Тест: 5.4

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=3x^2+1$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$, $x=2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["На $[1;2]$ график лежит выше оси $Ox$, поэтому $S=\\int_{1}^{2}(3x^2+1)\\,dx$.","$F(x)=x^3+x$.","$S=F(2)-F(1)=8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=x^3+2x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=2$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["На $[0;2]$ график лежит выше оси $Ox$, поэтому $S=\\int_{0}^{2}(x^3+2x)\\,dx$.","$F(x)=\\frac{1}{4}x^4+x^2$.","$S=F(2)-F(0)=8$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y=3e^x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=\\ln 4$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$S=\\int_0^{\\ln 4}3e^x\\,dx$.","$F(x)=3e^x$.","$S=3\\cdot4-3=9$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y=4e^x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=\\ln 3$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$S=\\int_0^{\\ln 3}4e^x\\,dx$.","$F(x)=4e^x$.","$S=4\\cdot3-4=8$."],"step":1},{"id":"3","content":"Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком $y=x^3$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\int_1^2x^3\\,dx$","$\\int_1^2\\frac{x^4}{4}\\,dx$","$\\int_2^1x^3\\,dx$","$\\int_0^2x^3\\,dx$"],"explanations":["","Под интегралом написана первообразная $F$, а нужна сама функция $f$","Пределы переставлены: такой интеграл равен $-S$","Пределы взяты от нуля, а фигура начинается при $x=1$: добавлена лишняя часть на $[0;1]$"],"answer":[0]}},"hints":["Фигура состоит из полосок от оси $Ox$ до графика; полоски стоят от $x=1$ до $x=2$.","На $[1;2]$ $x^3>0$, высота полоски «верх минус низ» равна $x^3-0$.","$S=\\int_1^2x^3\\,dx$."],"step":1},{"id":"3","content":"Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком $y=\\sqrt x$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=4$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\int_1^4\\sqrt x\\,dx$","$\\int_1^4\\frac23x\\sqrt x\\,dx$","$\\int_4^1\\sqrt x\\,dx$","$\\int_0^4\\sqrt x\\,dx$"],"explanations":["","Под интегралом написана первообразная $F$, а нужна сама функция $f$","Пределы переставлены: такой интеграл равен $-S$","Пределы взяты от нуля, а фигура начинается при $x=1$: добавлена лишняя часть на $[0;1]$"],"answer":[0]}},"hints":["Фигура состоит из полосок от оси $Ox$ до графика; полоски стоят от $x=1$ до $x=4$.","На $[1;4]$ $\\sqrt x>0$, высота полоски «верх минус низ» равна $\\sqrt x-0$.","$S=\\int_1^4\\sqrt x\\,dx$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Фигура ограничена графиками $y=x^2+3$, $y=2x$ и прямыми $x=0$, $x=3$. Вообразавр записал $S=\\int_0^3(2x-(x^2+3))\\,dx=-9$. Чему равна площадь фигуры на самом деле?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$9$","$-9$","$27$","$18$"],"explanations":["","Площадь не бывает отрицательной: минус показывает, что из нижней кривой вычли верхнюю","Это $\\int_0^3(x^2+2x+3)\\,dx$: высоту полоски нашли сложением, а нужна разность «верх минус низ»","Это $\\int_0^3(x^2+3)\\,dx$ — площадь под одной параболой; прямая $y=2x$ не учтена"],"answer":[0]}},"hints":["Высота полоски — верх минус низ. При $x=1$: $x^2+3=4$, $2x=2$ — выше парабола; разность $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$ на всем отрезке.","$S=\\int_0^3(x^2-2x+3)\\,dx=\\left(\\frac{x^3}{3}-x^2+3x\\right)\\Big|_0^3=9-9+9$.","$S=9$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Фигура ограничена графиками $y=x^2+1$, $y=-x$ и прямыми $x=0$, $x=3$. Вообразавр записал $S=\\int_0^3(-x-(x^2+1))\\,dx=-\\frac{33}{2}$. Чему равна площадь фигуры на самом деле?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$12$","$\\frac{33}{2}$","$\\frac{15}{2}$","$-\\frac{33}{2}$"],"explanations":["Это $\\int_0^3(x^2+1)\\,dx$ — площадь под одной параболой; прямая $y=-x$ не учтена","","Это $\\int_0^3(x^2+1-x)\\,dx$: прямую $y=-x$ взяли как $y=x$, а вычитать нужно $-x$, то есть прибавлять $x$","Площадь не бывает отрицательной: минус показывает, что из нижней кривой вычли верхнюю"],"answer":[1]}},"hints":["Высота полоски — верх минус низ. При $x=1$: $x^2+1=2$, $-x=-1$ — выше парабола; разность $x^2+x+1>0$ на всем отрезке.","$S=\\int_0^3(x^2+x+1)\\,dx=\\left(\\frac{x^3}{3}+\\frac{x^2}{2}+x\\right)\\Big|_0^3=9+\\frac92+3$.","$S=\\frac{33}{2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте фигуру и интеграл, равный ее площади.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["под графиком $y=x^2$ на $[0;2]$","между $y=x+2$ и $y=x^2$ на $[-1;2]$","под осью: $y=x^2-4$ на $[-2;2]$"],"items":["$\\int_0^{2}x^2\\,dx$","$\\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\\,dx$","$-\\int_{-2}^{2}(x^2-4)\\,dx$","$\\int_{-2}^{2}(x^2-4)\\,dx$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Выше оси — интеграл от функции; между кривыми — верхняя минус нижняя; ниже оси — интеграл со знаком минус.","Ответ: под графиком $y=x^2$ на $[0;2]$ $\\to$ $\\int_0^{2}x^2\\,dx$; между $y=x+2$ и $y=x^2$ на $[-1;2]$ $\\to$ $\\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\\,dx$; под осью: $y=x^2-4$ на $[-2;2]$ $\\to$ $-\\int_{-2}^{2}(x^2-4)\\,dx$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте фигуру и интеграл, равный ее площади.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["под графиком $y=x^3$ на $[0;2]$","между $y=x+6$ и $y=x^2$ на $[-2;3]$","под осью: $y=x^2-9$ на $[-3;3]$"],"items":["$\\int_0^{2}x^3\\,dx$","$\\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)\\,dx$","$-\\int_{-3}^{3}(x^2-9)\\,dx$","$\\int_{-3}^{3}(x^2-9)\\,dx$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Выше оси — интеграл от функции; между кривыми — верхняя минус нижняя; ниже оси — интеграл со знаком минус.","Ответ: под графиком $y=x^3$ на $[0;2]$ $\\to$ $\\int_0^{2}x^3\\,dx$; между $y=x+6$ и $y=x^2$ на $[-2;3]$ $\\to$ $\\int_{-2}^{3}(x+6-x^2)\\,dx$; под осью: $y=x^2-9$ на $[-3;3]$ $\\to$ $-\\int_{-3}^{3}(x^2-9)\\,dx$."],"step":1},{"id":"6","content":"Парабола $y=x^2$ и прямая $y=x+12$ пересекаются при $x=-3$ и $x=4$; на $[-3;4]$ прямая лежит выше параболы. Заполните пропуск: $S=\\int_{-3}^{4}\\left([[fill_choice-1]]\\right)dx$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x^2+x+12$","$x^2-(x+12)$","$x+12-x^2$","$x+12$"],"answer":2}},"hints":["Площадь фигуры между кривыми — интеграл от верхней функции минус нижняя.","Верхняя — прямая $y=x+12$, нижняя — парабола $y=x^2$.","Подынтегральная функция: $x+12-x^2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Парабола $y=x^2$ и прямая $y=x+20$ пересекаются при $x=-4$ и $x=5$; на $[-4;5]$ прямая лежит выше параболы. Заполните пропуск: $S=\\int_{-4}^{5}\\left([[fill_choice-2]]\\right)dx$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$x^2+x+20$","$x^2-(x+20)$","$x+20$","$x+20-x^2$"],"answer":3}},"hints":["Площадь фигуры между кривыми — интеграл от верхней функции минус нижняя.","Верхняя — прямая $y=x+20$, нижняя — парабола $y=x^2$.","Подынтегральная функция: $x+20-x^2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=-3$, $x=3$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$S=\\int_{-3}^{3}x^2\\,dx=\\dfrac{x^3}3\\Big|_{-3}^{3}$.","$S=\\dfrac{27}3-\\dfrac{-27}3=18$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=-6$, $x=6$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["$S=\\int_{-6}^{6}x^2\\,dx=\\dfrac{x^3}3\\Big|_{-6}^{6}$.","$S=\\dfrac{216}3-\\dfrac{-216}3=144$."],"step":1},{"id":"8","content":"Площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x-c$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=4$, равна $5$. Найдите $c$, если $0<c<2$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Прямая $y=x-c$ пересекает ось $Ox$ при $x=c$: на $[0;c]$ она ниже оси, на $[c;4]$ выше, фигура состоит из двух треугольников.","Их площади $\\frac{c^2}{2}$ и $\\frac{(4-c)^2}{2}$, поэтому $\\frac{c^2}{2}+\\frac{(4-c)^2}{2}=5$, откуда $c^2-4c+3=0$.","Корни этого уравнения $1$ и $3$; условию $0<c<2$ удовлетворяет $c=1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x-c$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=6$, равна $10$. Найдите $c$, если $0<c<3$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Прямая $y=x-c$ пересекает ось $Ox$ при $x=c$: на $[0;c]$ она ниже оси, на $[c;6]$ выше, фигура состоит из двух треугольников.","Их площади $\\frac{c^2}{2}$ и $\\frac{(6-c)^2}{2}$, поэтому $\\frac{c^2}{2}+\\frac{(6-c)^2}{2}=10$, откуда $c^2-6c+8=0$.","Корни этого уравнения $2$ и $4$; условию $0<c<3$ удовлетворяет $c=2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, прямой $y=2x$ и прямыми $x=0$, $x=4$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Парабола и прямая пересекаются при $x^2=2x$, то есть при $x=0$ и $x=2$: точка $x=2$ лежит внутри отрезка $[0;4]$, и кривые меняются местами.","На $[0;2]$ сверху прямая, на $[2;4]$ сверху парабола, поэтому $S=\\int_0^{2}(2x-x^2)\\,dx+\\int_{2}^{4}(x^2-2x)\\,dx=\\frac{4}{3}+\\frac{20}{3}$.","$S=8$; один интеграл от $2x-x^2$ по всему отрезку дал бы $-\\frac{16}{3}$ — это не площадь."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$, прямой $y=4x$ и прямыми $x=0$, $x=8$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Парабола и прямая пересекаются при $x^2=4x$, то есть при $x=0$ и $x=4$: точка $x=4$ лежит внутри отрезка $[0;8]$, и кривые меняются местами.","На $[0;4]$ сверху прямая, на $[4;8]$ сверху парабола, поэтому $S=\\int_0^{4}(4x-x^2)\\,dx+\\int_{4}^{8}(x^2-4x)\\,dx=\\frac{32}{3}+\\frac{160}{3}$.","$S=64$; один интеграл от $4x-x^2$ по всему отрезку дал бы $-\\frac{128}{3}$ — это не площадь."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=b$ (где $b>0$), равна $9$. Найдите $b$. [[input-11]]","widgets":{"input-11":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$S=\\int_0^bx^2\\,dx=\\frac{b^3}{3}$.","Из $\\frac{b^3}{3}=9$ получаем $b^3=27$.","Так как $b>0$, то $b=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Площадь фигуры, ограниченной графиком $y=3x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=b$ (где $b>0$), равна $8$. Найдите $b$. [[input-12]]","widgets":{"input-12":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$S=\\int_0^b3x^2\\,dx=\\frac{3b^3}{3}$.","Из $\\frac{3b^3}{3}=8$ получаем $b^3=8$.","Так как $b>0$, то $b=2$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>