Площадь криволинейной трапеции и фигур между кривыми

Содержание

В уроке «Определенный интеграл. Формула Ньютона—Лейбница» интеграл появился как предел сумм тонких полосок. Теперь превратим эту идею в способ считать площади: под графиком, под осью $Ox$ и между двумя кривыми. Все случаи урока держатся на одной полоске и ее высоте «верх минус низ».

Площадь под графиком складывается из полосок

Начнем с учебной задачи-модели. Два автомобиля едут по одной прямой в одном направлении и стартуют одновременно с одной линии. Скорость первого $v_1=t$, второго $v_2=t^2$ (время $t$ — в минутах, скорость — в километрах в минуту; формулы подобраны для счета, реальные скорости снимают с графика спидометра и считают тем же способом). В первую минуту $t>t^2$, и первый уходит вперед. На сколько он оторвется к концу первой минуты и когда второй его догонит? Ответ даст площадь — но не под одним графиком, а между двумя.

Графики скоростей v1=t и v2=t^2 на отрезке от 0 до 1: между ними закрашенная фигура с вопросом — Пока график $v_1$ выше графика $v_2$, разрыв между машинами растет: он равен площади между графиками

Путь за промежуток времени — площадь под графиком скорости. Чтобы научиться считать такие площади, начнем с фигуры, площадь которой мы знаем: под графиком $y=x$ на $[0;2]$ лежит прямоугольный треугольник с катетами $2$ и $2$, его площадь $\frac12\cdot2\cdot2=2$. Разрежем отрезок на полоски шириной $0{,}5$ и у каждой возьмем высоту по правому краю: $0{,}5$, $1$, $1{,}5$, $2$. Сумма площадей прямоугольников $0{,}5\cdot(0{,}5+1+1{,}5+2)=2{,}5$ — больше $2$. При ширине $0{,}1$ получится $2{,}1$: чем уже полоски, тем ближе сумма к $2$.

Теперь парабола $y=x^2$ на $[0;1]$. Одна полоска — от $x=0{,}6$ до $x=0{,}7$: ширина $0{,}1$, высота по правому краю $0{,}7^2=0{,}49$, площадь прямоугольника $0{,}1\cdot0{,}49=0{,}049$. Сложим такие прямоугольники для всех полосок — получим приближение площади.

Запишем это для любой фигуры. Разобьем отрезок $[a;b]$ на узкие полоски шириной $\Delta x$. Полоска у точки $x$ почти прямоугольник высотой $f(x)$, ее площадь примерно $f(x)\cdot\Delta x$. Сумма площадей полосок приближает площадь фигуры, и чем уже полоски, тем точнее. В прошлом уроке предел таких сумм назвали определенным интегралом. Значит, площадь фигуры под графиком — это интеграл.

Определение

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $y=f(x)$, где $f(x)\ge0$ на $[a;b]$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Парабола y=x^2 на отрезке от 0 до 1, разбитая на 10 вертикальных полосок; площадь равна интегралу, одной трети — Полоски высотой $f(x)$ заполняют криволинейную трапецию; при сужении полосок их сумма стремится к $\int_0^1x^2\,dx=\frac13$

Интеграл подтверждает счет по полоскам: для треугольника $\int_0^2x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=2-0=2$ — те же $2$. А вот фигура, которую школьная геометрия не считает: под параболой $y=x^2$ на $[0;1]$ площадь равна $\int_0^1x^2\,dx=\frac13$ — ровно треть единичного квадрата.

Площадь криволинейной трапеции

Если функция $f$ непрерывна и $f(x)\ge0$ на $[a;b]$, то площадь фигуры под ее графиком равна

где $F$ — первообразная функции $f$.

$$S=\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$$

Почему это верно: у каждой полоски низ лежит на оси ($y=0$), а верх — на графике, поэтому ее высота равна $f(x)-0$. Запомните эту запись: высота полоски — верх минус низ. Дальше она объяснит все остальные случаи.

Пример 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2+1$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=3$.

Решение. На $[0;3]$ значение $x^2+1>0$: график выше оси, фигура — криволинейная трапеция. Первообразная $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$. Тогда $S=F(3)-F(0)=(9+3)-0=12$.

Ответ: $12$.

{"questions":[{"content":"Какой интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком $y=x^2+4$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\int_0^{2}(x^2+4)\\,dx$","$(2)^2+4$","$\\int_0^{2}2x\\,dx$","$\\int_{2}^{0}(x^2+4)\\,dx$"],"explanations":["","Подставлено значение функции в точке, интеграл не взят","Взята производная вместо самой функции","Пределы поменяны местами: получится $-S$"],"answer":[0]}},"hints":["График лежит выше оси $Ox$, значит, $S=\\int_a^bf(x)\\,dx$.","Пределы: от $0$ до $2$."],"step":1},{"content":"Вычислите площадь под параболой $y=x^2$ на отрезке $[0;3]$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["На $[0;3]$ график лежит выше оси $Ox$, поэтому $S=\\int_{0}^{3}(x^2)\\,dx$.","$F(x)=\\frac{1}{3}x^3$.","$S=F(3)-F(0)=9$."],"step":1}],"mix":1}

Когда график уходит под ось, верх и низ меняются местами

Возьмем функцию $y=x^2-4x$ на $[0;4]$. Парабола пересекает ось $Ox$ при $x=0$ и $x=4$, а между ними лежит ниже оси: например, $f(2)=-4$. Посчитаем интеграл: $\int_0^4(x^2-4x)\,dx=\left(\frac{64}{3}-32\right)-0=-\frac{32}{3}$. Получилось отрицательное число, а площадь отрицательной не бывает.

Посмотрим на полоску. Теперь верх у нее — ось $Ox$, то есть $y=0$, а низ — график. Высота «верх минус низ» равна $0-f(x)=-f(x)$, и она положительна. Сложив полоски, получаем $S=\int_a^b(-f(x))\,dx=-\int_a^bf(x)\,dx$. Сам интеграл складывает слагаемые $f(x)\cdot\Delta x$ со знаком: под осью каждое из них отрицательно.

Фигура под осью

Если функция $f$ непрерывна и $f(x)\le0$ на $[a;b]$, то площадь фигуры между ее графиком, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$ равна

то есть модулю интеграла.

$$S=-\int_a^bf(x)\,dx$$

Ошибка

Вообразавр пишет: «Площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2-4x$ и осью $Ox$, равна $\int_0^4(x^2-4x)\,dx=-\frac{32}{3}$».

Проверка на числах. Фигура целиком помещается в прямоугольник $4\times4$ под осью: ее площадь положительна и меньше $16$. Отрицательное число площадью быть не может.

Где сломалось. Высоту полоски взяли как $f(x)-0$, хотя верх у полоски — ось, а низ — график. Верная высота $0-f(x)$, и $S=\frac{32}{3}\approx10{,}7$ — меньше $16$, как и должно быть.

{"questions":[{"content":"Для каждого интеграла представьте фигуру между графиком и осью $Ox$ на отрезке интегрирования. Какой интеграл равен площади $S$ этой фигуры, а какой — числу $-S$?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Равен $S$","Равен $-S$"],"items":[["$\\int_0^{\\pi}\\sin x\\,dx$","$\\int_0^1e^x\\,dx$","$\\int_{-2}^{-1}x^2\\,dx$"],["$\\int_{\\pi}^{2\\pi}\\sin x\\,dx$","$\\int_{-3}^{-1}x\\,dx$","$\\int_1^2(x^2-4)\\,dx$"]]}},"instruction":"Разложите интегралы по группам","hints":["Если на отрезке график выше оси, высота полоски равна $f(x)$, и интеграл равен $S$.","Если график ниже оси, каждое слагаемое $f(x)\\cdot\\Delta x$ отрицательно, и интеграл равен $-S$.","Равны $S$: $\\int_0^{\\pi}\\sin x\\,dx$, $\\int_0^1e^x\\,dx$, $\\int_{-2}^{-1}x^2\\,dx$. Равны $-S$: $\\int_{\\pi}^{2\\pi}\\sin x\\,dx$, $\\int_{-3}^{-1}x\\,dx$, $\\int_1^2(x^2-4)\\,dx$."],"step":1},{"content":"Найдите ошибку. Решавр искал площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2-2x$ и осью $Ox$, и записал: «$\\int_0^2(x^2-2x)\\,dx=-\\frac43$, значит, $S=-\\frac43$». Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Неверно вычислен интеграл: он равен $\\frac43$","Неверны пределы: нужно взять от $-2$ до $0$","Интеграл верен, ошибочен вывод: график ниже оси, поэтому $S=\\frac43$","Ошибки нет: площадь тоже может быть отрицательной"],"explanations":["Подстановка дает $\\frac83-4=-\\frac43$: интеграл найден верно, ошибка в выводе о площади","Парабола пересекает ось в точках $0$ и $2$, пределы выбраны верно","","Площадь — неотрицательная величина, отрицательный интеграл говорит лишь о том, что график ниже оси"],"answer":[2]}},"hints":["Проверим интеграл: $\\frac{x^3}3-x^2\\Big|_0^2=\\frac83-4=-\\frac43$ — вычислен верно.","Парабола $y=x^2-2x$ между $x=0$ и $x=2$ лежит ниже оси, поэтому $S=-\\int_0^2(x^2-2x)\\,dx=\\frac43$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите площадь области, заключенной между параболой $y=x^2-9x$ и осью абсцисс. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["121,5","121.5","243/2"]}},"hints":["Парабола пересекает $Ox$ в точках $x=0$ и $x=9$; между ними график лежит ниже оси.","$\\int_0^{9}(x^2-9x)\\,dx=-\\frac{243}{2}$ — число отрицательное, а площадь неотрицательна.","$S=-\\int_0^{9}(x^2-9x)\\,dx=\\frac{243}{2}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Между двумя кривыми высота полоски — верх минус низ

Пусть фигура ограничена сверху прямой $y=x+3$, снизу — параболой $y=x^2$, а по бокам прямыми $x=0$ и $x=2$. Полоска у точки $x$ тянется от параболы до прямой, ее высота $(x+3)-x^2$. Значит, площадь — интеграл от этой разности.

Фигура между прямой y=x+3 и параболой y=x^2 на отрезке от 0 до 2, площадь 16/3 — Полоска идет от нижней кривой до верхней: ее высота $(x+3)-x^2$, а площадь фигуры $\frac{16}{3}$

Ось $Ox$ здесь не нужна: высота полоски не зависит от того, где проходит ось. Если обе кривые поднять на $5$, разность $f(x)-g(x)$ не изменится — и площадь тоже. Поэтому формула работает, даже когда часть фигуры лежит под осью. Оба прежних правила — ее частные случаи: при $g(x)=0$ получаем криволинейную трапецию, а если сверху ось, то $S=\int_a^b(0-f(x))\,dx$.

Площадь фигуры между кривыми

Если функции $f$ и $g$ непрерывны и $f(x)\ge g(x)$ на $[a;b]$, то площадь фигуры между их графиками и прямыми $x=a$, $x=b$ равна

Из верхней кривой вычитают нижнюю.

$$S=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$$

Пример 2

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x^2$, $y=x+3$ и прямыми $x=0$, $x=2$.

Решение. 1) Какая кривая сверху? При $x=1$: $1+3=4$, а $1^2=1$ — прямая выше. Разность $x+3-x^2$ на всем $[0;2]$ положительна: ее корни $x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$, то есть примерно $-1{,}30$ и $2{,}30$, лежат вне отрезка.

2) $S=\int_0^2(x+3-x^2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^2=2+6-\frac83=\frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

Ошибка

Вообразавр вычитает в том порядке, в каком кривые названы в условии: $\int_0^2(x^2-(x+3))\,dx=-\frac{16}{3}$.

Проверка на числах. Площадь не бывает отрицательной. При $x=1$ высота полоски у Вообразавра равна $1-4=-3$: отрезок направлен вниз, от прямой к параболе.

Где сломалось. Из верхней кривой вычитают нижнюю, а порядок в условии ничего не значит. Не исправляйте ответ, просто зачеркнув минус: сначала выясните, откуда он взялся. Иногда кривые меняются местами внутри отрезка — об этом последний раздел.

Та же фигура, но полоска направлена вниз: из нижней кривой вычли верхнюю, получилось минус 16/3 — Если из нижней кривой вычесть верхнюю, каждая полоска получает отрицательную высоту, и вместо $S$ выходит $-S$

{"questions":[{"content":"Найдите ошибку. Фигура ограничена параболой $y=x^2$ и прямой $y=2x$; они пересекаются при $x=0$ и $x=2$. Вообразавр записал $S=\\int_0^2(x^2-2x)\\,dx=-\\frac43$. Чему равна площадь фигуры на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac83$","$-\\frac43$","$\\frac{20}{3}$","$\\frac43$"],"explanations":["Это $\\int_0^2x^2\\,dx$ — площадь между параболой и осью $Ox$, а фигура лежит между параболой и прямой","Площадь не бывает отрицательной: минус показывает, что из нижней кривой вычли верхнюю","Это $\\int_0^2(x^2+2x)\\,dx$: высоту полоски нашли сложением, а нужна разность «верх минус низ»",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота полоски — верх минус низ. При $x=1$: $2x=2$, $x^2=1$ — прямая выше параболы.","$S=\\int_0^2(2x-x^2)\\,dx=4-\\frac83$.","$S=\\frac43$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x+8$, $y=x^2$ и прямыми $x=0$, $x=3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["19,5","19.5","39/2"]}},"hints":["При $x=1$: $1+8=9>1^2$. Разность $x+8-x^2$ на $[0;3]$ положительна: при $x=3$ она равна $2$, а ее корни $\\frac{1\\pm\\sqrt{33}}2$ лежат вне отрезка.","$S=\\int_0^3(x+8-x^2)\\,dx=\\left(\\frac{x^2}2+8x-\\frac{x^3}3\\right)\\Big|_0^3=\\frac92+24-9=\\frac{39}2$."],"step":1}],"mix":1}

Где кривые встречаются, там фигура начинается и кончается

Часто прямых $x=a$ и $x=b$ в условии нет: «фигура, ограниченная параболой $y=x^2$ и прямой $y=x$». Края такой фигуры — точки, где кривые встречаются. Там высота полоски «верх минус низ» становится нулем, и полоска стягивается в точку.

Пример 3

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками $y=x$ и $y=x^2$.

Решение. 1) Пределы: $x^2=x$, $x(x-1)=0$, откуда $x=0$ и $x=1$.

2) Какая кривая сверху: при $x=\frac12$ имеем $\frac12>\frac14$ — прямая выше параболы.

3) $S=\int_0^1(x-x^2)\,dx$.

4) Первообразная $F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$.

5) $S=F(1)-F(0)=\frac12-\frac13=\frac16$.

Ответ: $\frac16$.

Прямая y=x и парабола y=x^2 пересекаются в точках x=0 и x=1; фигура между ними площадью 1/6, правее x=1 другая область — Фигура заключена между точками пересечения $x=0$ и $x=1$: $S=\frac12-\frac13=\frac16$; правее $x=1$ парабола уже выше прямой

Это ответ на первый вопрос задачи о машинах. Графики скоростей $v_1=t$ и $v_2=t^2$ — те же прямая и парабола. Разность $v_1-v_2$ показывает, на сколько первый автомобиль быстрее, а площадь между графиками на $[0;1]$ — на сколько он ушел вперед: $\frac16$ км, около $167$ м. При $t=1$ скорости сравнялись, и разрыв перестал расти.

Алгоритм: площадь фигуры между кривыми

Функции непрерывны, а фигура лежит между двумя соседними точками пересечения: внутри отрезка графики не пересекаются.

Решить уравнение $f(x)=g(x)$ и найти точки пересечения; две соседние дают пределы $a$ и $b$. Если точек пересечения больше, шаги 2–5 выполняют для каждого куска (последний раздел).
Подставить точку из $(a;b)$ и выяснить, какой график выше.
Записать $S=\int_a^b(\text{верх}-\text{низ})\,dx$.
Найти первообразную $F$ подынтегральной функции.
Вычислить $S=F(b)-F(a)$.

ploshchad-krivolinejnoj-trapecii-verh-niz

Ошибка

Вообразавр берет пределы не из пересечений, а «на глаз», например от $0$ до $2$: $\int_0^2(x-x^2)\,dx=2-\frac83=-\frac23$.

Проверка на числах. При $x=2$ прямая дает $2$, а парабола $4$: на $[1;2]$ сверху уже парабола. Эта часть не входит в фигуру, ограниченную только прямой и параболой, — справа ее ничто не замыкает. На $[1;2]$ «высота» $x-x^2$ отрицательна и съедает часть настоящей площади.

Где сломалось. Пределы задает сама фигура: это корни уравнения $f(x)=g(x)$. За точкой пересечения начинается другая область.

{"questions":[{"content":"Фигура ограничена параболой $y=x^2$ и прямой $y=5x-4$. Какой интеграл равен ее площади?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\int_{1}^{4}(x^2-(5x-4))\\,dx$","$\\int_{0}^{4}(5x-4-x^2)\\,dx$","$\\int_{1}^{4}(5x-4+x^2)\\,dx$","$\\int_{1}^{4}(5x-4-x^2)\\,dx$"],"explanations":["Верхняя и нижняя кривые перепутаны: получится $-S$","Пределы не из точек пересечения","Кривые складывают, а надо вычитать",""],"answer":[3]}},"hints":["Решим $x^2=5x-4$: $x=1$ и $x=4$ — пределы.","На $[1;4]$ прямая выше параболы.","$S=\\int_{1}^{4}(5x-4-x^2)\\,dx$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Функции $f$ и $g$ непрерывны. Фигура ограничена их графиками и лежит между двумя соседними точками пересечения: внутри отрезка графики не пересекаются. Расположите шаги нахождения ее площади.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Решить уравнение $f(x)=g(x)$ и получить пределы $a$ и $b$","Подставить в $f$ и $g$ точку из $(a;b)$ и выяснить, какой график выше","По найденным верхнему и нижнему графикам записать $S=\\int_a^b(\\text{верх}-\\text{низ})\\,dx$","Найти первообразную $F$ для разности «верх минус низ» из этого интеграла","Подставить пределы $a$ и $b$ в первообразную $F$: $S=F(b)-F(a)$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала нужны края фигуры: пределы — корни уравнения $f(x)=g(x)$.","Верхнюю кривую ищут внутри найденного отрезка, потом пишут интеграл от разности и считают его.","Порядок: пределы, верх и низ, интеграл, первообразная, $F(b)-F(a)$."],"step":1},{"content":"Найдите ошибку. Решавр искал площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2$ и прямой $y=3x$, взял пределы от $0$ до $4$ и получил $\\int_0^4(3x-x^2)\\,dx=\\frac83$. Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Верные пределы $0$ и $3$, площадь равна $\\frac83$","Ошибки нет: чем шире отрезок, тем полнее фигура","Пределы не из пересечений: верно $0$ и $3$, $S=\\frac92$","Верхняя кривая выбрана неверно: сверху парабола"],"explanations":["Ответ $\\frac83$ получен для лишнего отрезка; на $[0;3]$ площадь равна $\\frac92$","За точкой $x=3$ парабола выше прямой, и эта часть в фигуру не входит","","На $(0;3)$, например при $x=1$, имеем $3>1$: прямая выше параболы"],"answer":[2]}},"hints":["Фигуру ограничивают только прямая и парабола, поэтому края — точки их пересечения: $x^2=3x$, откуда $x=0$ и $x=3$.","$S=\\int_0^3(3x-x^2)\\,dx=\\frac{27}2-9=\\frac92$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если кривые меняются местами, фигуру режут на куски

Вернемся ко второму вопросу: когда второй автомобиль догонит первого? После $t=1$ быстрее второй, график $v_2=t^2$ выше. Разрыв к моменту $T$ — путь первого минус путь второго: $\int_0^T(t-t^2)\,dt=\frac{T^2}{2}-\frac{T^3}{3}=T^2\left(\frac12-\frac{T}{3}\right)$. Он равен нулю при $T=1{,}5$: через полторы минуты автомобили снова рядом.

Два куска между графиками скоростей: на отрезке от 0 до 1 сверху v1, от 1 до 1,5 сверху v2; площади по 1/6, интеграл 0, площадь 1/3 — Два куска по $\frac16$: интеграл $\frac16-\frac16=0$ говорит, что машины поравнялись, а площадь фигуры равна $\frac16+\frac16=\frac13$

На рисунке два куска. На $[0;1]$ сверху прямая, площадь куска $\frac16$. На $[1;1{,}5]$ сверху парабола, и площадь куска тоже $\frac16$: $\int_1^{1{,}5}(t^2-t)\,dt=\frac16$. Интеграл $\int_0^{1{,}5}(t-t^2)\,dt=\frac16-\frac16=0$ ответил на вопрос «кто впереди» — никто. А площадь фигуры между графиками равна $\frac16+\frac16=\frac13$: один интеграл ее не дал, потому что во втором куске верх и низ поменялись и слагаемые стали отрицательными.

Так же, как в геометрии площадь составной фигуры находят по частям (урок «Площадь составных фигур»), здесь фигуру режут в точках, где кривые пересекаются или график пересекает ось, и в каждом куске заново решают, что сверху.

Фигура из нескольких кусков

Найдите все точки пересечения на отрезке и разбейте его на куски. В каждом куске площадь $S_i=\int_{x_{i-1}}^{x_i}(\text{верх}-\text{низ})\,dx$, где $x_{i-1}$ и $x_i$ — левая и правая границы этого куска. Площадь фигуры

Складывают площади кусков, а не интегралы со знаком.

$$S=S_1+S_2+\ldots$$

Пример 4

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2-1$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$.

Решение. График пересекает ось при $x=1$ (корень $x=-1$ вне отрезка). На $[0;1]$ график ниже оси: $S_1=-\int_0^1(x^2-1)\,dx=-\left(\frac13-1\right)=\frac23$. На $[1;2]$ выше: $S_2=\int_1^2(x^2-1)\,dx=\left(\frac83-2\right)-\left(\frac13-1\right)=\frac43$. Итого $S=\frac23+\frac43=2$.

Для сравнения: $\int_0^2(x^2-1)\,dx=\frac23$ — это не площадь, а разность кусков.

Ответ: $2$.

{"questions":[{"content":"Известно, что $\\int_0^3(x^2-2x)\\,dx=0$. Чему равна площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2-2x$, осью $Ox$ и прямой $x=3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac83$","$0$","$-\\frac43$","$\\frac43$"],"explanations":["","Это интеграл по всему отрезку: кусок под осью и кусок над осью вычлись друг из друга","Взят только кусок под осью, и минус не снят: площадь не бывает отрицательной","Учтен только один кусок фигуры"],"answer":[0]}},"hints":["График пересекает ось $Ox$ при $x=0$ и $x=2$: на $[0;2]$ он ниже оси, на $[2;3]$ выше.","$S_1=-\\int_0^2(x^2-2x)\\,dx=\\frac43$, $S_2=\\int_2^3(x^2-2x)\\,dx=\\frac43$.","$S=\\frac43+\\frac43=\\frac83$; интеграл $0$ — разность кусков, а не площадь."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите площадь области между кривой $y=x^2-2x$, осью $Ox$ и вертикальной прямой $x=4$ (область лежит между $x=0$ и $x=4$). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["График пересекает $Ox$ при $x=2$: на $[0;2]$ он ниже оси, на $[2;4]$ выше.","$S=-\\int_0^{2}(x^2-2x)\\,dx+\\int_{2}^{4}(x^2-2x)\\,dx=\\frac{4}{3}+\\frac{20}{3}$.","$S=8$; интеграл по всему отрезку равен $\\frac{16}{3}$ — он не дает площадь."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте фигуру на отрезке $[a;b]$ и интеграл, равный ее площади.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Фигура под графиком $y=f(x)$, где $f(x)\\ge0$","Фигура между осью $Ox$ и графиком $y=f(x)$, где $f(x)\\le0$","Фигура между графиками: $y=f(x)$ сверху, $y=g(x)$ снизу"],"items":["$\\int_a^bf(x)\\,dx$","$-\\int_a^bf(x)\\,dx$","$\\int_a^b(f(x)-g(x))\\,dx$","$\\int_a^b(g(x)-f(x))\\,dx$"]}},"instruction":"Сопоставьте фигуры и формулы","hints":["Высота полоски — верх минус низ.","Под графиком $f\\ge0$: $f(x)-0$; под осью при $f\\le0$: $0-f(x)$; между графиками: $f(x)-g(x)$.","Ответ: $\\int_a^bf(x)\\,dx$; $-\\int_a^bf(x)\\,dx$; $\\int_a^b(f(x)-g(x))\\,dx$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Интеграл превращает сумму тонких полосок в число, и поэтому через него считают площади фигур с кривыми границами, путь по графику скорости, разрыв между движущимися телами. Чтобы не ошибиться, достаточно помнить одну полоску: ее высота — верх минус низ.

Пределы, если их нет в условии, — корни уравнения $f(x)=g(x)$. Отрицательный результат для площади — сигнал, что верх и низ перепутаны.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли сразу взять модуль интеграла по всему отрезку?

Только если на всем отрезке одна и та же кривая сверху. Иначе куски вычитаются друг из друга еще до модуля: для $y=x^2-1$ на $[0;2]$ модуль интеграла равен $\frac23$, а площадь равна $2$. Сначала разбейте отрезок на куски.

Нужно ли знать, где проходит ось, если фигура между двумя кривыми?

Нет. Высота полоски $f(x)-g(x)$ не меняется, если обе кривые сдвинуть вверх или вниз. Поэтому формула $\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx$ верна и тогда, когда часть фигуры лежит под осью $Ox$.

Что делать, если кривые пересекаются в трех точках?

Получится два куска, и в каждом нужно заново выяснить, что сверху. Например, $y=x^3$ и $y=x$ пересекаются при $x=-1$, $0$, $1$: на $[-1;0]$ выше кубическая парабола, на $[0;1]$ — прямая. Каждый кусок имеет площадь $\frac14$, вся фигура — $\frac12$.

Как проверить ответ без вычислений?

Оцените фигуру прямоугольником или треугольником. Фигура между $y=x$ и $y=x^2$ лежит внутри треугольника под прямой $y=x$ на $[0;1]$ с площадью $\frac12$, и ответ $\frac16$ меньше этого числа. Отрицательная площадь или площадь больше охватывающего прямоугольника означает ошибку.

Награды за урок