Тест: 7.1

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите уравнение $\\sqrt{x+10}=x-2$. Если корень один, запишите его. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Условие: $x-2\\ge0$. Возводим: $x+10=(x-2)^2$, корни $-1$ и $6$.","Условию $x\\ge2$ удовлетворяет только $6$. Ответ: $6$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите уравнение $\\sqrt{x+9}=x-3$. Если корень один, запишите его. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Условие: $x-3\\ge0$. Возводим: $x+9=(x-3)^2$, корни $0$ и $7$.","Условию $x\\ge3$ удовлетворяет только $7$. Ответ: $7$."],"step":1},{"id":"2","content":"В уравнении $x+1-3\\sqrt{x+1}-4=0$ введена замена $t=\\sqrt{x+1}$. Тогда для $t$ верно: [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$t>0$","$t\\ge0$","$t\\le0$","$t$ — любое число"],"answer":1}},"hints":["Арифметический корень неотрицателен.","Значит, $t\\ge0$."],"step":1},{"id":"2","content":"В уравнении $x+3-3\\sqrt{x+3}-4=0$ введена замена $t=\\sqrt{x+3}$. Тогда для $t$ верно: [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$t\\le0$","$t>0$","$t$ — любое число","$t\\ge0$"],"answer":3}},"hints":["Арифметический корень неотрицателен.","Значит, $t\\ge0$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте уравнение и его единственный корень.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\sqrt{x+16}=x-4$","$\\sqrt{x+14}=x-6$","$\\sqrt{x+3}=x-3$"],"items":["$9$","$11$","$6$","$3$"]}},"instruction":"Сопоставьте уравнение и корень","hints":["Уравнение $\\sqrt{x+16}=x-4$: корни квадратного уравнения $0$ и $9$, подходит $9$; уравнение $\\sqrt{x+14}=x-6$: корни квадратного уравнения $2$ и $11$, подходит $11$; уравнение $\\sqrt{x+3}=x-3$: корни квадратного уравнения $1$ и $6$, подходит $6$.","Число $3$ лишнее."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте уравнение и его единственный корень.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\sqrt{x+18}=x-2$","$\\sqrt{x+37}=x-5$","$\\sqrt{x+23}=x-7$"],"items":["$7$","$12$","$13$","$3$"]}},"instruction":"Сопоставьте уравнение и корень","hints":["Уравнение $\\sqrt{x+18}=x-2$: корни квадратного уравнения $-2$ и $7$, подходит $7$; уравнение $\\sqrt{x+37}=x-5$: корни квадратного уравнения $-1$ и $12$, подходит $12$; уравнение $\\sqrt{x+23}=x-7$: корни квадратного уравнения $2$ и $13$, подходит $13$.","Число $3$ лишнее."],"step":1},{"id":"4","content":"Расставьте шаги решения уравнения $\\sqrt{x+6}=x-6$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Записать условие $x\\ge6$ на знак правой части","После записи условия возвести обе части в квадрат","Решить квадратное уравнение, полученное после возведения","После решения отбросить корни, для которых $x<6$","После отбора записать ответ по оставшимся корням"]}},"instruction":"Расставьте шаги","hints":["Какое условие нужно знать до того, как квадрат сотрет знак?"]},{"id":"4","content":"Расставьте шаги решения уравнения $\\sqrt{x+5}=x-7$.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Записать условие $x\\ge7$ на знак правой части","После записи условия возвести обе части в квадрат","Решить квадратное уравнение, полученное после возведения","После решения отбросить корни, для которых $x<7$","После отбора записать ответ по оставшимся корням"]}},"instruction":"Расставьте шаги","hints":["Какое условие нужно знать до того, как квадрат сотрет знак?"]},{"id":"5","content":"Решите неравенство $\\sqrt{x+1}>x-5$. Вообразавр: «Возведу в квадрат: $x+1>(x-5)^2$, ответ $(3;8)$». Каков верный ответ?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$[5;8)$","$(3;8)$","$[-1;8]$","$[-1;8)$"],"explanations":["Взят только случай $g\\ge0$","Это ответ Вообразавра: случай $x<5$ потерян","Граница $8$ не входит: неравенство строгое",""],"answer":[3]}},"hints":["Возводить в квадрат можно, только если $x-5\\ge0$. Если $x<5$, правая часть отрицательна, и неравенство верно на ОДЗ.","Случай 1: $-1\\le x<5$. Случай 2: $5\\le x<8$. Объединение: $[-1;8)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решите неравенство $\\sqrt{x+7}>x-5$. Вообразавр: «Возведу в квадрат: $x+7>(x-5)^2$, ответ $(2;9)$». Каков верный ответ?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$[5;9)$","$[-7;9)$","$(2;9)$","$[-7;9]$"],"explanations":["Взят только случай $g\\ge0$","","Это ответ Вообразавра: случай $x<5$ потерян","Граница $9$ не входит: неравенство строгое"],"answer":[1]}},"hints":["Возводить в квадрат можно, только если $x-5\\ge0$. Если $x<5$, правая часть отрицательна, и неравенство верно на ОДЗ.","Случай 1: $-7\\le x<5$. Случай 2: $5\\le x<9$. Объединение: $[-7;9)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Какая система равносильна неравенству $\\sqrt{x+27}<x-3$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x+27\\ge0,\\ x-3>0,\\ x+27<(x-3)^2$","$x+27\\ge0,\\ x-3>0,\\ x+27\\le(x-3)^2$","$x+27\\ge0,\\ x-3<0,\\ x+27<(x-3)^2$","$x+27\\ge0,\\ x-3\\ge0,\\ x+27>(x-3)^2$"],"explanations":["","Строгость потеряна: при $x=9$ части равны, а неравенство строгое","Знак $g$ выбран неверно: при $g<0$ неотрицательный корень не может быть меньше $g$","Знак неравенства после возведения в квадрат перевернут: система задает $\\sqrt{f}>g$ при $g\\ge0$"],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть неотрицательна и меньше $g$. Каким должен быть знак $g$?","Система: подкоренное выражение неотрицательно, правая часть положительна, квадрат правой части больше подкоренного."],"step":1},{"id":"6","content":"Какая система равносильна неравенству $\\sqrt{x+15}<x-5$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$x+15\\ge0,\\ x-5\\ge0,\\ x+15>(x-5)^2$","$x+15\\ge0,\\ x-5>0,\\ x+15\\le(x-5)^2$","$x+15\\ge0,\\ x-5>0,\\ x+15<(x-5)^2$","$x+15\\ge0,\\ x-5<0,\\ x+15<(x-5)^2$"],"explanations":["Знак неравенства после возведения в квадрат перевернут: система задает $\\sqrt{f}>g$ при $g\\ge0$","Строгость потеряна: при $x=10$ части равны, а неравенство строгое","","Знак $g$ выбран неверно: при $g<0$ неотрицательный корень не может быть меньше $g$"],"answer":[2]}},"hints":["Левая часть неотрицательна и меньше $g$. Каким должен быть знак $g$?","Система: подкоренное выражение неотрицательно, правая часть положительна, квадрат правой части больше подкоренного."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите все корни уравнения $(x+1)\\sqrt{x-4}=0$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$-1;\\ 4$","$4$","$-1$","Корней нет"],"explanations":["При $x=-1$ под корнем отрицательное число: левая часть не определена","","Это число вне ОДЗ, а корень радикала $x=4$ потерян","При $x=4$ корень равен нулю, и произведение равно нулю"],"answer":[1]}},"hints":["ОДЗ: $x\\ge4$. Нули множителей: $x=-1$ и $x=4$.","Число $-1$ вне ОДЗ. Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите все корни уравнения $(x+3)\\sqrt{x-2}=0$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$-3;\\ 2$","$2$","Корней нет","$-3$"],"explanations":["При $x=-3$ под корнем отрицательное число: левая часть не определена","","При $x=2$ корень равен нулю, и произведение равно нулю","Это число вне ОДЗ, а корень радикала $x=2$ потерян"],"answer":[1]}},"hints":["ОДЗ: $x\\ge2$. Нули множителей: $x=-3$ и $x=2$.","Число $-3$ вне ОДЗ. Ответ: $2$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решил уравнение $\\sqrt{x+28}=x-2$: «Возвожу в квадрат: $x+28=(x-2)^2$, получаю $x=-3$ или $x=8$. Ответ: $-3$; $8$». В чем ошибка и каков верный ответ?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Корень $-3$ не входит в ОДЗ $x\\ge-28$, ответ $8$","Не проверен корень $8$, верный ответ $-3$","Ошибки нет: оба корня решают квадратное уравнение","Не проверено условие $x\\ge2$: корень $-3$ посторонний, ответ $8$"],"explanations":["$-3\\ge-28$: ОДЗ выполнена, нарушено условие $x\\ge2$ на знак правой части","Подстановка показывает, что $8$ подходит","Квадратное уравнение — следствие исходного, а не равносильное ему",""],"answer":[3]}},"hints":["Правая часть равна корню, значит неотрицательна: $x-2\\ge0$.","$x=-3$: $-3-2=-5<0$, корень посторонний. Ответ: $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решил уравнение $\\sqrt{x+11}=x-1$: «Возвожу в квадрат: $x+11=(x-1)^2$, получаю $x=-2$ или $x=5$. Ответ: $-2$; $5$». В чем ошибка и каков верный ответ?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Не проверено условие $x\\ge1$: корень $-2$ посторонний, ответ $5$","Корень $-2$ не входит в ОДЗ $x\\ge-11$, ответ $5$","Ошибки нет: оба корня решают квадратное уравнение","Не проверен корень $5$, верный ответ $-2$"],"explanations":["","$-2\\ge-11$: ОДЗ выполнена, нарушено условие $x\\ge1$ на знак правой части","Квадратное уравнение — следствие исходного, а не равносильное ему","Подстановка показывает, что $5$ подходит"],"answer":[0]}},"hints":["Правая часть равна корню, значит неотрицательна: $x-1\\ge0$.","$x=-2$: $-2-1=-3<0$, корень посторонний. Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько корней имеет уравнение $(2\\sin x+1)\\sqrt{\\cos x}=0$ на отрезке $[-\\pi;\\,\\pi]$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Два корня: $-\\frac{5\\pi}{6}$ и $-\\frac{\\pi}{6}$","Три корня: $-\\frac{\\pi}{2},\\ -\\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{\\pi}{2}$","Четыре корня: $-\\frac{\\pi}{2},\\ -\\frac{5\\pi}{6},\\ -\\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{\\pi}{2}$","Два корня: $-\\frac{\\pi}{2}$ и $\\frac{\\pi}{2}$"],"explanations":["Решен только множитель $2\\sin x+1$; корни радикала, где $\\cos x=0$, потеряны, а $-\\frac{5\\pi}{6}$ вне ОДЗ","","Число $-\\frac{5\\pi}{6}$ не прошло ОДЗ: там $\\cos x<0$, корень не определен","Потерян корень $-\\frac{\\pi}{6}$: при нем $\\cos x>0$, и множитель $2\\sin x+1$ равен нулю"],"answer":[1]}},"hints":["ОДЗ задает знак подкоренного выражения; корень множителя равен нулю там, где подкоренное выражение равно нулю.","Для корней другого множителя проверьте ОДЗ, затем отберите числа на отрезке, включая концы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сколько корней имеет уравнение $(2\\cos x+1)\\sqrt{\\sin x}=0$ на отрезке $[-\\pi;\\,\\pi]$?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Пять корней: $-\\pi,\\ -\\frac{2\\pi}{3},\\ 0,\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi$","Четыре корня: $-\\pi,\\ 0,\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi$","Два корня: $-\\frac{2\\pi}{3}$ и $\\frac{2\\pi}{3}$","Три корня: $0,\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi$"],"explanations":["Число $-\\frac{2\\pi}{3}$ не прошло ОДЗ: там $\\sin x<0$, корень не определен","","Решен только множитель $2\\cos x+1$; корни радикала, где $\\sin x=0$, потеряны, а $-\\frac{2\\pi}{3}$ вне ОДЗ","Потерян конец отрезка $-\\pi$: там $\\sin x=0$, и он входит в отрезок"],"answer":[1]}},"hints":["ОДЗ задает знак подкоренного выражения; корень множителя равен нулю там, где подкоренное выражение равно нулю.","Для корней другого множителя проверьте ОДЗ, затем отберите числа на отрезке, включая концы."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\sqrt{x+24}<x-6$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Условия: $x+24\\ge0$ и $x-6>0$; затем возводим в квадрат: $x+24<(x-6)^2$.","Равенство $x+24=(x-6)^2$ выполняется при $x=1$ и $x=12$; квадратичное неравенство верно вне отрезка между ними.","С условием $x>6$ остается $x>12$ (строго). Наименьшее целое: $13$. Ответ: $13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наименьшее целое решение неравенства $\\sqrt{x+8}<x-4$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Условия: $x+8\\ge0$ и $x-4>0$; затем возводим в квадрат: $x+8<(x-4)^2$.","Равенство $x+8=(x-4)^2$ выполняется при $x=1$ и $x=8$; квадратичное неравенство верно вне отрезка между ними.","С условием $x>4$ остается $x>8$ (строго). Наименьшее целое: $9$. Ответ: $9$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>