ом},$ $r = 5 \space \text{Ом}{:}$
$$Q = \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot (25 + 5)} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 24 \cdot 25}{2 \cdot 30} = \frac{1\space200 \cdot 10^{-6}}{60} = 20 \cdot 10^{-6} \space \text{Дж} = 20 \space \text{мкДж}$$

Ответ: количество теплоты, выделяющееся на резисторе, равно $20 \space \text{мкДж}.$

$1.$ При изменении расстояния между пластинами конденсатора изменяется его емкость. По закону сохранения энергии:
$$A_{\text{ист}} + A = \Delta W + Q$$ где $A_{\text{ист}}$ — работа источника, $A$ — работа против сил притяжения, $\Delta W$ — изменение энергии конденсатора, $Q$ — теплота на резисторе.

$2.$ Работа источника: $$A_{\text{ист}} = \mathcal{E} \Delta q = \mathcal{E}^2 \Delta C$$ где $\Delta q$ — изменение заряда конденсатора, $\Delta C$ — изменение емкости.

$3.$ Изменение энергии конденсатора: $$\Delta W = W_2-W_1 = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_2- \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 C_1 = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C$$ $4.$ Подставляем в закон сохранения энергии:$$\mathcal{E}^2 \Delta C + A = \frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C + Q$$ $5.$ Решаем уравнение относительно $\Delta C$: $$\mathcal{E}^2 \Delta C -\frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A$$ $$\frac{1}{2} \mathcal{E}^2 \Delta C = Q -A$$ $$\Delta C = \frac{2(Q -A)}{\mathcal{E}^2}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $Q = 4 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $A = 9 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}$ $$\Delta C = \frac{2(4 \cdot 10^{-5} -9 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \frac{2(-5 \cdot 10^{-5})}{10\space000} = \frac{-10^{-4}}{10\space000} = -10^{-8} \space \text{Ф}$$ Ответ: емкость конденсатора уменьшилась на $10^{-8} \space \text{Ф}.$

$1.$ При замкнутом ключе конденсатор заряжается до напряжения $U,$ равного напряжению на резисторе $R.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

$3.$ Напряжение на резисторе $R$ (и на конденсаторе): $$U = I R = \frac{\mathcal{E} R}{R + r} = \frac{\mathcal{E}}{1 + \frac{r}{R}} = \frac{\mathcal{E}}{1 + k}$$

$4.$ После размыкания ключа конденсатор разряжается через резистор $R.$ По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно энергии, запасенной в конденсаторе: $$Q = \frac{C U^2}{2} = \frac{C}{2} \left( \frac{\mathcal{E}}{1 + k} \right)^2$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $C = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф},$ $\mathcal{E} = 12 \space \text{В},$ $k = 0.2{:}$
$$Q = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{2} \cdot \left( \frac{12}{1.2} \right)^2 = 10^{-7} \cdot (10)^2 = 10^{-7} \cdot 100 = 10^{-5} \space \text{Дж}$$

Ответ: количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно $10^{-5} \space \text{Дж}.$

$1.$ После установления равновесия ток через резисторы прекратится. Конденсатор $C_1$ будет заряжен до напряжения $\mathcal{E}$, так как он подключен непосредственно к источнику. Конденсатор $C_2$ окажется разряженным, поскольку его обкладки соединены через резисторы с одинаковым потенциалом.

$2.$ Заряд, прошедший через источник тока: $$q = C_1 \mathcal{E}$$ $3.$ Работа сторонних сил источника тока: $$A = q \mathcal{E} = C_1 \mathcal{E}^2$$ $4.$ Подставляем числовые значения: $C_1 = 10^{-4} \space \text{Ф},$ $\mathcal{E} = 100 \space \text{В}{:}$ $$A = 10^{-4} \cdot (100)^2 = 10^{-4} \cdot 10^4 = 1 \space \text{Дж}$$ Ответ: работа сторонних сил равна $1 \space \text{Дж}.$

$1.$ При нахождении ключа в положении $1$ конденсатор заряжается до напряжения $\mathcal{E}$. Энергия заряженного конденсатора: $$W_0 = \frac{C \mathcal{E}^2}{2}$$

$2.$ После переключения ключа в положение $2$ конденсатор разряжается через резистор $R.$ К моменту времени $t$ на резисторе выделилось тепло $Q,$ а на конденсаторе осталась энергия $W = \dfrac{C U^2}{2},$ где $U$ — напряжение на конденсаторе в момент $t.$

$3.$ По закону сохранения энергии: $$W_0 = W + Q$$ $$\frac{C \mathcal{E}^2}{2} = \frac{C U^2}{2} + Q$$ $4.$ Выражаем напряжение на конденсаторе: $$U = \sqrt{\mathcal{E}^2 -\frac{2Q}{C}}$$ $5.$ Сила тока в цепи в момент $t$: $$I = \frac{U}{R}$$ откуда $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{I} \sqrt{\mathcal{E}^2 -\frac{2Q}{C}}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $I = 10^{-4} \space \text{А},$ $\mathcal{E} = 15 \space \text{В},$ $Q = 2.5 \cdot 10^{-5} \space \text{Дж},$ $C = 4 \cdot 10^{-7} \space \text{Ф}{:}$ $$R = \frac{1}{10^{-4}} \sqrt{225 -\frac{5 \cdot 10^{-5}}{4 \cdot 10^{-7}}} = 10^4 \sqrt{225 -125} = 10^4 \sqrt{100} = 10^4 \cdot 10 = 10^5 \space \text{Ом}$$ Ответ: сопротивление резистора $R$ равно $100 \space \text{кОм}.$

$1.$ Исходный заряд системы конденсаторов: $$q = C_{\text{общ}} U = (C + 2C) U = 3CU$$ $2.$ После вытекания диэлектрика из левого конденсатора его емкость уменьшается: $$C_1′ = \frac{C}{\varepsilon}$$ Емкость правого конденсатора остается неизменной: $$C_2′ = 2C$$ $3.$ Новая общая емкость: $$C_{\text{общ}}’ = C_1′ + C_2′ = \frac{C}{\varepsilon} + 2C = C \left( \frac{1}{\varepsilon} + 2 \right)$$ $4.$ Заряд сохраняется, поэтому новое напряжение: $$U’ = \frac{q}{C_{\text{общ}}’} = \frac{3CU}{C \left( \frac{1}{\varepsilon} + 2 \right)} = \frac{3U}{\frac{1}{\varepsilon} + 2} = \frac{3U}{\frac{1 + 2\varepsilon}{\varepsilon}} = \frac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}$$ Ответ: разность потенциалов между обкладками станет равной $\dfrac{3\varepsilon U}{1 + 2\varepsilon}.$

$1.$ При разомкнутом ключе ток течет только через резисторы $R_1$ и $R_3,$ так как диод включен в обратном направлении. Общее сопротивление: $$R_{\text{общ}} = R_1 + R_3 = 2R$$
По закону Ома: $$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{2R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E} = 2 I_0 R$$ $2.$ При замыкании ключа лампа подключается параллельно резистору $R_3$. Сопротивление параллельного участка: $$R_{\text{пар}} = \frac{R_3 \cdot R_{\text{л}}}{R_3 + R_{\text{л}}} = \frac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \frac{3}{4}R$$ $3.$ Общее сопротивление цепи после замыкания ключа: $$R_{\text{общ}}’ = R_1 + R_{\text{пар}} = R + \frac{3}{4}R = \frac{7}{4}R$$ $4.$ Сила тока в цепи: $$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{общ}}’} = \frac{2 I_0 R}{\frac{7}{4}R} = \frac{8}{7} I_0$$ $5.$ Напряжение на параллельном участке: $$U_{\text{пар}} = I \cdot R_{\text{пар}} = \frac{8}{7} I_0 \cdot \frac{3}{4}R = \frac{6}{7} I_0 R$$ $6.$ Сила тока через лампу: $$I_{\text{л}} = \frac{U_{\text{пар}}}{R_{\text{л}}} = \frac{\frac{6}{7} I_0 R}{3R} = \frac{2}{7} I_0$$ $7.$ Подставляем числовое значение: $$I_{\text{л}} = \frac{2}{7} \cdot 1.4 = 0.4 \space \text{А}$$ $8.$ Сравниваем с током зажигания: $0.4 \space \text{А} < 0.5 \space \text{А},$ значит лампа не загорится.

Ответ: сила тока через лампу равна $0.4 \space \text{А},$ лампа не загорится.

$1.$ После установления равновесия в положении $1$ конденсатор заряжается до напряжения $U_1$ на резисторе $R_1.$ По закону Ома для участка цепи: $$U_1 = I R_1$$ где $I$ — сила тока в цепи.

$2.$ После переключения в положение $2$ конденсатор перезаряжается до напряжения $U_2$ на участке $R_1 + R_2$: $$U_2 = I (R_1 + R_2)$$ $3.$ Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения: $$E = \frac{C U^2}{2}$$ поэтому отношение энергий: $$n = \frac{E_2}{E_1} = \frac{U_2^2}{U_1^2}$$ $4.$ Подставляем выражения для напряжений: $$n = \left( \frac{U_2}{U_1} \right)^2 = \left( \frac{I (R_1 + R_2)}{I R_1} \right)^2 = \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1} \right)^2 = \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right)^2$$ $5.$ Подставляем данное отношение $\dfrac{R_2}{R_1} = 4$: $$n = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25$$ Ответ: энергия конденсатора увеличится в $25$ раз.