Определенный интеграл. Формула Ньютона—Лейбница

Содержание

В уроке «Таблица и правила интегрирования» вы научились находить первообразные. Сегодня — определенный интеграл: как приближать площадь под графиком суммами все более узких полосок и почему результат равен разности двух значений первообразной. Это формула Ньютона—Лейбница, главный инструмент для вычисления интегралов.

Путь при постоянной скорости — площадь прямоугольника

В автомобиле два прибора. Спидометр показывает скорость в данный момент, одометр — сколько метров проехано всего. Если спидометр все время показывает 10 м/с, то за 3 с автомобиль проедет $s=10\cdot 3=30$ м.

График скорости (время $t$ по горизонтали, скорость $v$ по вертикали) — горизонтальный отрезок на высоте 10. Под ним прямоугольник шириной 3 и высотой 10; его площадь $10\cdot 3=30$ совпадает с путем.

Скорость 10 м/с постоянна на отрезке времени от 0 до 3 с: путь равен площади прямоугольника 10·3=30 — Путь равен площади под графиком скорости: 10 · 3 = 30 м

Теперь скорость меняется: $v(t)=3t^2$ (м/с). В момент $t=1$ с спидометр показывает 3 м/с, в момент $t=2$ с — уже 12 м/с. Какой путь проехал автомобиль между этими моментами? Умножить скорость на время нельзя: непонятно, какую брать. На языке графика: какова площадь под кривой $v=3t^2$ на отрезке $[1;2]$? Ответ получим в разделе об одометре.

График скорости v=3t^2: путь за время от 1 до 2 с равен закрашенной площади под кривой, значения 3 и 12 на концах — Вопрос урока: путь — площадь под кривой, а площадь под кривой мы считать пока не умеем

{"questions":[{"content":"Автомобиль едет с постоянной скоростью 15 м/с с момента $t=2$ с до момента $t=6$ с. График скорости — горизонтальный отрезок. Какой путь проедет автомобиль?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["60 м","30 м","90 м","19 м"],"explanations":["","Скорость умножили на момент начала $t=2$, а не на время движения $6-2=4$ с","Скорость умножили на момент окончания $t=6$, а не на время движения $6-2=4$ с","Скорость и время сложили; путь — произведение, площадь прямоугольника $15\\cdot 4$"],"answer":[0]}},"hints":["Путь равен площади прямоугольника под графиком скорости: ширина — время движения $6-2=4$ с, высота — скорость 15 м/с.","$15\\cdot 4=60$ м."],"step":1}],"mix":1}

Разрежем время на короткие промежутки

За короткое время скорость почти не меняется. Разобьем отрезок $[1;2]$ на 4 равные части по $\Delta t=0{,}25$ с. На каждой части будем считать скорость постоянной и равной показанию спидометра в начале части. Путь за часть примерно равен площади узкой полоски.

Показания в начале частей: $v(1)=3$, $v(1{,}25)=4{,}6875$, $v(1{,}5)=6{,}75$, $v(1{,}75)=9{,}1875$. Сумма площадей полосок:

Скорость растет, а мы взяли на каждой части самое маленькое значение: полоски лежат под графиком, и $5{,}906$ меньше настоящего пути. С показанием в конце части полоски выступят над графиком: $(4{,}6875+6{,}75+9{,}1875+12)\cdot 0{,}25=8{,}15625$. Путь зажат между двумя суммами. Сумму с низкими полосками назовем нижней, с высокими — верхней.

Четыре полоски на отрезке от 1 до 2: нижняя сумма 5,906 и верхняя 8,156 зажимают путь — Нижние полоски дают 5,91, верхние — 8,16; настоящий путь между ними

Суммы для разного числа частей $n$:

Для возрастающей скорости верхняя сумма — это нижняя, сдвинутая на одну полоску: нет первой (высота 3), есть последняя (высота 12). Разность сумм равна $(12-3)\cdot\frac1n=\frac9n$. При росте $n$ она стремится к нулю, и обе суммы приближаются к одному числу. По таблице — к 7. В модели ниже нижняя (зеленая) и верхняя (оранжевая) ступеньки сужаются вокруг параболы. Число 7 — предел сумм, он и называется интегралом; ни одна сумма ему не равна.

ps-integral-polosy

{"questions":[{"content":"Отрезок $[0;2]$ разбит на 4 равные части. Над каждой частью построена полоска-прямоугольник, высота которой — значение $f(x)=x^2$ в левом конце части. Найдите сумму площадей полосок. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1,75","1.75","7/4"]}},"hints":["Ширина полоски $\\Delta x=\\frac{2-0}{4}=0{,}5$; левые концы частей: $0$; $0{,}5$; $1$; $1{,}5$.","Высоты: $f(0)=0$, $f(0{,}5)=0{,}25$, $f(1)=1$, $f(1{,}5)=2{,}25$; их сумма $3{,}5$.","Сумма площадей $3{,}5\\cdot 0{,}5=1{,}75$."],"step":1},{"content":"Функция $f$ положительна и возрастает на $[a;b]$. Отрезок разбит на полоски, высота каждой — значение $f$ в левом конце полоски. Как сумма площадей полосок связана с площадью под графиком (интегралом)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сумма равна интегралу","Сумма меньше интеграла","Сумма больше интеграла","Это зависит от числа полосок"],"explanations":["Равенство получается только в пределе; каждая полоска теряет кусочек площади под графиком","","Так будет при высотах по правым концам: у возрастающей функции правый конец выше","При любом числе полосок каждая лежит под графиком, поэтому сумма всегда меньше"],"answer":[1]}},"hints":["При возрастающей $f$ левый конец — самая низкая точка графика над полоской.","Каждая полоска целиком лежит под графиком, поэтому сумма меньше интеграла."],"step":1}],"mix":1}

Интеграл — число, к которому приближаются суммы

Тот же прием работает для непрерывной $f$ на $[a;b]$, где $a<b$. Делим отрезок на $n$ равных частей шириной $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, в каждой части выбираем точку $x_i$ и складываем произведения $f(x_i)\,\Delta x$. Если $f(x_i)<0$, произведение — площадь полоски со знаком минус.

Определение

Определенный интеграл функции $f$ от $a$ до $b$ — число, к которому стремятся суммы $f(x_i)\Delta x$ (площади полосок, под осью — со знаком минус), когда число частей $n$ неограниченно растет:

Числа $a$ и $b$ — нижний и верхний пределы интегрирования, $f$ — подынтегральная функция. Для непрерывной функции этот предел существует и не зависит от выбора точек $x_i$ (без доказательства).

$$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\bigl(f(x_1)+f(x_2)+\ldots+f(x_n)\bigr)\Delta x$$

Запись определенного интеграла от a до b функции f(x) по x: пределы, высота и ширина полоски, знак суммы — Запись интеграла повторяет сумму полосок: высота f(x), ширина dx, от a до b

Если $a<b$ и $f(x)\ge 0$, интеграл равен площади под графиком на $[a;b]$, а для скорости — пройденному пути. Вопрос урока: чему равен $\int_1^2 3t^2\,dt$? Буква после $d$ — переменная полосок, здесь время $t$.

Пример 1. Интеграл как предел сумм

Условие. Найдите $\int_0^1x^2\,dx$ как предел сумм.

Решение. Делим $[0;1]$ на $n$ частей шириной $\frac1n$; высоты берем в правых концах $\frac1n$, $\frac2n$, …, $\frac nn$. Сумма площадей:

По известной формуле $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, поэтому $S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{1}{6}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)\Bigl(2+\frac1n\Bigr)$. При $n\to\infty$ дроби $\frac1n$ стремятся к нулю, и $S_n\to\frac{1\cdot 2}{6}=\frac13$.

Ответ: $\frac13$.

Важно

Определенный интеграл — число, а не функция: в ответе нет ни $x$, ни $+C$. Этим он отличается от неопределенного интеграла $\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$ из прошлых уроков. Например, $\int_0^2 2x\,dx$ — площадь треугольника $\frac{2\cdot 4}{2}=4$: одно число.

{"questions":[{"content":"Что получается в результате вычисления $\\int_1^3x^2\\,dx$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Функция $\\frac{x^3}{3}$","Семейство $\\frac{x^3}{3}+C$","Одно число","Отрезок $[1;3]$"],"explanations":["Это первообразная; определенный интеграл — предел сумм площадей, то есть число","Это неопределенный интеграл; у определенного есть пределы $1$ и $3$, ответ — число","","На этом отрезке строят полоски; результат — предел суммы их площадей, число"],"answer":[2]}},"hints":["Определенный интеграл — предел сумм площадей полосок на отрезке $[1;3]$.","Сумма площадей — число, и ее предел — тоже число."],"step":1}],"mix":1}

Одометр считает все полоски сразу

Считать суммы долго. Посмотрим на одометр. Пусть $s(t)$ — его показание в момент $t$. Скорость — производная пути: $s'(t)=v(t)$ (урок «Определение производной, ее физический и геометрический смысл»). Значит, пока автомобиль едет только вперед ($v\ge 0$), показание одометра — первообразная для показаний спидометра, а путь от момента $a$ до момента $b$ равен $s(b)-s(a)$. При езде назад см. раздел 7: для координаты $s$ верно $s’=v$ при любом знаке $v$, и вывод тот же: интеграл равен $s(b)-s(a)$.

Сложим прибавки одометра за четыре части исходной поездки: $(1{,}953125-1)+(3{,}375-1{,}953125)+(5{,}359375-3{,}375)+(8-5{,}359375)=8-1=7$. Промежуточные показания сокращаются.

Так при любом числе частей. Разобьем $[a;b]$ моментами $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$. На части $[t_{i-1};t_i]$ одометр прибавляет $s(t_i)-s(t_{i-1})$, а полоска дает $v(t_{i-1})\,\Delta t$. На узкой части полоска близка к прибавке одометра. Прибавки в сумме дают

При росте $n$ суммы полосок приближаются к интегралу, поэтому он равен разности показаний одометра $s(b)-s(a)$.

График s=t^3: прибавки пути на четырех долях отрезка от 1 до 2 складываются в разность 8−1=7 — Прибавки одометра за четыре части складываются в одну разность: 8 − 1 = 7

Почему суммы полосок приближаются к разности (повышенный уровень)

Скрыть

За время $\Delta t$ автомобиль проезжает путь между (наименьшая скорость)$\cdot\Delta t$ и (наибольшая)$\cdot\Delta t$, и полоска дает число из того же промежутка. Обозначим $\varepsilon_n$ наибольший из разбросов скорости по всем $n$ частям. Тогда прибавка и полоска различаются не больше чем на $\varepsilon_n\Delta t$, а вся сумма — не больше чем на $\varepsilon_n(b-a)$. У непрерывной скорости $\varepsilon_n\to0$ при росте $n$, поэтому предел сумм равен $s(b)-s(a)$.

Теорема (формула Ньютона—Лейбница)

Если функция $f$ непрерывна на $[a;b]$ и $F$ — ее первообразная, то интеграл равен значению первообразной в верхнем пределе минус значение в нижнем:

Любая первообразная подходит: $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.

$$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)\Big|_a^b$$

Ответ на вопрос урока. Для $v(t)=3t^2$ первообразная $s(t)=t^3$. Путь $\int_1^2 3t^2\,dt=2^3-1^3=8-1=7$ м — ровно то число, к которому сходились суммы в таблице.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $\int_1^4 2x\,dx=15+C$.

Проверка на числах. Фигура под графиком — трапеция с основаниями 2 и 8 и высотой 3, ее площадь $\frac{2+8}{2}\cdot3=15$ одна. А ответ «$15+C$» при $C=5$ дает 20.

Где сломалось. У $2x$ первообразная $x^2+C$. При подстановке пределов $C$ встречается дважды и сокращается: $(4^2+C)-(1^2+C)=15$. Верный ответ: $15$.

Приписанная постоянная C меняет ответ (15 или 20), а в разности (16+C)−(1+C) она сокращается и ответ равен 15 — В разности постоянная C сокращается: (16 + C) − (1 + C) = 15

{"questions":[{"content":"Найдите ошибку. Решавр записал $\\int_0^3 2x\\,dx=9+C$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Постоянную $C$ надо заменить числом $3$","Надо подставить только верхний предел","Определенный интеграл — число: постоянная $C$ сокращается при вычитании","Первообразная найдена неверно"],"explanations":["Нет: $C$ сокращается, ее значение ни на что не влияет","Нужны оба предела: $F(3)-F(0)$","","Первообразная верна: ее производная равна $2x$"],"answer":[2]}},"hints":["Первообразная $x^2$; $(3^2+C)-(0^2+C)=9$.","Определенный интеграл — число: постоянная $C$ сокращается."],"step":1}],"mix":1}

Пример 2. Тот же интеграл в одну строку

Условие. Вычислите $\int_0^1x^2\,dx$ по формуле Ньютона—Лейбница.

Решение. Первообразная $F(x)=\frac{x^3}{3}$. $F(1)-F(0)=\frac13-0=\frac13$. Как в примере 1, но короче.

Ответ: $\frac13$.

Пример 3. Интеграл от синуса

Условие. Вычислите $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$.

Решение. Первообразная $F(x)=-\cos x$. $F(\pi)-F(0)=-\cos\pi-(-\cos 0)=1+1=2$.

Смысл. Синус на $[0;\pi]$ неотрицателен и не больше 1, ширина отрезка $\pi\approx 3{,}14$: интеграл положителен и меньше $3{,}14$. Число 2 правдоподобно.

Ответ: $2$.

Интересный факт

Скрыть

Знак $\int$ придумал Лейбниц в 1675 году. Это вытянутая буква S от латинского summa, «сумма»: интеграл — сумма площадей полосок, а $dx$ — их ширина. Ньютон и Лейбниц пришли к связи интеграла с первообразной независимо, поэтому формула носит оба имени.

{"questions":[{"content":"Функция $F$ — первообразная функции $f$. Известно, что $F(1)=3$ и $F(4)=10$. Найдите $\\int_{1}^{4}f(x)\\,dx$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["По формуле Ньютона—Лейбница $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$.","$10-(3)=7$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Вычислите $\\int_{1}^{3}(3x^2)\\,dx$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Первообразная $F(x)=x^3$.","По формуле Ньютона—Лейбница $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$: $F(3)=27$, $F(1)=1$.","Ответ: $27-(1)=26$."],"step":1}],"mix":1}

Из позднего показания вычитают раннее

В формуле важен порядок: сначала значение первообразной в верхнем пределе $b$, из него вычитаем значение в нижнем пределе $a$. Путь — показание в конце поездки минус показание в начале.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $\int_1^2 3t^2\,dt=F(1)-F(2)=1-8=-7$.

Проверка на числах. На $[1;2]$ скорость положительна: у всех полосок положительная площадь, и в таблице суммы близки к 7. Сумма положительных чисел не может оказаться отрицательной.

Где сломалось. Из раннего показания одометра вычли позднее. Верно: $F(2)-F(1)=8-1=7$.

Одометр показывает 1 м при t=1 и 8 м при t=2: путь 8−1=7 м верен, 1−8=−7 м невозможен — Путь — позднее показание минус раннее: 8 − 1 = 7, а не 1 − 8

Обратите внимание

Если $F(a)$ отрицательно, берите его в скобки: при $F(a)=-3$ получится $F(b)-(-3)=F(b)+3$.

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\int_{1}^{3}2x\\,dx$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["8","10","9","-8"],"explanations":["","Значения сложены, а не вычтены","Забыто вычесть значение при нижнем пределе","Значения подставлены в обратном порядке: $F(a)-F(b)$"],"answer":[0]}},"hints":["$F(x)=x^2$.","$F(3)-F(1)=9-1=8$."],"step":1},{"content":"Решавр получил для $\\int_{2}^{4}3x\\,dx$ значение $-18$: $F(2)-F(4)=6-24=-18$. Что он сделал не так?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Значения первообразной подставлены в обратном порядке","Значения первообразной надо было сложить","Первообразная найдена неверно","Потерян постоянный множитель при первообразной"],"explanations":["","Нет: по формуле значения вычитают, $F(b)-F(a)$; сумма — не результат этой формулы","Первообразная верна: ее производная равна $3x$","Множитель учтен: $F(x)=\\frac{3}{2}x^2$, и $F'(x)=3x$"],"answer":[0]}},"hints":["Верная формула — $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$.","$F(4)-F(2)=24-6=18$."],"step":1}],"mix":1}

Поездку можно делить на части

Свойства интеграла — это свойства пути. Если поездка от момента $a$ до момента $c$ состоит из двух частей, от $a$ до $b$ и от $b$ до $c$, то весь путь — сумма путей по частям. Если скорость в $k$ раз больше, то и путь в $k$ раз больше.

Пусть $\int_0^2 f(x)\,dx=4$. Найдем $\int_0^2\bigl(3f(x)+2\bigr)\,dx$. Полоски под $f$ стали втрое выше, поэтому предел вырастает втрое: $3\cdot 4=12$. К высоте каждой полоски прибавили 2: добавился прямоугольник высотой 2 и шириной $2-0=2$ площадью $2\cdot 2=4$ (а не просто число 2). Итого $12+4=16$.

Свойства определенного интеграла

1) Отрезок можно разбить на части (аддитивность):

2) Постоянный множитель выносится, интеграл суммы равен сумме интегралов:

3) Для $a<b$ по соглашению считаем $\int_b^af\,dx=-\int_a^bf\,dx$ (определение для обратных пределов), а при равных пределах интеграл равен нулю:

$$\int_a^cf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx$$ $$\int_a^b\bigl(kf(x)+g(x)\bigr)\,dx=k\int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx$$ $$\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx,\qquad\int_a^af(x)\,dx=0$$

Почему верно. Из формулы Ньютона—Лейбница. Первое: $\bigl(F(b)-F(a)\bigr)+\bigl(F(c)-F(b)\bigr)=F(c)-F(a)$. Второе: $kF+G$ — первообразная для $kf+g$. Третье — соглашение; формула $F(b)-F(a)$ ему не противоречит: $F(a)-F(b)=-\bigl(F(b)-F(a)\bigr)$.

Площадь под кривой на отрезке от a до c равна сумме площадей на отрезках от a до b и от b до c — Площадь на [a; c] складывается из площадей на [a; b] и [b; c]

Пример 4. Интеграл по части отрезка

Условие. Известно: $\int_0^3f(x)\,dx=4$ и $\int_0^1f(x)\,dx=1$. Найдите $\int_1^3f(x)\,dx$ и $\int_3^1f(x)\,dx$.

Решение. По свойству 1: $\int_0^3f\,dx=\int_0^1f\,dx+\int_1^3f\,dx$, откуда $\int_1^3f\,dx=4-1=3$. По свойству 3: $\int_3^1f\,dx=-3$.

Ответ: $3$ и $-3$.

{"questions":[{"content":"Интеграл функции $f$ по отрезку от $2$ до $5$ равен $6$. Чему равен интеграл той же функции в обратном направлении, от $5$ до $2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["При перестановке пределов получается $F(a)-F(b)=-\\bigl(F(b)-F(a)\\bigr)$.","$\\int_5^2f(x)\\,dx=-\\int_2^5f(x)\\,dx=-6$."],"step":1},{"content":"Известно, что $\\int_{1}^{7}f(x)\\,dx=10$ и $\\int_{4}^{7}f(x)\\,dx=3$. Найдите $\\int_{1}^{4}f(x)\\,dx$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Свойство аддитивности: $\\int_1^7=\\int_1^4+\\int_4^7$.","$\\int_1^4=\\int_1^7-\\int_4^7=10-(3)$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Известно, что $\\int_{1}^{3}f(x)\\,dx=5$. Найдите $\\int_{1}^{3}(2f(x)+3)\\,dx$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Интеграл суммы равен сумме интегралов, множитель выносится: $2\\cdot5+\\int_{1}^{3}(3)\\,dx$.","$\\int_{1}^{3}3\\,dx=3\\cdot(3-1)=6$.","Ответ: $10+6=16$."],"step":1}],"mix":1}

Когда график ниже оси, полоски вычитаются

Если $f(x)<0$, высота полоски $f(x_i)$ отрицательна, и ее «площадь» $f(x_i)\,\Delta x$ тоже. Такие полоски уменьшают сумму. На языке движения отрицательная скорость означает езду назад. Здесь сравнение с одометром перестает работать: одометр прибавляет метры и при езде назад, а интеграл скорости их вычитает. Интеграл скорости — это изменение координаты автомобиля на дороге (перемещение), а не пройденный путь.

Пример 5. Интеграл от отрицательной функции

Условие. Вычислите $\int_0^3(x^2-3x)\,dx$.

Решение. Первообразная $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}$. $F(3)=9-13{,}5=-4{,}5$, $F(0)=0$, поэтому интеграл равен $-4{,}5$.

Проверка смысла. $x^2-3x=x(x-3)$ равно нулю в точках $0$ и $3$ и отрицательно на $(0;3)$. Знак минус в ответе — не ошибка.

Ответ: $-4{,}5$.

Вклады разных знаков складываются: $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=-\cos 2\pi+\cos 0=-1+1=0$: часть над осью дает $+2$ (как в примере 3), часть под осью дает $-2$.

График синуса от 0 до 2π: площадь над осью +2, под осью −2, интеграл равен нулю — Над осью вклад +2, под осью −2: интеграл равен 0, хотя фигура не пустая

Важно

При $a<b$ интеграл равен площади под графиком, только если $f(x)\ge 0$ на всем отрезке. Как найти площадь фигуры, часть которой лежит под осью, разберем в уроке «Площадь криволинейной трапеции».

{"questions":[{"content":"Вычислите $\\int_0^{3}(x^2-9)\\,dx$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-18"}},"hints":["Первообразная $F(x)=\\frac{x^3}3-9x$.","$F(3)-F(0)=-18$.","На $[0;3)$ функция отрицательна (в точке $x=3$ она равна нулю), вклады неположительны, поэтому интеграл отрицателен: $-18$."],"step":1},{"content":"Функция $y=x$ принимает на отрезке $[-2;2]$ значения разных знаков. Каково значение интеграла $\\int_{-2}^{2}x\\,dx$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$-4$","$4$","$0$"],"explanations":["Учтена только часть $[0;2]$, где $x>0$; часть $[-2;0]$ тоже входит в интеграл","Обе части взяты со знаком минус; на $[0;2]$ функция положительна, вклад $+2$","Сложили площади двух треугольников; но там, где $x<0$, полоски дают отрицательный вклад: $2+(-2)=0$",""],"answer":[3]}},"hints":["Первообразная $F(x)=\\frac{x^2}{2}$.","$F(2)-F(-2)=2-2=0$: часть над осью дает $+2$, часть под осью дает $-2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Формула Ньютона—Лейбница заменяет предел сумм полосок одной разностью значений первообразной. Она нужна в задании 8 ЕГЭ и в уроке «Площадь криволинейной трапеции».

Часто задаваемые вопросы

Зачем в записи интеграла $dx$?

Он напоминает о ширине полоски $\Delta x$ и показывает, по какой переменной строят полоски. В $\int_1^2 tx\,dx$ переменная — $x$, а $t$ постоянна.

Чем определенный интеграл отличается от неопределенного?

Неопределенный — множество первообразных $F(x)+C$, то есть функции. Определенный — число, предел сумм полосок. Связывает их формула Ньютона—Лейбница.

Может ли нижний предел быть больше верхнего?

Да. По соглашению $\int_b^af(x)\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$, поэтому, например, $\int_2^1 3t^2\,dt=1-8=-7$.

Любой ли интеграл можно найти по формуле Ньютона—Лейбница?

Для непрерывной функции формула верна. Но первообразную не всегда удается выразить через изученные элементарные функции, например для $e^{-x^2}$. Тогда ответ ищут суммами полосок.

Награды за урок