25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: #209218

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ Откуда радиус орбиты: $$R = \frac{m v}{B q}$$ $2.$ Частота обращения: $$\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R} = \frac{B q}{2\pi m}$$ $3.$ Кинетическая энергия: $$E_k = \frac{m v^2}{2}$$ $4.$ По условию $E_k \propto \nu,$ значит существует константа $k$ такая, что: $$\frac{m v^2}{2} = k \nu$$ $5.$ Подставляем выражение для частоты: $$\frac{m v^2}{2} = k \frac{B q}{2\pi m}$$ $6.$ Выражаем скорость: $$v^2 = \frac{k B q}{\pi m^2}$$ $7.$ Подставляем в выражение для радиуса: $$R = \frac{m}{B q} \sqrt{\frac{k B q}{\pi m^2}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{k B q}{\pi}}$$ $8.$ Для начального состояния $($ $B = B_0,$ $R = R_0){:}$ $$R_0 = \frac{1}{B_0} \sqrt{\frac{k B_0 q}{\pi}} = \sqrt{\frac{k q}{\pi B_0}}$$ $9.$ Выражаем константу $k{:}$ $$k = \frac{\pi B_0 R_0^2}{q}$$ $10.$ Подставляем в общую формулу для радиуса: $$R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{\pi B_0 R_0^2 q}{\pi}} \cdot B = R_0 \sqrt{\frac{B_0}{B}}$$ Ответ: радиус орбиты частицы $R = R_0 \sqrt{\dfrac{B_0}{B}}.$