Предел последовательности

Запись $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a$: в любой окрестности (трубке) числа $a$ лежат почти все члены последовательности

Определение на языке ε

Для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $N$, начиная с которого все члены отличаются от $a$ меньше чем на ε

Предел достигается?

Предел не обязан быть членом последовательности: у $\frac{1}{n}$ предел 0, но нулевых членов нет

Предел дроби

Делим числитель и знаменатель на старшую степень $n$; слагаемые $\frac{c}{n}$ стремятся к нулю

Предел q в степени n

Если $\lvert q \rvert < 1$, то $q^n \to 0$; при $\lvert q \rvert > 1$ степени неограниченно растут по модулю

Сумма бесконечной прогрессии

При $\lvert q \rvert < 1$: $S = \frac{b_1}{1-q}$; при $\lvert q \rvert \ge 1$ суммы нет

Периодическая дробь

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: например, $0{,}(3) = \frac13$, знаменатель прогрессии $q = 0{,}1$

Расходящаяся последовательность

Предела нет, если члены скачут между двумя числами, как $(-1)^n$, или растут без границы, как $2^n$

Трубка вокруг предела

Какой бы узкой ни была трубка вокруг $a$, снаружи остается лишь конечное число членов

Арифметика пределов

Предел суммы, произведения и частного равен сумме, произведению и частному пределов, если они существуют (для частного также нужно $b \ne 0$), и не зависит от первых членов