Тест: 5.3

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Вычислите $\\int_{1}^{2}(6x^2+1)\\,dx$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Первообразная $F(x)=2x^3+x$.","По формуле Ньютона—Лейбница $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$: $F(2)=18$, $F(1)=3$.","Ответ: $18-(3)=15$."],"step":1},{"id":"1","content":"Вычислите $\\int_{0}^{2}(4x^3+2x)\\,dx$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Первообразная $F(x)=x^4+x^2$.","По формуле Ньютона—Лейбница $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$: $F(2)=20$, $F(0)=0$.","Ответ: $20-(0)=20$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите ошибку. Решавр записал $\\int_{2}^{5}2x\\,dx=21+C$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Первообразная найдена неверно","Постоянную $C$ надо заменить числом $5$","Надо подставить только верхний предел","Определенный интеграл — число: постоянная $C$ сокращается при вычитании"],"explanations":["Первообразная верна: ее производная равна $2x$","Нет: $C$ сокращается, ее значение ни на что не влияет","Нужны оба предела: $F(5)-F(2)$",""],"answer":[3]}},"hints":["Первообразная $F(x)=x^2$; при подстановке пределов постоянная $C$ в верхнем и нижнем значениях одна и та же: $(F(5)+C)-(F(2)+C)=21$.","Определенный интеграл — число, поэтому в ответе нет $+C$: ответ $21$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите ошибку. Решавр записал $\\int_{1}^{3}4x\\,dx=16+C$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Первообразная найдена неверно","Надо подставить только верхний предел","Определенный интеграл — число: постоянная $C$ сокращается при вычитании","Постоянную $C$ надо заменить числом $3$"],"explanations":["Первообразная верна: ее производная равна $4x$","Нужны оба предела: $F(3)-F(1)$","","Нет: $C$ сокращается, ее значение ни на что не влияет"],"answer":[2]}},"hints":["Первообразная $F(x)=2x^2$; при подстановке пределов постоянная $C$ в верхнем и нижнем значениях одна и та же: $(F(3)+C)-(F(1)+C)=16$.","Определенный интеграл — число, поэтому в ответе нет $+C$: ответ $16$."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезок $[1;3]$ разбит на 4 равные части. Над каждой частью построена полоска-прямоугольник, высота которой — значение $f(x)=x^2$ в правом конце части. Найдите сумму площадей полосок. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["10,75","10.75","43/4"]}},"hints":["Ширина полоски $\\Delta x=\\frac{3-1}{4}=0{,}5$; правые концы частей: $1{,}5$; $2$; $2{,}5$; $3$.","Высоты: $f(1{,}5)=2{,}25$, $f(2)=4$, $f(2{,}5)=6{,}25$, $f(3)=9$; их сумма $21{,}5$.","Сумма площадей $21{,}5\\cdot 0{,}5=10{,}75$."],"step":1},{"id":"3","content":"Отрезок $[0;3]$ разбит на 6 равных частей. Над каждой частью построена полоска-прямоугольник, высота которой — значение $f(x)=2x+1$ в левом конце части. Найдите сумму площадей полосок. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["10,5","10.5","21/2"]}},"hints":["Ширина полоски $\\Delta x=\\frac{3-0}{6}=0{,}5$; левые концы частей: $0$; $0{,}5$; $1$; $1{,}5$; $2$; $2{,}5$.","Высоты: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$; их сумма $21$.","Сумма площадей $21\\cdot 0{,}5=10{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\int_{4}^{1}(2f(x)+1)\\,dx$, если $\\int_{0}^{4}f(x)\\,dx=7$ и $\\int_{0}^{1}f(x)\\,dx=2$ (функция $f$ непрерывна). [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-13"}},"hints":["По аддитивности $\\int_{1}^{4}f\\,dx=\\int_0^{4}f\\,dx-\\int_0^{1}f\\,dx=7-2=5$.","По линейности $\\int_{1}^{4}(2f+1)\\,dx=2\\cdot5+1\\cdot(4-1)=13$.","Пределы переставлены ($1$ вверху, $4$ внизу), поэтому знак меняется, и ответ равен $-13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\int_{5}^{2}(2f(x)+1)\\,dx$, если $\\int_{0}^{5}f(x)\\,dx=9$ и $\\int_{0}^{2}f(x)\\,dx=3$ (функция $f$ непрерывна). [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-15"}},"hints":["По аддитивности $\\int_{2}^{5}f\\,dx=\\int_0^{5}f\\,dx-\\int_0^{2}f\\,dx=9-3=6$.","По линейности $\\int_{2}^{5}(2f+1)\\,dx=2\\cdot6+1\\cdot(5-2)=15$.","Пределы переставлены ($2$ вверху, $5$ внизу), поэтому знак меняется, и ответ равен $-15$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Вычислите $\\int_{0}^{1}(3x+1)^{2}\\,dx$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Линейная замена: $F(x)=\\dfrac{(3x+1)^{3}}{9}$.","$F(1)-F(0)=\\frac{64}{9}-\\frac{1}{9}$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"id":"5","content":"Вычислите $\\int_{0}^{1}(3x+2)^{2}\\,dx$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Линейная замена: $F(x)=\\dfrac{(3x+2)^{3}}{9}$.","$F(1)-F(0)=\\frac{125}{9}-\\frac{8}{9}$.","Ответ: $13$."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте интеграл и его знак.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\int_0^2x^2\\,dx$","$\\int_{-3}^{0}x\\,dx$","$\\int_{-1}^{1}x^3\\,dx$"],"items":["положительный","отрицательный","равен нулю","не определен"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["При $a<b$ знак определяется тем, где график лежит относительно оси $Ox$: над осью вклад положителен, под осью отрицателен. Если вклады разных знаков, нужно сравнить их величины.","В третьем выражении вклады разных знаков равны по величине: $\\frac{x^4}4\\Big|_{-1}^{1}=\\frac14-\\frac14=0$ (слева $-\\frac14$, справа $+\\frac14$). Ответ: $\\int_0^2x^2\\,dx\\to$ положительный; $\\int_{-3}^{0}x\\,dx\\to$ отрицательный; $\\int_{-1}^{1}x^3\\,dx\\to$ равен нулю."],"step":1},{"id":"6","content":"Сопоставьте интеграл и его знак.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\int_1^3(x+1)\\,dx$","$\\int_{-2}^{-1}x^3\\,dx$","$\\int_{-3}^{3}x\\,dx$"],"items":["положительный","отрицательный","равен нулю","не определен"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["При $a<b$ знак определяется тем, где график лежит относительно оси $Ox$: над осью вклад положителен, под осью отрицателен. Если вклады разных знаков, нужно сравнить их величины.","В третьем выражении вклады разных знаков равны по величине: $\\frac{x^2}2\\Big|_{-3}^{3}=\\frac92-\\frac92=0$ (слева $-\\frac92$, справа $+\\frac92$). Ответ: $\\int_1^3(x+1)\\,dx\\to$ положительный; $\\int_{-2}^{-1}x^3\\,dx\\to$ отрицательный; $\\int_{-3}^{3}x\\,dx\\to$ равен нулю."],"step":1},{"id":"7","content":"Первообразная функции $f(x)=3x^2$ равна $F(x)=x^3$. Заполните пропуск: $\\int_{1}^{3}3x^2\\,dx=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$28$","$24$","$-26$","$26$"],"answer":3}},"hints":["По формуле Ньютона — Лейбница $\\int_a^bf(x)\\,dx=F(b)-F(a)$: верхний предел минус нижний.","$F(3)-F(1)=27-1=26$.","Значения подставляют в $F$, а не в $f$: разность значений самой функции, $f(3)-f(1)=27-3=24$, — неверный ответ."],"step":1},{"id":"7","content":"Первообразная функции $f(x)=6x^2$ равна $F(x)=2x^3$. Заполните пропуск: $\\int_{2}^{4}6x^2\\,dx=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$112$","$-112$","$72$","$144$"],"answer":0}},"hints":["По формуле Ньютона — Лейбница $\\int_a^bf(x)\\,dx=F(b)-F(a)$: верхний предел минус нижний.","$F(4)-F(2)=128-16=112$.","Значения подставляют в $F$, а не в $f$: разность значений самой функции, $f(4)-f(2)=96-24=72$, — неверный ответ."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите ошибку. Решавр вычислил $\\int_{1}^{3}4x\\,dx=F(1)-F(3)=2-18=-16$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Потерян постоянный множитель при первообразной","Первообразная найдена неверно","Значения первообразной надо было сложить","Значения первообразной подставлены в обратном порядке"],"explanations":["Множитель учтен: $F(x)=2x^2$, и $F'(x)=4x$","Первообразная верна: ее производная равна $4x$","Нет: по формуле значения вычитают, $F(b)-F(a)$; сумма — не результат этой формулы",""],"answer":[3]}},"hints":["Верная формула — $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$.","$F(3)-F(1)=18-2=16$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите ошибку. Решавр вычислил $\\int_{1}^{2}6x\\,dx=F(1)-F(2)=3-12=-9$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Значения первообразной надо было сложить","Потерян постоянный множитель при первообразной","Первообразная найдена неверно","Значения первообразной подставлены в обратном порядке"],"explanations":["Нет: по формуле значения вычитают, $F(b)-F(a)$; сумма — не результат этой формулы","Множитель учтен: $F(x)=3x^2$, и $F'(x)=6x$","Первообразная верна: ее производная равна $6x$",""],"answer":[3]}},"hints":["Верная формула — $\\int_a^bf\\,dx=F(b)-F(a)$.","$F(2)-F(1)=12-3=9$."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите положительное число $a$, при котором $\\int_0^a(2x+1)\\,dx=6$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$\\int_0^a(2x+1)\\,dx=\\bigl(x^2+x\\bigr)\\Big|_0^a=a^2+a$.","$a^2+a=6$, корни $a=2$ и $a=-3$.","Число $a$ положительное, поэтому $a=2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите положительное число $a$, при котором $\\int_0^a(2x+1)\\,dx=12$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$\\int_0^a(2x+1)\\,dx=\\bigl(x^2+x\\bigr)\\Big|_0^a=a^2+a$.","$a^2+a=12$, корни $a=3$ и $a=-4$.","Число $a$ положительное, поэтому $a=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр рассуждает: «График $y=x$ пересекает ось $Ox$ в точке $0$, внутри отрезка $[-1;2]$ есть части над осью и под осью, значит, $\\int_{-1}^{2}x\\,dx=0$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Функция $y=x$ не пересекает ось $Ox$","Интеграл по отрезку, содержащему точку $0$, не существует","Вклады разных знаков не равны по величине, поэтому не уравновешивают друг друга","Вклады надо складывать как площади, без знаков"],"explanations":["Пересекает: график $y=x$ проходит через точку $0$","Функция непрерывна, интеграл существует: он равен $\\frac{3}{2}$","","Вклад ниже оси входит со знаком минус; без знаков получилось бы $\\frac{5}{2}$, а это не значение интеграла"],"answer":[2]}},"hints":["Пересечение оси само по себе не дает нуль: вклады складываются со знаками.","Левая часть $[-1;0]$ дает $-\\frac{1}{2}$, правая часть $[0;2]$ дает $2$; вклады разных знаков, но разные по величине.","Вместе $-\\frac{1}{2}+2=\\frac{3}{2}$, не нуль."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр рассуждает: «График $y=x$ пересекает ось $Ox$ в точке $0$, внутри отрезка $[-2;3]$ есть части над осью и под осью, значит, $\\int_{-2}^{3}x\\,dx=0$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Интеграл по отрезку, содержащему точку $0$, не существует","Вклады надо складывать как площади, без знаков","Вклады разных знаков не равны по величине, поэтому не уравновешивают друг друга","Функция $y=x$ не пересекает ось $Ox$"],"explanations":["Функция непрерывна, интеграл существует: он равен $\\frac{5}{2}$","Вклад ниже оси входит со знаком минус; без знаков получилось бы $\\frac{13}{2}$, а это не значение интеграла","","Пересекает: график $y=x$ проходит через точку $0$"],"answer":[2]}},"hints":["Пересечение оси само по себе не дает нуль: вклады складываются со знаками.","Левая часть $[-2;0]$ дает $-2$, правая часть $[0;3]$ дает $\\frac{9}{2}$; вклады разных знаков, но разные по величине.","Вместе $-2+\\frac{9}{2}=\\frac{5}{2}$, не нуль."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>