Предел и непрерывность функции

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая функция непрерывна в точке $x = 2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = \\dfrac{1}{x-2}$","$y = \\dfrac{x}{x-2}$","$y = \\dfrac{x+1}{x-2}$","$y = \\dfrac{x}{x^2+1}$"],"explanations":["В точке $2$ знаменатель равен нулю, значения нет","Числитель не равен нулю при $x=2$ (при $x \\ne 0$), а знаменатель равен нулю: дробь не определена","Знаменатель обращается в нуль именно в этой точке: ошибка в том, что смотрят только на числитель",""],"answer":[3]}},"hints":["Непрерывность нарушается, когда в точке знаменатель равен нулю.","У $\\dfrac{x}{x^2+1}$ знаменатель $x^2+1 \\ge 1$.","Значит, график идет без разрывов."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая функция непрерывна в точке $x = -1$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$y = \\dfrac{1}{x+1}$","$y = \\dfrac{x}{x^2+1}$","$y = \\dfrac{x+1}{x+1}$","$y = \\dfrac{x}{x+1}$"],"explanations":["В точке $-1$ знаменатель равен нулю, значения нет","","Знаменатель обращается в нуль именно в этой точке: ошибка в том, что смотрят только на числитель","Числитель не равен нулю при $x=-1$ (при $x \\ne 0$), а знаменатель равен нулю: дробь не определена"],"answer":[1]}},"hints":["Непрерывность нарушается, когда в точке знаменатель равен нулю.","У $\\dfrac{x}{x^2+1}$ знаменатель $x^2+1 \\ge 1$.","Значит, график идет без разрывов."],"step":1},{"id":"2","content":"Чему равен $\\lim\\limits_{x\\to 3}(x^2-1)$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$5$","Не существует","$9$","$8$"],"explanations":["Вместо $3^2$ взяли $2\\cdot3$: возвести в квадрат — не удвоить","У многочлена предел есть и равен значению в точке","Забыли свободный член выражения",""],"answer":[3]}},"hints":["Многочлен непрерывен, предел находят подстановкой.","$3^2 = 9$, затем действие со свободным членом.","Ответ: $8$."],"step":1},{"id":"2","content":"Чему равен $\\lim\\limits_{x\\to 4}(x^2+2)$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$16$","$18$","Не существует","$10$"],"explanations":["Забыли свободный член выражения","","У многочлена предел есть и равен значению в точке","Вместо $4^2$ взяли $2\\cdot4$: возвести в квадрат — не удвоить"],"answer":[1]}},"hints":["Многочлен непрерывен, предел находят подстановкой.","$4^2 = 16$, затем действие со свободным членом.","Ответ: $18$."],"step":1},{"id":"3","content":"В какой точке у функции $y = \\dfrac{x}{x-7}$ разрыв?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$x = 0$","$x = -7$","$x = 7$","Разрыва нет"],"explanations":["Это нуль числителя или значение, не связанное со знаменателем: в этой точке значение есть","Знак корня знаменателя перепутан: проверьте подстановкой, обращается ли знаменатель в нуль","","Знаменатель обращается в нуль, значения в этой точке нет"],"answer":[2]}},"hints":["Разрыв там, где знаменатель равен нулю.","$x-7 = 0$ при $x = 7$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"id":"3","content":"В какой точке у функции $y = \\dfrac{3}{x+2}$ разрыв?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$x = 3$","$x = 2$","Разрыва нет","$x = -2$"],"explanations":["Это число из числителя, а разрыв определяется знаменателем","Знак корня знаменателя перепутан","Знаменатель обращается в нуль, значения в этой точке нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Разрыв там, где знаменатель равен нулю.","$x + 2 = 0$ при $x = -2$.","Ответ: $-2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\lim\\limits_{x\\to 2}(3x+4)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Подставьте $x = 2$.","$3 \\cdot 2 + 4 = 10$.","Ответ: $10$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите $\\lim\\limits_{x\\to 3}(5x-2)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Подставьте $x = 3$.","$5 \\cdot 3-2 = 13$.","Ответ: $13$."],"step":1},{"id":"5","content":"Функция: $f(x) = 2 x + 1$ при $x < 1$ и $f(x) = x^{2} + 3$ при $x \\ge 1$. Предел слева в точке $1$ равен $3$, справа $4$. Значит, в точке $1$ функция [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["не определена в точке $1$","не непрерывна: пределы слева ($3$) и справа ($4$) различны","непрерывна: значение $f(1) = 4$ существует","непрерывна: оба предела конечные числа"],"answer":1}},"hints":["Функция непрерывна в точке, если пределы слева и справа равны друг другу и значению.","Здесь $3 \\ne 4$.","Ответ: не непрерывна, график имеет скачок."],"step":1},{"id":"5","content":"Функция: $f(x) = 3 x-1$ при $x < 2$ и $f(x) = x^{2} + 4$ при $x \\ge 2$. Предел слева в точке $2$ равен $5$, справа $8$. Значит, в точке $2$ функция [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["непрерывна: значение $f(2) = 8$ существует","непрерывна: оба предела конечные числа","не определена в точке $2$","не непрерывна: пределы слева ($5$) и справа ($8$) различны"],"answer":3}},"hints":["Функция непрерывна в точке, если пределы слева и справа равны друг другу и значению.","Здесь $5 \\ne 8$.","Ответ: не непрерывна, график имеет скачок."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр: «При $x = 4$ дробь $\\dfrac{x^2-16}{x-4}$ дает $0:0$, значит, предел при $x \\to 4$ не существует». Как найти предел правильно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Предел равен $1$, потому что $0:0=1$","Сократить дробь на $x-4$: предел равен $8$","Ошибки нет: при нуле в знаменателе предела не бывает","Предел равен $0$, так как числитель равен нулю"],"explanations":["Запись $0:0$ не имеет значения: выражение нужно упростить, а не приравнивать к числу","","Нуль в знаменателе запрещает значение в точке, но не мешает пределу","Числитель и знаменатель стремятся к нулю одновременно, их отношение не обязано быть нулем"],"answer":[1]}},"hints":["Предел смотрит на значения рядом с $4$, а не в самой точке: при $x \\ne 4$ дробь можно сократить.","$x^2-16 = (x-4)(x+4)$, дробь равна $x+4$.","При $x \\to 4$ получаем $8$. Ответ: $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр: «При $x = 5$ дробь $\\dfrac{x^2-25}{x-5}$ дает $0:0$, значит, предел при $x \\to 5$ не существует». Как найти предел правильно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Предел равен $1$, потому что $0:0=1$","Сократить дробь на $x-5$: предел равен $10$","Предел равен $0$, так как числитель равен нулю","Ошибки нет: при нуле в знаменателе предела не бывает"],"explanations":["Запись $0:0$ не имеет значения: выражение нужно упростить, а не приравнивать к числу","","Числитель и знаменатель стремятся к нулю одновременно, их отношение не обязано быть нулем","Нуль в знаменателе запрещает значение в точке, но не мешает пределу"],"answer":[1]}},"hints":["Предел смотрит на значения рядом с $5$, а не в самой точке: при $x \\ne 5$ дробь можно сократить.","$x^2-25 = (x-5)(x+5)$, дробь равна $x+5$.","При $x \\to 5$ получаем $10$. Ответ: $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Функция: $f(x) = 2 x$ при $x \\ne 3$ и $f(3) = 1$. Вообразавр: «Значение $f(3) = 1$ существует, значит, $f$ непрерывна в точке $3$». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: если значение есть, функция непрерывна","Предел равен $1$, поэтому условие выполнено","Предел при $x \\to 3$ равен $6$, а значение равно $1$: это разные числа, функция не непрерывна","Функция не определена в точке $3$"],"explanations":["Наличие значения — только одно из условий; нужно еще равенство предела и значения","Предел находят по формуле при $x \\ne 3$ и он равен $6$, а $1$ — отдельное значение","","Она определена: $f(3) = 1$, ошибка в другом"],"answer":[2]}},"hints":["Непрерывность — это равенство предела и значения, а не просто наличие значения.","Предел при $x \\to 3$ равен $6$.","Но $f(3) = 1$, числа различны. Ответ: не непрерывна, так как $6 \\ne 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Функция: $f(x) = 3 x$ при $x \\ne 1$ и $f(1) = 5$. Вообразавр: «Значение $f(1) = 5$ существует, значит, $f$ непрерывна в точке $1$». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Предел равен $5$, поэтому условие выполнено","Ошибки нет: если значение есть, функция непрерывна","Предел при $x \\to 1$ равен $3$, а значение равно $5$: это разные числа, функция не непрерывна","Функция не определена в точке $1$"],"explanations":["Предел находят по формуле при $x \\ne 1$ и он равен $3$, а $5$ — отдельное значение","Наличие значения — только одно из условий; нужно еще равенство предела и значения","","Она определена: $f(1) = 5$, ошибка в другом"],"answer":[2]}},"hints":["Непрерывность — это равенство предела и значения, а не просто наличие значения.","Предел при $x \\to 1$ равен $3$.","Но $f(1) = 5$, числа различны. Ответ: не непрерывна, так как $3 \\ne 5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Соотнесите функцию и вид разрыва в указанной точке. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{x^2-25}{x-5}$ в точке $5$","$\\dfrac{3}{x+1}$ в точке $-1$","$2x$ при $x<1$ и $2x+4$ при $x \\ge 1$ в точке $1$"],"items":["Выколотая точка: предел есть, значения нет","Уход в бесконечность: модуль значений неограниченно растет при приближении к точке","Скачок: пределы слева и справа различны","Разрыва нет"]}},"hints":["Выколотая точка: дробь сокращается, предел есть, значения нет.","Уход в бесконечность: нуль в знаменателе не сокращается.","Скачок: пределы слева и справа различны.","Вариант «непрерывна» лишний."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Соотнесите функцию и вид разрыва в указанной точке. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{x^2-x-6}{x-3}$ в точке $3$","$\\dfrac{1}{x^2}$ в точке $0$","$x+1$ при $x<4$ и $x-2$ при $x \\ge 4$ в точке $4$"],"items":["Выколотая точка: предел есть, значения нет","Уход в бесконечность: модуль значений неограниченно растет при приближении к точке","Скачок: пределы слева и справа различны","Разрыва нет"]}},"hints":["Выколотая точка: дробь сокращается, предел есть, значения нет.","Уход в бесконечность: нуль в знаменателе не сокращается.","Скачок: пределы слева и справа различны.","Вариант «непрерывна» лишний."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>