Иррациональные уравнения и неравенства в заданиях ЕГЭ

Содержание

В 10 классе в уроке об иррациональных уравнениях и уроке об иррациональных неравенствах вы научились решать задачи с корнем по одному приему за раз. В заданиях 13 и 15 профильного ЕГЭ приемы встречаются вместе: корень стоит множителем, прячется за заменой, а в пункте б нужно еще отобрать корни на отрезке. Тогда проверка корня была «таможней»; теперь проверок несколько, и в этом уроке мы соберем их в одну схему — сито допустимых. Как и в уравнениях с модулем, главная опасность не в вычислениях, а в лишнем или потерянном корне.

Корень нашелся, а он не подходит

Решим уравнение $\sqrt{x+5}=x-1$ так, как его решают по привычке. Возведем обе части в квадрат: $x+5=x^2-2x+1$, откуда $x^2-3x-4=0$. Корни квадратного уравнения: $x=4$ и $x=-1$.

Подставим оба числа в исходное уравнение. При $x=4$: $\sqrt9=3$ и $4-1=3$ — верно. При $x=-1$: $\sqrt4=2$, а $-1-1=-2$. Получилось $2=-2$ — неверно. Число $-1$ решает квадратное уравнение, но не решает исходное.

Уравнение корень из x+5 равен x-1: корень x=4 лежит в полосе x-1>=0, корень x=-1 вне ее — Правая часть равна корню, поэтому она неотрицательна: кандидат x = 4 лежит в полосе x − 1 ≥ 0, кандидат x = −1 — вне ее

Почему так вышло? Квадрат стирает знак: из $2=-2$ получается верное $4=4$. Поэтому после возведения в квадрат мы получаем не ответ, а список кандидатов. Каждый кандидат нужно пропустить через сито — набор условий, которые выполняются у настоящего корня. Для уравнения $\sqrt{f}=g$ таких условий два: подкоренное выражение определено, а правая часть неотрицательна, ведь она равна арифметическому корню.

Правило

Сито допустимых. Уравнение $\sqrt{f}=g$ равносильно системе

Условие $f\ge0$ отдельно писать не нужно: оно следует из $f=g^2$. Кандидаты, у которых $g<0$, отсеиваются.

$$\begin{cases} g\ge0,\\ f=g^2.\end{cases}$$

Ошибка

Как ошибаются. Вообразавр возводит $\sqrt{x+5}=x-1$ в квадрат и записывает ответ $-1;\ 4$.

Проверка на числах. При $x=-1$ левая часть равна $2$, правая равна $-2$: равенства нет.

Где сломалось рассуждение. Из $a=b$ следует $a^2=b^2$, но из $a^2=b^2$ следует только $a=b$ или $a=-b$. Квадратное уравнение — следствие исходного, оно содержит и корни уравнения $\sqrt{x+5}=-(x-1)$. Условие $x-1\ge0$ отсекает именно их.

{"questions":[{"content":"Значение выражения $\\sqrt{f}$ всегда [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["любого знака","положительно","неположительно","неотрицательно"],"answer":3}},"hints":["Арифметический квадратный корень определен как неотрицательное число.","Значит, он неотрицателен."],"step":1},{"content":"Какая система равносильна уравнению $\\sqrt{f}=g$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$f=g^2$ без условий","$g\\ge0,\\ f=g^2$","$g>0,\\ f=g^2$","$f\\ge0,\\ f=g^2$"],"explanations":["Условие $g\\ge0$ потеряно: возможен посторонний корень","","Потерян случай $g=0$: у $\\sqrt{x}=x$ пропадет корень $0$","Условие $f\\ge0$ и так следует из $f=g^2$, а знак $g$ не проверен: посторонний корень вроде $x=-1$ в $\\sqrt{x+5}=x-1$ пройдет"],"answer":[1]}},"hints":["Левая часть неотрицательна, значит $g\\ge0$.","При $g\\ge0$ обе части можно возвести в квадрат: $f=g^2$."],"step":1},{"content":"Сколько корней у уравнения $\\sqrt{x+4}=-3$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Бесконечно много","Ни одного","Два: $x=5$ и $x=-5$","Один: $x=5$"],"explanations":["Равенство не тождество","","Квадрат дает $x+4=9$, а не $x^2=9$","Значение $x=5$ получено после возведения в квадрат и не проходит проверку"],"answer":[1]}},"hints":["Левая часть неотрицательна, правая отрицательна — равенство невозможно.","Если возвести в квадрат, получим $x=5$, но $\\sqrt9=3\\ne-3$. Корней нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Корень множителем: сначала ОДЗ, потом нули

В задании 13 корень часто стоит множителем: произведение равно нулю. Привычное правило «произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю» здесь работает не до конца. Оно верно, только если при этом остальные множители определены.

Пример 1

Решите уравнение $(x^2-2x-8)\sqrt{x-3}=0$.

Решение. ОДЗ: $x-3\ge0$, то есть $x\ge3$.

Первый множитель: $x^2-2x-8=0$, $x=4$ или $x=-2$. Второй множитель: $\sqrt{x-3}=0$, $x=3$.

Сито: $x=-2$ не входит в ОДЗ — при нем под корнем $-5$, и левая часть не определена. Числа $3$ и $4$ проходят: при $x=3$ корень равен нулю, при $x=4$ первый множитель равен нулю, а $\sqrt1=1$ определен.

Ответ: $3;\ 4$.

Уравнение (x²-2x-8)·√(x-3)=0: корень -2 вне ОДЗ x>=3, корни 3 и 4 проходят — ОДЗ x ≥ 3 работает как сито: кандидаты 3 и 4 остаются, кандидат −2 отсеивается

Правило

Уравнение $h\cdot\sqrt{f}=0$ равносильно системе

Нули множителя $h$ проверяют по ОДЗ; нули самого корня ($f=0$) проверять не нужно, они всегда в ОДЗ.

$$\begin{cases} f\ge0,\\ h=0\ \text{или}\ f=0.\end{cases}$$

Ошибиться здесь можно и в другую сторону: потерять корень. Если сразу разделить обе части на $\sqrt{x-3}$, исчезнет число $3$ — при нем корень равен нулю, а делить на нуль нельзя. Поэтому корень-множитель не сокращают, а приравнивают к нулю отдельно. Сито просеивает только лишнее; потерянное оно вернуть не может.

{"questions":[{"content":"Для уравнения $(x^2-9)\\sqrt{x-1}=0$ распределите числа: входят они в ОДЗ или нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Входит в ОДЗ","Не входит в ОДЗ"],"items":[["$x=1$","$x=3$"],["$x=-3$","$x=0$"]]}},"instruction":"Распределите числа","hints":["ОДЗ: $x-1\\ge0$, то есть $x\\ge1$.","В ОДЗ входят $1$ и $3$; числа $-3$ и $0$ левее границы."],"step":1},{"content":"Вообразавр решил уравнение $(x^2-x-12)\\sqrt{x-2}=0$: «$x^2-x-12=0$ при $x=4$ и $x=-3$; $\\sqrt{x-2}=0$ при $x=2$. Ответ: $-3;\\ 2;\\ 4$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Число $4$ лишнее, ответ $-3;\\ 2$","Число $2$ лишнее, ответ $-3;\\ 4$","Ошибки нет, ответ $-3;\\ 2;\\ 4$","Число $-3$ не входит в ОДЗ, ответ $2;\\ 4$"],"explanations":["При $x=4$ первый множитель равен нулю, а $\\sqrt2$ определен","При $x=2$ корень равен нулю, произведение равно нулю","При $x=-3$ под корнем $-5$: левая часть не определена",""],"answer":[3]}},"hints":["ОДЗ: $x-2\\ge0$, то есть $x\\ge2$.","Число $-3$ не входит в ОДЗ: при нем $\\sqrt{-5}$ не определен. Ответ: $2;\\ 4$."],"step":1},{"content":"Найдите корень уравнения $(x-2)\\sqrt{x-5}=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["ОДЗ: $x\\ge5$. Произведение равно нулю, когда один из множителей нуль.","$x=2$ не входит в ОДЗ, $x=5$ входит. Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Замена: новая переменная проходит то же сито

Если в уравнении есть $x$ и $\sqrt{x}$, удобно ввести новую переменную $t=\sqrt{x}$. Тогда $x=t^2$, и уравнение становится квадратным относительно $t$. Но у новой переменной есть свое условие: арифметический корень не бывает отрицательным. Поэтому в сито добавляется фильтр $t\ge0$, и применять его нужно до возврата к $x$.

Пример 2

Решите уравнение $x-3\sqrt{x}-4=0$.

Решение. Пусть $t=\sqrt{x}$, $t\ge0$. Тогда $x=t^2$ и $t^2-3t-4=0$. Корни: $t=4$ и $t=-1$.

Сито: $t=-1<0$ отсеивается — не существует числа, арифметический корень которого равен $-1$. Остается $t=4$: $\sqrt{x}=4$, $x=16$.

Проверка: $16-3\cdot4-4=0$ — верно.

Ответ: $16$.

Таблица замены t = корень из x: корни t=4 и t=-1, подходит только t=4, тогда x=16 — Значение t проходит фильтр t ≥ 0 до возврата к x: t = 4 дает x = 16, t = −1 отсеивается

Обратите внимание

Если пропустить фильтр и сразу вычислить $x=t^2$, то из $t=-1$ получится $x=1$. Подстановка показывает, что это не корень: $1-3\cdot1-4=-6\ne0$. Квадрат снова стер знак, как в первом разделе. Если замена другая, например $t=\sqrt{x+1}$, фильтр тот же: $t\ge0$, а возврат к $x$ идет по формуле $x=t^2-1$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $x+\\sqrt{x}-6=0$. Найдите его корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть $t=\\sqrt{x}$, $t\\ge0$. Тогда $t^2+t-6=0$, $t=2$ или $t=-3$.","Значение $t=-3$ отсеивается: $t\\ge0$. Из $\\sqrt{x}=2$ получаем $x=4$. Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"После замены $t=\\sqrt{x}$ в уравнении $x-4\\sqrt{x}-5=0$ получились $t=5$ и $t=-1$. Значение $t=-1$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["дает корень $x=1$","отбрасывается: $t\\ge0$","дает корень $x=-1$","дает корень $x=-5$"],"answer":1}},"hints":["Арифметический корень неотрицателен: $t\\ge0$.","Значение $t=-1$ отбрасывается до возврата к $x$."],"step":1}],"mix":1}

В неравенстве квадрат разрешен не везде

В задании 15 корень встречается в неравенствах. Здесь сито работает иначе: в уравнении оно отсеивает лишние точки, а в неравенстве — целые промежутки. Возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части неотрицательны. Поэтому числовую ось сначала делят по знаку правой части $g$.

Правило

Неравенство $\sqrt{f}<g$ равносильно системе, а $\sqrt{f}>g$ — совокупности двух систем:

Если $g<0$, неравенство $\sqrt{f}<g$ решений не имеет, а $\sqrt{f}>g$ верно на всей ОДЗ.

$$\sqrt{f}<g\iff\begin{cases} f\ge0,\\ g>0,\\ f<g^2;\end{cases}\qquad \sqrt{f}>g\iff\left[\begin{array}{l}\begin{cases} g<0,\\ f\ge0;\end{cases}\\[2mm] \begin{cases} g\ge0,\\ f>g^2.\end{cases}\end{array}\right.$$

Пример 3

Решите неравенство $\sqrt{x+2}>x-4$.

Решение. ОДЗ: $x\ge-2$.

Случай $x-4<0$: правая часть отрицательна, неравенство верно на ОДЗ. Получаем $[-2;\,4)$.

Случай $x-4\ge0$: обе части неотрицательны, возводим: $x+2>x^2-8x+16$, $x^2-9x+14<0$, $(x-2)(x-7)<0$, $2<x<7$. С условием $x\ge4$: $[4;\,7)$.

Объединение: $[-2;\,4)\cup[4;\,7)=[-2;\,7)$.

Проверка: при $x=0$ получаем $\sqrt2\approx1{,}41>-4$ — верно; при $x=7$ получаем $3>3$ — неверно, граница не входит.

Ответ: $[-2;\,7)$.

Неравенство корень из x+2 больше x-4: решение [-2; 7); ниже ответ Вообразавра (2; 7) без условия на знак и потерянный промежуток [-2; 2] — Верхний ряд — решения, промежуток [−2; 7): левее x = 4 правая часть отрицательна, и неравенство верно без возведения в квадрат. Нижний ряд — ответ Вообразавра (2; 7), красным отмечен потерянный промежуток [−2; 2]

Ошибка

Как ошибаются. Вообразавр сразу возводит в квадрат: $x+2>(x-4)^2$, $2<x<7$. Ответ: $(2;\,7)$.

Проверка на числах. При $x=0$ неравенство $\sqrt2>-4$ верно, но $0$ в ответ Вообразавра не попал. При $x=-2$ получаем $0>-6$ — тоже верно.

Где сломалось рассуждение. Сравнивать квадраты вместо чисел можно только для неотрицательных чисел. При $x<4$ правая часть отрицательна: из $1{,}41>-4$ не следует $2>16$. Квадрат без условия на знак $g$ потерял промежуток $[-2;\,2]$.

Тем же ситом решается и противоположное неравенство $\sqrt{x+2}<x-4$. Нужна система: $x\ge-2$, $x-4>0$, $x+2<(x-4)^2$. Последнее верно при $x<2$ или $x>7$; вместе с $x>4$ остается $x>7$. Проверка: при $x=8$ получаем $\sqrt{10}\approx3{,}16<4$ — верно. Ответ: $(7;\,+\infty)$. На рисунке это часть ОДЗ правее закрашенного промежутка в верхнем ряду без точки $7$, где части равны.

Важно

Для нестрогих неравенств сито то же, меняются только знаки. $\sqrt{f}\le g$: система $f\ge0$, $g\ge0$, $f\le g^2$. $\sqrt{f}\ge g$: случай $g<0$ с условием $f\ge0$ или случай $g\ge0$ с условием $f\ge g^2$. Точки, где $\sqrt{f}=g$, теперь входят в ответ.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте неравенство и равносильную ему запись.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\sqrt{f}<g$","$\\sqrt{f}>g$","$\\sqrt{f}>-3$","$\\sqrt{f}<-1$"],"items":["$f\\ge0,\\ g>0,\\ f<g^2$","$g<0,\\ f\\ge0$ или $g\\ge0,\\ f>g^2$","$f\\ge0$","Решений нет","$f>g^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте неравенство и запись","hints":["Если правая часть отрицательна, $\\sqrt{f}>g$ верно на всей ОДЗ, а $\\sqrt{f}<g$ невозможно.","$\\sqrt{f}<g$: система $f\\ge0$, $g>0$, $f<g^2$. $\\sqrt{f}>g$: совокупность двух случаев. Запись $f>g^2$ лишняя."],"step":1},{"content":"Решите неравенство $\\sqrt{x-1}>-2$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x\\ge1$","решений нет","$x>1$","$x>5$"],"explanations":["","Неотрицательное число больше отрицательного","Нуль под корнем допустим: при $x=1$ верно $0>-2$","Возведение в квадрат при отрицательной правой части недопустимо"],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть неотрицательна, правая отрицательна: неравенство верно везде, где определена левая часть.","ОДЗ: $x\\ge1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вообразавр решил неравенство $\\sqrt{x+6}>x$: «Возведу в квадрат: $x+6>x^2$, ответ $(-2;\\,3)$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нужен только случай $x<0$, ответ $[-6;\\,0)$","Граница $3$ должна входить, ответ $(-2;\\,3]$","Потерян случай $x<0$, верный ответ $[-6;\\,3)$","Ошибки нет, ответ $(-2;\\,3)$"],"explanations":["При $x=1$ верно $\\sqrt7>1$: число из случая $x\\ge0$ тоже решение","При $x=3$ получаем $3>3$ — неверно, граница не входит","","При $x=-5$ верно $\\sqrt1>-5$, но число $-5$ в ответ Вообразавра не вошло"],"answer":[2]}},"hints":["Возводить в квадрат можно, только если $x\\ge0$. При $x<0$ правая часть отрицательна, и неравенство верно на всей ОДЗ.","Случай $x<0$: $-6\\le x<0$. Случай $x\\ge0$: $x+6>x^2$, $0\\le x<3$. Объединение: $[-6;\\,3)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пункт б: третий фильтр — отрезок

В задании 13 корень часто соседствует с тригонометрией. Простейшие уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=a$ мы здесь не разбираем: их решение — в уроке о простейших тригонометрических уравнениях. В пункте б просят найти корни на отрезке. Тогда у сита три фильтра: ОДЗ, знак (если было возведение в квадрат или замена) и отрезок. Порядок важен: сначала отсеять кандидатов, которые не решают уравнение, и только потом выбирать по отрезку. Иначе в пункт б легко попадет число, которое лежит на отрезке, но корнем не является.

Пример 4

а) Решите уравнение $(2\sin x-1)\sqrt{-\cos x}=0$.

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\,\frac{5\pi}{2}\right]$.

Решение. а) ОДЗ: $-\cos x\ge0$, то есть $\cos x\le0$.

Множитель с корнем: $\sqrt{-\cos x}=0$ при $\cos x=0$, $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. Эти числа в ОДЗ.

Первый множитель: $\sin x=\frac12$, $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$. Для серии $\frac{\pi}{6}+2\pi k$ косинус равен $\frac{\sqrt3}{2}>0$ — она не проходит ОДЗ. Для серии $\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ косинус равен $-\frac{\sqrt3}{2}<0$ — проходит.

б) На отрезке $\left[\pi;\,\frac{5\pi}{2}\right]$ лежат три кандидата: $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{2}$ из серии $\frac{\pi}{2}+\pi k$ и $\frac{13\pi}{6}$ из отброшенной серии $\frac{\pi}{6}+2\pi k$. Число $\frac{13\pi}{6}$ отсеяно еще в пункте а: $\cos\frac{13\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}>0$. Ближайшие числа серии $\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ — это $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{17\pi}{6}$, обе вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi}{2};\ \frac{5\pi}{2}$.

Отбор корней на отрезке от пи до 5пи/2: подходят 3пи/2 и 5пи/2, 13пи/6 вне ОДЗ — На отрезке [π; 5π/2] три кандидата, но 13π/6 не прошел ОДЗ: в ответ пункта б идут только 3π/2 и 5π/2

Это и есть ответ на вопрос из начала урока. Корень «находится, но не подходит», потому что квадрат, замена или правило «произведение равно нулю» дают только кандидатов. Решение превращается в ответ, когда каждый кандидат прошел все фильтры сита.

Алгоритм

Задача с корнем в ЕГЭ

Запишите ОДЗ: подкоренные выражения неотрицательны.
Если возводите в квадрат, запишите условие на знак правой части; если вводите $t=\sqrt{\dots}$, запишите $t\ge0$.
Найдите кандидатов.
Пропустите каждого кандидата через условия шагов 1 и 2.
Только после этого выбирайте корни на отрезке.

{"questions":[{"content":"Сколько корней уравнения $(2\\cos x-1)\\sqrt{\\sin x}=0$ лежит на отрезке $[0;\\,2\\pi]$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3$","$4$","$2$","$5$"],"explanations":["Потерян конец отрезка $2\\pi$: там $\\sin x=0$, и он входит в отрезок","","Решен только множитель $2\\cos x-1=0$; корни самого радикала, где $\\sin x=0$, потеряны","Точка $\\frac{5\\pi}{3}$ не прошла ОДЗ: там $\\sin x<0$, корень не определен"],"answer":[1]}},"hints":["ОДЗ: $\\sin x\\ge0$. Множитель $\\sqrt{\\sin x}=0$ при $\\sin x=0$: на отрезке это $0$, $\\pi$, $2\\pi$.","$\\cos x=\\frac12$: на отрезке $x=\\frac{\\pi}{3}$ и $x=\\frac{5\\pi}{3}$. При $x=\\frac{5\\pi}{3}$ синус отрицателен — точка вне ОДЗ.","Остаются $0$, $\\frac{\\pi}{3}$, $\\pi$, $2\\pi$. Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

В заданиях 13 и 15 корень редко бывает главной трудностью сам по себе. Трудность в том, что любой прием — квадрат, замена, разбиение на множители — выдает кандидатов, среди которых могут быть лишние. Сито допустимых отвечает за то, чтобы в ответ не попало лишнее и не потерялось нужное.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли вместо условия на знак просто подставить корни в уравнение?

Да, для уравнения подстановка — честный способ отсеять кандидатов. Но в задании 13 корни часто иррациональные или задаются сериями, и подставлять неудобно. Условие $g\ge0$ проверить проще: достаточно знака одного выражения.

Почему для неравенства подстановки недостаточно?

У неравенства решения — промежутки, а не отдельные числа. Подставить все числа промежутка невозможно. Поэтому знак правой части разбирают заранее, случаями, а подстановку используют для проверки границ и одного числа внутри.

Нужно ли в уравнении $h\cdot\sqrt{f}=0$ проверять, определен ли $h$?

Да, если $h$ содержит дробь, логарифм или тангенс. Сито включает условия существования всех частей уравнения. В примерах урока множитель $h$ определен при всех $x$, поэтому хватало условия $f\ge0$.

Что писать в ответе, если ни один кандидат не прошел сито?

Ответ: «корней нет» для уравнения или «решений нет» для неравенства. Можно записать и значок $\varnothing$ — оба ответа засчитываются; в уроке пишем словами.

Награды за урок