Простейшие показательные уравнения

Содержание

В уроке о показательной функции и ее графике мы видели, что $y = a^x$ при $a > 0$, $a \ne 1$ строго возрастает или строго убывает и принимает только положительные значения. Теперь научимся решать уравнения, где неизвестное стоит в показателе: $2^x = 32$, $\left(\frac19\right)^x = \sqrt3$, $3^{x-2} = 81$. Главный прием один — записать обе части степенью одного основания.

Сравните три уравнения: $2^x = 8$, $2^x = 0$ и $2^x = 5$. У первого корень виден сразу, у второго корней нет вовсе, у третьего корень есть, но он не целый. Почему так, станет ясно к концу урока.

Каждый этаж лифт проезжает один раз

Вспомним модель модуля — лифт с множителем. Лифт стоит на этаже $a^x$. Шаг по $x$ на единицу не прибавляет, а умножает этаж на $a$. Для $a = 2$ этажи такие: $x = 0$ — этаж $1$, $x = 1$ — этаж $2$, затем $4$, $8$, $16$, $32$. При дробных $x$ лифт едет между этажами плавно.

Уравнение $2^x = 32$ спрашивает: на каком шаге лифт окажется на этаже $32$? Ответ виден на схеме: $32 = 2^5$, значит $x = 5$. Другого ответа нет: лифт с $a = 2$ едет только вверх и через этаж $32$ проходит ровно один раз.

Лифт с множителем 2: этажи 1, 2, 4, 8, 16, 32 на шагах x от 0 до 5; этаж 32 один, ему соответствует x = 5 — Лифт с множителем 2 проходит каждый этаж один раз: этажу 32 соответствует только x = 5

То же верно для любого основания $a > 0$, $a \ne 1$. При $a > 1$ лифт все время поднимается, при $0 < a < 1$ все время опускается. В обоих случаях разные $x$ дают разные этажи. Поэтому если этажи равны, то равны и шаги.

Правило

Если $a > 0$ и $a \ne 1$, то равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей:

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$$

Обратите внимание

Условие $a \ne 1$ не формальность. Лифт с множителем $1$ стоит на месте: $1^x = 1$ при любом $x$. Тогда равенство $1^x = 1^5$ верно для всех $x$, и вывод «$x = 5$» неверен.

Почему из равенства степеней следуют равные показатели

Скрыть

Пусть $a > 1$ и $a^{m} = a^{n}$. Предположим, что $m \ne n$, например $m < n$. Функция $y = a^x$ при $a > 1$ строго возрастает, поэтому из $m < n$ следует $a^m < a^n$ — это противоречит равенству. Случай $m > n$ разбирается так же. Значит, $m = n$.

При $0 < a < 1$ функция строго убывает, и рассуждение то же, только знаки неравенств между степенями противоположные. При $a = 1$ функция постоянна, и доказательство не проходит: именно поэтому в правиле стоит условие $a \ne 1$.

Пример 1

Решите уравнение $3^{x-2} = 81$.

Решение. Запишем правую часть степенью тройки: $81 = 3^4$. Получаем $3^{x-2} = 3^4$. Основания равны, значит равны показатели: $x-2 = 4$, $x = 6$.

Проверка. $3^{6-2} = 3^4 = 81$.

Ответ: $6$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $5^x = 125$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Запишем правую часть степенью основания левой части; затем приравняем показатели.","$125 = 5^3$, поэтому $5^x = 5^3$.","Показатели равны: $x = 3$. Проверка: $5^3 = 125$. Ответ: $3$."],"step":1},{"content":"При $a > 0$, $a \\ne 1$ уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$f(x) = g(x)$","$f(x) = a \\cdot g(x)$","$a = f(x) = g(x)$","$f(x) \\cdot g(x) = 1$"],"answer":0}},"hints":["Что должно совпасть у двух степеней с одним и тем же основанием $a > 0$, $a \\ne 1$?","Показательная функция строго монотонна и принимает каждое значение один раз, поэтому равные значения возможны только при равных показателях.","Ответ: $f(x) = g(x)$."],"step":1},{"content":"При каком значении $a$ нельзя из равенства $a^x = a^3$ сделать вывод $x = 3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a = 2$","$a = 1$","$a = 10$","$a = \\frac12$"],"explanations":["При $a = 2$ степень $2^x$ принимает каждое значение один раз, вывод верен","","При $a = 10$ вывод верен: функция возрастает","Основание из $(0;\\,1)$ допустимо: функция строго убывает"],"answer":[1]}},"hints":["Из $a^x = a^b$ следует $x = b$ только при $a > 0$ и $a \\ne 1$.","При $a = 1$ получаем $1^x = 1^3$, то есть $1 = 1$ при любом $x$.","Ответ: при $a = 1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Разные с виду основания часто оказываются одним

В уравнении $8^x = 16$ основание левой части $8$ и правая часть $16$ — разные числа. Но оба числа — этажи одного лифта с множителем $2$: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$. Значит, можно ехать в одном лифте.

Перепишем левую часть: $8^x = \left(2^3\right)^x = 2^{3x}$. Здесь работает свойство степени $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$: показатели перемножаются. Теперь $2^{3x} = 2^4$, и по правилу $3x = 4$.

Числа 8 и 16 — этажи лифта с основанием 2: 8 = 2^3 и 16 = 2^4, поэтому 8^x = 16 приводится к 2^(3x) = 2^4, то есть 3x = 4 — Числа 8 и 16 — этажи одного лифта: 2³ и 2⁴, поэтому 8^x = 16 сводится к 3x = 4

Алгоритм

Посмотрите на знак правой части $c$. Если $c \le 0$, корней нет, решение закончено (почему так — в следующем разделе).
При $c > 0$ подберите число $a > 0$, $a \ne 1$, степенями которого записываются основание левой части и правая часть: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$. Оно может быть составным.
Запишите каждую часть в виде $a^{\text{показатель}}$, пользуясь свойствами степени, приравняйте показатели и решите полученное уравнение.
Проверьте корень подстановкой.

Пример 2

Решите уравнение $27^x = 9$.

Решение. Правая часть положительна. $27 = 3^3$, $9 = 3^2$. Тогда $3^{3x} = 3^2$, откуда $3x = 2$ и $x = \frac23$.

Проверка. $27^{\frac23} = \left(3^3\right)^{\frac23} = 3^2 = 9$.

Ответ: $\frac23$.

Ошибка

Частая ошибка — сравнить показатель с одним из оснований: «$8^x = 16$, значит $x = 2$, ведь $8 \cdot 2 = 16$». Проверим: $8^2 = 64$, а не $16$. Рассуждение сломалось там, где возведение в степень подменили умножением. Сравнивать показатели можно только после того, как основания стали одинаковыми.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $3^x = \\frac{1}{27}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["При отрицательном показателе $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$. Найдите, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить знаменатель.","Запишем дробь степенью: $\\frac{1}{27} = \\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.","Тогда $3^x = 3^{-3}$, значит $x = -3$. Ответ: $-3$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $4^x = 8$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["1,5","1.5"]}},"hints":["Запишем обе части степенью двойки: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.","$2^{2x} = 2^3$, откуда $2x = 3$.","Ответ: $1{,}5$."],"step":1}],"mix":1}

Ниже нулевого уровня лифт не опускается

Попробуем решить $3^x = -9$. Хочется написать $-9 = 3^{-2}$. Проверим: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac19$. Это положительное число, а не $-9$.

Посмотрим на лифт. Этажи с $a = 3$: $\ldots,\ \frac19,\ \frac13,\ 1,\ 3,\ 9,\ \ldots$ Если уменьшать $x$ на единицу — от $0$ к $-1$, затем к $-2$, — значение каждый раз делится на $3$. Этаж становится все меньше, однако остается положительным. Уровня $0$ лифт не достигает, а отрицательных этажей в шахте нет совсем.

У лифта с основанием 3 нет нулевого и отрицательных этажей: этажи 9, 3, 1, 1/3, 1/9 приближаются к уровню 0, но не достигают его; этажа −9 нет — Все этажи лифта положительны: на уровень 0 и на отрицательные этажи он не попадает, поэтому 3^x = −9 и 3^x = 0 корней не имеют

Правило

При $a > 0$, $a \ne 1$ степень $a^x$ положительна при любом $x$. Поэтому уравнение $a^x = c$ при $c \le 0$ корней не имеет:

$$a^x > 0 \ \text{для всех } x \quad\Rightarrow\quad a^x = c,\ c \le 0 \ \text{— корней нет}$$

Сравните с уравнением $x^3 = -8$: у него есть корень $x = -2$, потому что неизвестное стоит в основании и само может быть отрицательным. В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе, а основание $a$ положительно и не меняется. Степень положительного числа положительна при любом показателе. При натуральном $n$ степень $a^n$ — произведение положительных множителей; $a^0 = 1 > 0$; $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ — дробь с положительными числителем и знаменателем. Для дробного показателя $a^{\frac mn} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ — степень положительного арифметического корня. Для любого действительного показателя это свойство показательной функции из прошлого урока: ее область значений — $(0;\,+\infty)$.

Ошибка

Как ошибаются. Решают $3^x = -9$ как обычное уравнение: «$-9 = 3^{-2}$, значит $x = -2$». Или в уравнении $7^x = 0$ пишут «$x = 0$».

Проверка на числах. $3^{-2} = \frac19 \ne -9$; $7^0 = 1 \ne 0$.

Где сломалось. Отрицательный показатель переворачивает дробь, но не меняет знак числа. Нулевой показатель дает $1$, а не $0$. Минус перед числом нельзя спрятать в показатель.

Важно

Знак правой части — первый шаг алгоритма, до подбора основания. Если $c \le 0$, решение закончено: ответ «корней нет». Только при $c > 0$ приводите обе части к одному основанию.

{"questions":[{"content":"Сколько корней имеет уравнение $5^x = -25$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корней нет","Два корня","Один корень $x = -2$","Один корень $x = 2$"],"explanations":["","Корней нет вовсе: левая часть всегда положительна","$5^{-2} = \\frac1{25}$, а не $-25$: отрицательный показатель не дает отрицательное число","Знак минус потерян: $5^2 = 25$, а не $-25$"],"answer":[0]}},"hints":["Степень положительного числа положительна: $5^x > 0$ при любом $x$.","Левая часть положительна, правая отрицательна, равенство невозможно.","Ответ: корней нет."],"step":1},{"content":"Вообразавр решает уравнение $6^x = 0$ так: «$0 = 6^{0}$, поэтому $x = 0$». Где ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, корень $x = 0$","Корень есть, но отрицательный и очень большой по модулю","Равенство верно, но нужно взять $x = 1$","Равенство $0 = 6^0$ неверно: корней нет"],"explanations":["Подстановка: $6^0 = 1 \\ne 0$","При отрицательных $x$ степень уменьшается, но остается положительной и нуля не достигает","$6^1 = 6$, тоже не $0$",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте подстановкой значение $x = 0$ в левую часть уравнения.","Любое положительное число в нулевой степени равно $1$; степень положительного основания положительна при любом $x$.","Вычисляем: $6^0 = 1 \\ne 0$, значит равенство $0 = 6^0$ неверно. Ответ: корней нет."],"step":1}],"mix":1}

График показывает, сколько корней и где они

Корень уравнения $a^x = c$ — это абсцисса точки, где график $y = a^x$ пересекает горизонтальную прямую $y = c$. На языке лифта: прямая $y = c$ — это нужный этаж, а абсцисса точки пересечения — шаг, на котором лифт до него доедет.

Возьмем $y = 3^x$ и прямую $y = 9$. Она пересекает график в точке $(2;\,9)$: корень $x = 2$. А что будет, если двигать прямую: поднять выше, опустить до оси $Ox$, увести под ось? Сначала предположите, потом проверьте на графиках в тренажере ниже.

prostejshie-pokazatelnye-uravneniya-predict

Теперь соберем три прямые на одном рисунке. Прямая $y = 9$ пересекает график $y = 3^x$ в точке $(2;\,9)$. Прямая $y = 0$ — это ось $Ox$; график приближается к ней слева, но не касается. Прямая $y = -2$ лежит ниже оси, а график целиком выше нее.

График y = 3^x и три горизонтали: y = 9 пересекает его в точке (2; 9), ось y = 0 график не касается, прямая y = −2 общих точек не имеет — Прямая y = c при c > 0 пересекает график y = 3^x ровно в одной точке, при c ≤ 0 — ни в одной

Правило

Уравнение $a^x = c$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) имеет ровно один корень при $c > 0$ и не имеет корней при $c \le 0$.

$$c > 0:\ \text{один корень};\qquad c \le 0:\ \text{корней нет}$$

Теперь вернемся к трем уравнениям из начала урока. Уравнение $2^x = 8$: этаж $8 = 2^3$, корень $x = 3$. Уравнение $2^x = 0$: прямая $y = 0$ с графиком не встречается, корней нет. Уравнение $2^x = 5$: прямая $y = 5$ пересекает график, и корень один. Он лежит между $2$ и $3$, потому что $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$. Целым он не будет: $5$ не степень двойки с целым показателем. Точную запись такого корня даст следующий модуль, а сейчас важно, что корень существует и он единственный.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке — график функции $y = \\left(\\frac13\\right)^x$ и прямая $y = 9$. Найдите корень уравнения $\\left(\\frac13\\right)^x = 9$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/4ga0wukerqcu.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Корень уравнения — абсцисса точки пересечения графика и прямой.","Прямая $y = 9$ пересекает график в точке $(-2;\\,9)$.","Проверка: $\\left(\\frac13\\right)^{-2} = 3^2 = 9$. Ответ: $-2$."],"step":1},{"content":"[[image-2]]На рисунке — график функции $y = 2^x$ и прямая $y = -2$. Сколько корней имеет уравнение $2^x = -2$? [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8bpzv7bstu0s.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Корни уравнения — абсциссы общих точек графика и прямой.","Прямая $y = -2$ лежит ниже оси $Ox$, а график расположен только выше нее.","Общих точек нет. Ответ: $0$."],"step":1}],"mix":1}

Дробь и корень — тоже этажи того же лифта

В заданиях ЕГЭ основание или правая часть часто записаны дробью или корнем. Как записать $\frac1{16}$ и $\sqrt2$ степенями двойки? Так: $\frac1{16} = 2^{-4}$ и $\sqrt2 = 2^{\frac12}$. Обе записи называют положения одного и того же лифта: $\frac1{16}$ — четыре шага назад от этажа $1$, $\sqrt2$ — половина шага вперед. Те же приемы на схеме для чисел $\frac19$ и $\sqrt3$:

Перевод в степень: 1/9 = 3^(−2), √3 = 3^(1/2), 0,25 = 1/4 = 2^(−2); (1/a)^x = a^(−x), √a = a^(1/2) — Дробь, корень и десятичная дробь записываются степенью одного основания: показатель становится отрицательным или дробным

Из этих двух пар получаются три записи, которых достаточно:

$\frac1a = a^{-1}$, поэтому $\left(\frac1a\right)^x = a^{-x}$ — лифт едет в обратную сторону;
$\sqrt a = a^{\frac12}$ — половина шага лифта;
десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные: $0{,}25 = \frac14 = 2^{-2}$.

Пример 3

Решите уравнение $\left(\frac19\right)^x = \sqrt3$.

Решение. Основание: $\frac19 = 3^{-2}$, поэтому $\left(\frac19\right)^x = 3^{-2x}$. Правая часть: $\sqrt3 = 3^{\frac12}$. Получаем $3^{-2x} = 3^{\frac12}$, откуда $-2x = \frac12$ и $x = -\frac14$.

Проверка. $\left(\frac19\right)^{-\frac14} = 9^{\frac14} = \left(3^2\right)^{\frac14} = 3^{\frac12} = \sqrt3$.

Ответ: $-0{,}25$.

Пример 4

Решите уравнение $(0{,}25)^{x+1} = 2\sqrt2$.

Решение. $0{,}25 = 2^{-2}$, поэтому левая часть равна $2^{-2(x+1)}$. Правая часть: $2\sqrt2 = 2^1 \cdot 2^{\frac12} = 2^{\frac32}$. Приравниваем показатели: $-2(x+1) = \frac32$, то есть $-2x-2 = \frac32$, $-2x = \frac72$, $x = -\frac74$.

Проверка. $x+1 = -\frac34$, $(0{,}25)^{-\frac34} = 4^{\frac34} = 2^{\frac32} = 2\sqrt2$.

Ответ: $-1{,}75$.

Почему при основании-дроби легко потерять минус

Скрыть

Когда основание $\frac1a$ заменяют на $a^{-1}$, минус переходит в показатель и умножается на весь показатель целиком: $\left(\frac1a\right)^{x+1} = a^{-(x+1)} = a^{-x-1}$. Если отнести минус только к $x$, получится $a^{-x+1}$ — другое число. Поэтому показатель после замены основания всегда пишут в скобках.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $\\left(\\frac15\\right)^x = 25$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Запишем $\\frac15 = 5^{-1}$, тогда $\\left(\\frac15\\right)^x = 5^{-x}$.","$25 = 5^2$, значит $5^{-x} = 5^2$ и $-x = 2$.","Проверка: $\\left(\\frac15\\right)^{-2} = 25$. Ответ: $-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решите уравнение $4^x = \\sqrt{2}$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,25","0.25"]}},"hints":["Запишем обе части степенью двойки: $4^x = 2^{2x}$, $\\sqrt{2} = 2^{\\frac12}$.","$2x = \\frac12$, откуда $x = \\frac14$.","Ответ: $0{,}25$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Простейшее показательное уравнение решается приведением к одному основанию. Это работает потому, что лифт с множителем $a$ ($a > 0$, $a \ne 1$) проходит каждый положительный этаж ровно один раз и никогда не бывает на нулевом или отрицательном этаже. На этих уравнениях держатся задание №6 профильного ЕГЭ и первые шаги решения более сложных уравнений.

Дальше — уравнения, где степень встречается несколько раз: Показательные уравнения: замена, вынесение, однородные. Закрепить прием на задачах ЕГЭ можно в практике «Решение рациональных и показательных уравнений».

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя просто «сократить» основания в уравнении $8^x = 16$?

Сравнивать показатели можно только у степеней с одинаковым основанием. У $8^x$ и $16$ основания разные, поэтому сначала обе части записывают степенью двойки: $2^{3x} = 2^4$. Только после этого получаем $3x = 4$.

Может ли у уравнения $a^x = c$ быть два корня?

Нет. Функция $y = a^x$ при $a > 1$ строго возрастает, при $0 < a < 1$ строго убывает. Поэтому каждое положительное значение она принимает ровно один раз, а горизонтальная прямая пересекает график не более чем в одной точке.

Что ответить, если правая часть отрицательна?

Записать «корней нет». Степень положительного основания всегда положительна, а отрицательное число нельзя записать как $a^{\text{что-то}}$ ни при каком показателе.

Как выбрать общее основание?

Сначала посмотрите на знак правой части $c$: при $c \le 0$ корней нет. При $c > 0$ ищите число $a > 0$, $a \ne 1$, степенями которого записываются и основание левой части, и правая часть. Оно может быть составным: в $36^x = 216$ подходит $6$, так как $36 = 6^2$, $216 = 6^3$, откуда $2x = 3$, $x = 1{,}5$. Одного общего делителя мало. Для чисел $6$ и $12$ не получится подобрать общее основание с рациональными показателями: изученный подбор здесь не дает точного ответа. Но у уравнения $6^x = 12$ ровно один корень, и он лежит между $1$ и $2$, поскольку $6 < 12 < 36$. А в уравнении $6^x = 36$ общее основание видно сразу: $36 = 6^2$, $x = 2$.

Награды за урок