Простейшее показательное уравнение

Уравнение $a^x = a^b$ при $a > 0$, $a \ne 1$ имеет единственный корень $x = b$

Приведение к одному основанию

Обе части записывают степенью одного основания, затем приравнивают показатели

Равносильный переход

Степени с одним основанием равны, когда равны их показатели: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ при $a > 0$, $a \ne 1$

Уравнение a^x = c при c не больше нуля

При $a > 0$ справедливо $a^x > 0$, поэтому при $c \le 0$ уравнение $a^x = c$ не имеет корней

Основание — дробь

При $a > 0$: $\left(\frac1a\right)^x = a^{-x}$, показатель меняет знак

Корень в основании

При $a > 0$ корень — это степень с показателем одна вторая: $\sqrt{a} = a^{\frac12}$, поэтому $\left(\sqrt a\right)^x = a^{\frac x2}$

Лифт с множителем

При $a > 0$, $a \ne 1$ шаг по $x$ на единицу умножает значение на $a$: $a^{x+1} = a \cdot a^x$. При $a > 1$ функция строго возрастает, при $0 < a < 1$ строго убывает; каждое положительное значение принимает ровно один раз.

Чтение решения по графику

При $a > 0$, $a \ne 1$ корень уравнения $a^x = c$ — абсцисса точки пересечения графика $y = a^x$ с прямой $y = c$. При $c > 0$ пересечение одно и корень единственный, при $c \le 0$ пересечений и корней нет.

Особое значение основания

При $a = 1$ получаем $1^x = 1$ для любого действительного $x$: функция постоянная. Поэтому из $1^{f(x)} = 1^{g(x)}$ нельзя заключить, что $f(x) = g(x)$.

Действия со степенями

При $a > 0$ в формуле $(a^m)^n = a^{mn}$ показатели перемножаются, а в формуле $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ складываются. Также $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^0 = 1$: отрицательный показатель не делает значение отрицательным, нулевой не дает ноль.

Алгоритм решения

В уравнении $a^x = c$ при $a > 0$, $a \ne 1$ сначала проверьте знак $c$: при $c \le 0$ корней нет. Иначе подберите общее основание; десятичную дробь переведите в обыкновенную, например $0{,}25 = \frac14 = 2^{-2}$. Запишите обе части степенями одного основания, приравняйте показатели, решите уравнение и проверьте ответ подстановкой. Если удобное общее основание не находится, это не означает отсутствия корня при $c > 0$.

Скобки в показателе

При $a > 0$ в равенстве $\left(\frac1a\right)^{x+1} = a^{-(x+1)} = a^{-x-1}$ минус действует на все слагаемые выражения $x+1$. Запись $a^{-x+1}$ неверна.