Предел последовательности

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Для какого значения $q$ предел последовательности $q^n$ равен нулю?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$q = -1$","$q = 1$","$q = -0{,}9$","$q = 1{,}1$"],"explanations":["Члены −1, 1, −1, ... не приближаются ни к какому числу","При q = 1 все члены равны 1, предел равен 1","","Модуль больше 1: члены неограниченно растут по модулю"],"answer":[2]}},"hints":["Предел $q^n$ равен нулю, когда модуль $q$ меньше 1.","Модуль числа $-0{,}9$ равен $0{,}9$ — это меньше 1.","Ответ: $q = -0{,}9$."],"step":1},{"id":"1","content":"Для какого значения $q$ предел последовательности $q^n$ равен нулю?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$q = 1$","$q = 1{,}5$","$q = -1$","$q = -0{,}6$"],"explanations":["При q = 1 все члены равны 1, предел равен 1","Модуль больше 1: члены неограниченно растут по модулю","Члены −1, 1, −1, ... не приближаются ни к какому числу",""],"answer":[3]}},"hints":["Предел $q^n$ равен нулю, когда модуль $q$ меньше 1.","Модуль числа $-0{,}6$ равен $0{,}6$ — это меньше 1.","Ответ: $q = -0{,}6$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите предел последовательности $a_n = 4 + 3 \\cdot (0{,}5)^n$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Так как $\\lvert q \\rvert = 0{,}5 < 1$, степень $(0{,}5)^n$ стремится к нулю.","Тогда слагаемое $3 \\cdot (0{,}5)^n$ тоже стремится к нулю.","Остается $4$. Ответ: $4$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите предел последовательности $a_n = 7 + 2 \\cdot (\\frac{1}{3})^n$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Так как $\\lvert q \\rvert = \\frac{1}{3} < 1$, степень $(\\frac{1}{3})^n$ стремится к нулю.","Тогда слагаемое $2 \\cdot (\\frac{1}{3})^n$ тоже стремится к нулю.","Остается $7$. Ответ: $7$."],"step":1},{"id":"3","content":"Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $6$, знаменатель равен $0{,}5$. Найдите сумму прогрессии. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Так как $\\lvert q \\rvert = 0{,}5 < 1$, сумма существует.","$S = \\frac{b_1}{1-q} = \\frac{6}{1-0{,}5} = \\frac{6}{0{,}5}$.","Ответ: $12$."],"step":1},{"id":"3","content":"Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $9$, знаменатель равен $\\frac{1}{3}$. Найдите сумму прогрессии. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["13,5","13.5","27/2"]}},"hints":["Так как $\\lvert q \\rvert = \\frac{1}{3} < 1$, сумма существует.","$S = \\frac{b_1}{1-q} = \\frac{9}{1-\\frac{1}{3}} = \\frac{9}{\\frac{2}{3}}$.","Ответ: $13{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите предел последовательности $a_n = \\frac{6n^2+n}{4n^2-5}$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["1,5","1.5","3/2"]}},"hints":["Старшая степень $n$ здесь $n^2$: разделите числитель и знаменатель на $n^2$.","Слагаемые $\\frac{c}{n}$ и $\\frac{c}{n^2}$ стремятся к нулю.","Остается отношение коэффициентов при $n^2$: $\\frac{6}{4} = 1{,}5$. Ответ: $1{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Найдите предел последовательности $a_n = \\frac{4n^2-n}{2n^2+7}$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Старшая степень $n$ здесь $n^2$: разделите числитель и знаменатель на $n^2$.","Слагаемые $\\frac{c}{n}$ и $\\frac{c}{n^2}$ стремятся к нулю.","Остается отношение коэффициентов при $n^2$: $\\frac{4}{2} = 2$. Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите предел последовательности $a_n = \\frac{6n+5}{2n^2-1}$ или определите, что его нет.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$1$","Не существует","$3$","$0$"],"explanations":["Отношение старших членов не равно 1: степени разные","Члены не растут неограниченно: числитель отстает от знаменателя","Разделили 6 на 2 и не заметили, что степени разные: знаменатель растет быстрее",""],"answer":[3]}},"hints":["Сравните старшие степени $n$ в числителе и знаменателе.","Знаменатель растет быстрее: делим на $n^2$, числитель дает $\\frac{6}{n}\\to 0$.","Ответ: $0$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите предел последовательности $a_n = \\frac{n^2+3}{2n+1}$ или определите, что его нет.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0{,}5$","$1$","Не существует","$0$"],"explanations":["Разделили коэффициенты 1 и 2, не заметив, что степени разные","Старшие члены не равны: степени разные","","Нуль получился бы при более быстром росте знаменателя; здесь быстрее растет числитель"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните старшие степени $n$ в числителе и знаменателе.","Числитель растет быстрее знаменателя: $a_n \\approx \\frac{n}{2}$ неограниченно растет.","Ответ: Не существует."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите последовательности по группам: сходятся или расходятся. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сходятся","Расходятся"],"items":[["$\\frac{1}{n}$","$\\frac{n+1}{n}$","$2+\\left(\\frac12\\right)^n$"],["$(-1)^n$","$n^2$","$(-2)^n$"]]}},"hints":["Для каждой последовательности проверьте, приближаются ли ее члены к одному числу.","Чередующиеся значения и неограниченный рост — признаки расходимости.","Сходятся те, где есть предел; остальные расходятся."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите последовательности по группам: сходятся или расходятся. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Сходятся","Расходятся"],"items":[["$\\frac{5}{n}$","$\\frac{2n-1}{n}$","$3-\\left(\\frac13\\right)^n$"],["$(-1)^{n+1}$","$3n$","$(-3)^n$"]]}},"hints":["Для каждой последовательности проверьте, приближаются ли ее члены к одному числу.","Чередующиеся значения и неограниченный рост — признаки расходимости.","Сходятся те, где есть предел; остальные расходятся."],"step":1},{"id":"7","content":"Расставьте шаги перевода периодической дроби в обыкновенную в правильном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Записать $0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + \\ldots$","Значит, это прогрессия с $b_1 = 0{,}27$ и $q = 0{,}01$","Так как $\\lvert q \\rvert < 1$, применить $S = \\frac{b_1}{1-q}$","Вычислить $S = \\frac{0{,}27}{0{,}99}$ и сократить: $3/11$"]}},"hints":["Каждый шаг использует результат предыдущего.","Дробь $0{,}(27)$ — сумма бесконечной прогрессии.","Ответ: $3/11$."],"step":1},{"id":"7","content":"Расставьте шаги перевода периодической дроби в обыкновенную в правильном порядке. [[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Записать $0{,}(45) = 0{,}45 + 0{,}0045 + \\ldots$","Значит, это прогрессия с $b_1 = 0{,}45$ и $q = 0{,}01$","Так как $\\lvert q \\rvert < 1$, применить $S = \\frac{b_1}{1-q}$","Вычислить $S = \\frac{0{,}45}{0{,}99}$ и сократить: $5/11$"]}},"hints":["Каждый шаг использует результат предыдущего.","Дробь $0{,}(45)$ — сумма бесконечной прогрессии.","Ответ: $5/11$."],"step":1},{"id":"8","content":"Для последовательности $a_n = \\frac{3n+2}{n}$ первые члены равны $5;\\ 4;\\ \\frac{11}{3};\\ 3{,}5;\\ \\ldots$. Решавр заключает: «Все члены больше $3$, ни один не равен $3$. Значит, у этой последовательности нет предела». В чем ошибка его вывода?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Предел есть и равен $5$ — первому члену","Ошибки нет: предел должен быть одним из членов","Предел есть и равен $3$: члены попадают в любую трубку вокруг $3$, а совпадать с ними предел не обязан","Предел есть и равен $0$, ведь $\\frac{2}{n} \\to 0$"],"explanations":["Первый член ничего не говорит о пределе: важны члены с большими номерами","Контрпример — $\\frac{1}{n}$: предел равен $0$, а нулевых членов нет","","К нулю стремится только слагаемое $\\frac{2}{n}$, а не вся последовательность"],"answer":[2]}},"hints":["Разделите почленно: $a_n = 3 + \\frac{2}{n}$, то есть $\\lvert a_n-3 \\rvert = \\frac{2}{n}$.","Дробь $\\frac{2}{n}$ становится меньше любого $\\varepsilon > 0$, начиная с некоторого номера: члены попадают в любую трубку вокруг $3$.","Ответ: предел равен $3$; предел не обязан совпадать ни с одним членом."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Для последовательности $a_n = \\frac{5n-2}{n}$ первые члены равны $3;\\ 4;\\ \\frac{13}{3};\\ 4{,}5;\\ \\ldots$. Решавр заключает: «Все члены меньше $5$, ни один не равен $5$. Значит, у этой последовательности нет предела». В чем ошибка его вывода?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Предел есть и равен $3$ — первому члену","Ошибки нет: предел должен быть одним из членов","Предел есть и равен $5$: члены попадают в любую трубку вокруг $5$, а совпадать с ними предел не обязан","Предел есть и равен $0$, ведь $\\frac{2}{n} \\to 0$"],"explanations":["Первый член ничего не говорит о пределе: важны члены с большими номерами","Контрпример — $\\frac{1}{n}$: предел равен $0$, а нулевых членов нет","","К нулю стремится только слагаемое $\\frac{2}{n}$, а не вся последовательность"],"answer":[2]}},"hints":["Разделите почленно: $a_n = 5-\\frac{2}{n}$, то есть $\\lvert a_n-5 \\rvert = \\frac{2}{n}$.","Дробь $\\frac{2}{n}$ становится меньше любого $\\varepsilon > 0$, начиная с некоторого номера: члены попадают в любую трубку вокруг $5$.","Ответ: предел равен $5$; предел не обязан совпадать ни с одним членом."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Чему равен предел последовательности $a_n = \\frac{2n+5}{n}$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$5$","$2$","$0$","$7$"],"explanations":["Взяли свободный член: он стремится к 0 после деления на n","","Нулю стремится только слагаемое c/n, а не вся последовательность","Сложили коэффициенты: отбросить нужно слагаемое с n в знаменателе"],"answer":[1]}},"hints":["Разделите почленно: $a_n = 2 + \\frac{5}{n}$.","Слагаемое $\\frac{5}{n}$ стремится к нулю.","Ответ: $2$."],"step":1},{"id":"9","content":"Чему равен предел последовательности $a_n = \\frac{3n+4}{n}$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$4$","$3$","$0$","$7$"],"explanations":["Взяли свободный член: он стремится к 0 после деления на n","","Нулю стремится только слагаемое c/n, а не вся последовательность","Сложили коэффициенты: отбросить нужно слагаемое с n в знаменателе"],"answer":[1]}},"hints":["Разделите почленно: $a_n = 3 + \\frac{4}{n}$.","Слагаемое $\\frac{4}{n}$ стремится к нулю.","Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"10","content":"Предел последовательности $a_n = \\frac{3n+4}{n+3}$ равен $3$. Найдите наименьший номер $N$, начиная с которого $\\lvert a_n-3 \\rvert < 0{,}25$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$a_n-3 = \\frac{3n+4-3(n+3)}{n+3} = -\\frac{5}{n+3}$.","Модуль равен $\\frac{5}{n+3}$; решаем $\\frac{5}{n+3} < 0{,}25$, то есть $n+3 > 20$.","Наименьшее целое $n$ равно $18$. Ответ: $18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Предел последовательности $a_n = \\frac{4n+3}{n+3}$ равен $4$. Найдите наименьший номер $N$, начиная с которого $\\lvert a_n-4 \\rvert < 0{,}2$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"43"}},"hints":["$a_n-4 = \\frac{4n+3-4(n+3)}{n+3} = -\\frac{9}{n+3}$.","Модуль равен $\\frac{9}{n+3}$; решаем $\\frac{9}{n+3} < 0{,}2$, то есть $n+3 > 45$.","Наименьшее целое $n$ равно $43$. Ответ: $43$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>