Предел и непрерывность функции

Содержание

Вы уже умеете строить графики функций и находить значение функции в точке. В этом уроке рассмотрим, что происходит с функцией рядом с точкой: введем понятие предела, узнаем, какую функцию называют непрерывной и где у графика бывают разрывы. Без этих понятий нельзя определить производную — главный инструмент следующих уроков.

Как измерить скорость за одно мгновение

Спидометр показывает скорость в каждый момент. Но скорость — это путь, деленный на время. За одно мгновение тело проходит путь $0$ м за время $0$ с, а делить на нуль нельзя. Как же тогда узнать скорость именно в момент $t = 1$ с?

Рассмотрим падающий камень. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, за $t$ секунд он пролетает примерно $s = 5t^2$ метров. Камень отпущен без начальной скорости, время $t$ отсчитываем от момента отпускания. Мгновение измерить нельзя, но можно взять короткий промежуток от $t = 1$ до $t = 1+\Delta t$ и найти на нем среднюю скорость: пройденный путь разделить на длительность промежутка $\Delta t$.

Промежуток $\Delta t$, с	Путь, м	Средняя скорость, м/с
$1$	$5 \cdot 2^2-5 = 15$	$15$
$0{,}1$	$1{,}05$	$10{,}5$
$0{,}01$	$0{,}1005$	$10{,}05$
$0{,}001$	$0{,}010005$	$10{,}005$

Чем короче промежуток, тем ближе средняя скорость к $10$ м/с. Если брать промежутки «назад», до момента $t = 1$ (при $\Delta t = -0{,}1$ это промежуток от $0{,}9$ до $1$ с: длительность $0{,}1$ с, а знак показывает, что конец сдвинут назад), получим $\dfrac{5 \cdot 0{,}9^2-5}{-0{,}1} = 9{,}5$ и при $\Delta t = -0{,}01$ число $9{,}95$ — снова все ближе к $10$. Значения подходят к числу $10$ с обеих сторон, хотя при $\Delta t = 0$ формулу применить нельзя.

Средняя скорость камня на числовой прямой: при Δt = 1, 0,1, 0,01 справа и Δt = −0,1, −0,01 слева значения 15; 10,5; 10,05 и 9,5; 9,95 приближаются к 10 — Средние скорости подходят к 10 м/с и справа, и слева, хотя при Δt = 0 считать нечего

Число, к которому подходят значения, и называют пределом. Вопрос о спидометре оставим открытым до конца урока.

{"questions":[{"content":"Найдите значения $x^2$ при $x = 1{,}9$; $1{,}99$; $1{,}999$. К какому числу они приближаются, когда $x$ приближается к $2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$1{,}9^2 = 3{,}61$, $1{,}99^2 = 3{,}9601$, $1{,}999^2 = 3{,}996001$.","Значения все ближе к $4$.","Ответ: $4$."],"step":1}],"mix":1}

Предел — куда приводит дорога по графику

Рассмотрим функцию $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$. В точке $x = 1$ знаменатель равен нулю, значения нет. Посмотрим на точки рядом: $f(0{,}9) = 1{,}9$; $f(0{,}99) = 1{,}99$; $f(1{,}01) = 2{,}01$; $f(1{,}001) = 2{,}001$. Когда $x$ подходит к $1$ слева и справа, значения подходят к $2$.

Представьте, что вы идете по графику к точке $x = 1$ с двух сторон. Обе дороги ведут на высоту $2$, но в самой точке на графике пропуск — выколотая точка. Куда приводит дорога, и есть предел. Что стоит в самой точке, на предел не влияет.

График y = (x² − 1)/(x − 1): прямая y = x + 1 с выколотой точкой (1; 2); слева и справа график приближается к высоте 2, поэтому предел равен 2, хотя значения в точке нет — Обе дороги ведут на высоту 2: предел равен 2, хотя значения в точке 1 нет

Определение

Число $L$ называют пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если значения $f(x)$ становятся сколь угодно близки к $L$, когда $x$ достаточно близко подходит к $a$ с обеих сторон ($x \ne a$). Записывают так:

Читают: «предел $f(x)$ при $x$, стремящемся к $a$, равен $L$».

Если функция определена по обе стороны от $a$ (даже когда в самой точке значения нет, как у дроби в точке $1$), подходим с обеих сторон. Если только с одной, как у $\sqrt{x}$ в нуле, — с этой одной.

$$\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$$

Пример

Найдем $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$.

1) Подставить $x = 1$ нельзя: получится $0 : 0$. Но предел смотрит на точки рядом, где $x \ne 1$.

2) При $x \ne 1$ разложим числитель: $\dfrac{x^2-1}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$.

3) Когда $x$ подходит к $1$, значение $x+1$ подходит к $1+1 = 2$.

Ответ: $2$. Это совпадает с вычисленными выше значениями и с графиком: дорога ведет на высоту $2$.

Ошибка

Как ошибаются. «При $x = 1$ получается $0 : 0$, на нуль делить нельзя — значит, предела нет».

Проверка на числах. $f(0{,}999) = 1{,}999$, $f(1{,}0001) = 2{,}0001$: значения рядом с точкой подходят к $2$, никакого деления на нуль в них нет.

Где ломается рассуждение. Подставили саму точку, а предел про нее не спрашивает: он описывает дорогу к точке. Запись $0 : 0$ означает только одно: сразу ответ не виден, выражение нужно упростить.

Правило

Предел многочлена в точке $a$ равен его значению в $a$, поэтому его находят подстановкой: $\lim\limits_{x\to 2}(x^2+3x) = 4+6 = 10$. Если подстановка в дробь дает $0 : 0$, сначала упрощают выражение при $x \ne a$ (например, сокращают дробь), затем ищут предел. Если и после этого подставить нельзя (так у $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$ при $x \to 0$), смотрят на поведение значений рядом с точкой.

Повышенная сложность: что значит «сколь угодно близко»

Скрыть

Строгая форма определения: для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения с $0 < \lvert x-a \rvert < \delta$ выполнено $\lvert f(x)-L \rvert < \varepsilon$. Словами: какую бы узкую полосу вокруг высоты $L$ ни задали, рядом с $a$ найдется участок, где график не выходит из этой полосы. Такая запись сложилась в XIX веке в работах О. Коши и К. Вейерштрасса.

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\lim\\limits_{x\\to 3}(2x+1)$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Предел — число, к которому приближается $2x+1$, когда $x$ приближается к $3$.","$2 \\cdot 3 + 1 = 7$.","Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Вообразавр подставил $x = 3$ в $\\dfrac{x^2-9}{x-3}$, получил $0 : 0$ и решил, что предела при $x \\to 3$ нет. Как исправить рассуждение и чему равен предел?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: при $0 : 0$ предела не бывает","При $x \\ne 3$ дробь равна $x+3$, поэтому предел равен $6$","Предел равен $1$, потому что $0 : 0 = 1$","Предел равен $0$, потому что числитель равен нулю"],"explanations":["Функция не определена в точке $3$, но предел смотрит на значения рядом с ней и существует","","Запись $0 : 0$ не имеет значения: выражение нужно упростить, а не приравнивать к числу","Числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно, их отношение не обязано быть нулем"],"answer":[1]}},"hints":["При $x \\ne 3$ разложите числитель: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.","Сократите дробь: получится $x+3$.","Когда $x$ приближается к $3$, $x+3$ приближается к $6$.","Ответ: $6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Непрерывность: график рисуют без отрыва карандаша

Возьмем $g(x) = x^2$ и точку $x = 3$. Слева $g(2{,}9) = 8{,}41$, справа $g(3{,}1) = 9{,}61$: значения подходят к $9$, и $g(3) = 9$. Дорога приводит ровно туда, где точка графика уже стоит. Предел и значение совпадают, и график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Такие функции называют непрерывными.

Определение

Функцию $f(x)$ называют непрерывной в точке $a$, если она определена в этой точке и ее предел в точке $a$ равен значению в ней:

Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.

$$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Правило

Дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ с многочленами непрерывна в каждой точке $a$, где $Q(a) \ne 0$. В точках, где $Q(a) = 0$, значения нет, поэтому там функция не непрерывна.

Что проверяем	Вопрос	Метафора
Значение $f(a)$	Определена ли функция в точке?	Стоит ли точка на месте
Предел	К чему подходят значения слева и справа?	Куда ведут обе дороги
Равенство	Совпадает ли предел со значением?	Приводят ли дороги в эту точку

Пример

Функция задана двумя формулами: $f(x) = x^2$ при $x < 1$ и $f(x) = 2x-1$ при $x \ge 1$. Непрерывна ли она в точке $x = 1$?

1) Значение: $f(1) = 2 \cdot 1-1 = 1$.

2) Слева от $1$ работает формула $x^2$, значения подходят к $1^2 = 1$.

3) Справа работает формула $2x-1$, значения подходят к $2 \cdot 1-1 = 1$.

4) Обе дороги ведут на высоту $1$, и точка $(1;1)$ стоит там же.

Ответ: функция непрерывна в точке $1$; два куска графика стыкуются без разрыва.

Непрерывны на всей области определения многочлены, дробно-рациональные функции (кроме точек, где знаменатель равен нулю, — там их просто нет), а также $y = \sqrt{x}$, $y = \sin x$, $y = \cos x$. Поэтому для таких функций предел в точке области определения находят подстановкой.

{"questions":[{"content":"Какая функция непрерывна в точке $x = 0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y = \\dfrac{1}{x^2}$","$y = x^2+1$","$y = \\dfrac{x}{x}$","$y = \\dfrac{1}{x}$"],"explanations":["В нуле значение не определено, график уходит вверх","","В нуле значение не определено, хотя предел $1$ существует","В нуле значение не определено, график разорван"],"answer":[1]}},"hints":["Непрерывная функция рисуется без отрыва карандаша.","У $y = x^2+1$ в точке $0$ значение $1$ и предел $1$.","У остальных есть разрыв или не определено значение в нуле."],"step":1}],"mix":1}

Где карандаш приходится отрывать

Точку, в которой функция не является непрерывной, называют точкой разрыва. По метафоре дороги рассмотрим три характерных случая разрыва: дорога ведет на высоту, где точки нет или стоит другая (устранимый разрыв), дороги слева и справа ведут на разную высоту (скачок), дорога уходит вверх или вниз без конца. Например, если $f(x) = x+1$ при $x \ne 2$ и $f(2) = 0$, обе дороги ведут на высоту $3$, а точка стоит на высоте $0$: это тоже разрыв.

Три графика: первые два около точки 1, третий — y = 1/x около точки 0. Непрерывность — обе дороги приходят в закрашенную точку (1; 1); скачок — функция определена в точке 1 (f(1) = 3), но слева и справа график приходит в разные места; уход в бесконечность — график y = 1/x у оси y — Непрерывность — когда обе дороги приводят в стоящую точку; скачок и уход в бесконечность — разрывы

Вид	Что видно	Пример
Устранимый разрыв (выколотая точка)	Конечный предел есть, а значения нет или оно другое	$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ при $x = 1$
Скачок	Слева и справа значения подходят к разным числам	$x^2$ при $x < 1$, $2x+1$ при $x \ge 1$
Уход в бесконечность	Модуль значений неограниченно растет	$\dfrac{1}{x}$ при $x = 0$

Ошибка

Как ошибаются. «Функция $f(x) = x^2$ при $x < 1$ и $f(x) = 2x+1$ при $x \ge 1$ определена в точке $1$: $f(1) = 3$. Значит, она непрерывна».

Проверка на числах. $f(0{,}99) = 0{,}9801$, $f(0{,}999) = 0{,}998001$: слева значения подходят к $1$, а в самой точке стоит $3$.

Где ломается рассуждение. Проверили только первое условие — точка стоит. Не проверили второе: приводит ли к ней дорога. Левая дорога ведет на высоту $1$, и карандаш приходится поднять до $3$.

У дробно-рациональной функции разрывы искать проще всего: дробь непрерывна везде, где знаменатель не равен нулю. Значит, точки разрыва — корни знаменателя. Например, у $y = \dfrac{x+2}{x^2-16}$ знаменатель $x^2-16 = (x-4)(x+4)$ обращается в нуль при $x = 4$ и $x = -4$ — это и есть точки разрыва. Во всех остальных точках график идет без отрыва карандаша.

Правило

Функция непрерывна в точке $a$, когда выполнены три условия: значение $f(a)$ есть, предел при $x \to a$ существует, и он равен $f(a)$. Если не выполнено хотя бы одно, $a$ — точка разрыва: значения нет, или общего конечного предела нет, или предел и значение различны.

Вернемся к спидометру. Для падающего камня средняя скорость на промежутке от $1$ до $1+\Delta t$ равна $\dfrac{5(1+\Delta t)^2-5}{\Delta t} = 10+5\Delta t$ при $\Delta t \ne 0$. При $\Delta t = 0$ значения нет — это выколотая точка, как в примере с дробью. Но предел есть: $\lim\limits_{\Delta t\to 0}(10+5\Delta t) = 10$. Именно это число и называют скоростью в момент $t = 1$ с: $10$ м/с. Так математически определяют мгновенную скорость; спидометр показывает ее с хорошей точностью, измеряя путь за очень малое время.

{"questions":[{"content":"Вообразавр: «Функция $f(x) = x+1$ при $x < 2$ и $f(x) = 5$ при $x \\ge 2$ определена в точке $2$, значит, непрерывна». В чем ошибка? Непрерывна ли она в точке $x = 2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: справа значения равны $5$ и $f(2) = 5$","Да: функция задана в точке $2$","Нет: слева значения приближаются к $3$, справа равны $5$, общего предела нет","Нет: предел слева равен $5$"],"explanations":["Проверили только правую дорогу: слева значения подходят к $3$, а предел требует совпадения с обеих сторон","Определенности в точке мало: предел должен совпадать со значением","","Предел слева равен $3$, а $5$ — значение в точке и значения справа"],"answer":[2]}},"hints":["Слева от $2$ значения $x+1$ приближаются к $3$.","Справа значения равны $5$. Слева значения подходят к $3$, справа к $5$: общего предела нет.","Ответ: не непрерывна, хотя $f(2) = 5$ существует."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите точку разрыва функции $y = \\dfrac{x+2}{x-5}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Дробь непрерывна там, где знаменатель не равен нулю.","$x-5 = 0$ при $x = 5$.","Ответ: $5$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Предел отвечает на вопрос «куда ведет дорога к точке», а значение — «что стоит в самой точке». Непрерывность — это когда ответы совпадают. С помощью предела в следующем уроке мгновенная скорость превратится в производную — показание «спидометра» графика.

Случай	Что говорит модель «дорога к точке»
Предел $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$	Обе дороги к точке $a$ ведут на высоту $L$
Получилось $0 : 0$	Точку не видно — упростите выражение и посмотрите на дорогу
Непрерывность	Дороги приводят ровно в стоящую точку
Выколотая точка	Дорога есть, точки нет
Уход в бесконечность	Дорога уходит вверх или вниз без конца, высоты нет
Скачок	Дороги слева и справа ведут на разную высоту

Часто задаваемые вопросы

Может ли предел существовать, если значения функции в точке нет?

Да. Предел описывает значения рядом с точкой, а не в ней. Пример: $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ не определена при $x = 1$, а ее предел в этой точке равен $2$.

Чем предел отличается от значения функции?

Значение — число в самой точке, его находят подстановкой. Предел — число, к которому подходят значения при приближении к точке. У непрерывной функции они равны. При разрыве либо значения нет, либо конечного предела нет, либо оба существуют, но различаются.

Всегда ли предел находят подстановкой?

Нет, только для функций, непрерывных в этой точке: многочленов, дробей с ненулевым знаменателем, корня (внутри области определения; в нуле — справа), синуса, косинуса. Если подстановка дает $0 : 0$, выражение сначала упрощают; но и после сокращения подстановка не всегда возможна: у $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1}{x}$ при $x \to 0$ слева и справа значения $-100$ и $100$ (при $x = \pm 0{,}01$), конечного предела нет.

Почему в определении предела говорят «с обеих сторон»?

Если дороги слева и справа ведут на разную высоту, одного числа, к которому подходят значения, нет. Так у функции $x^2$ при $x < 1$ и $2x+1$ при $x \ge 1$: слева значения подходят к $1$, справа — к $3$, и предела в точке $1$ нет.

Зачем нужны пределы, если в ЕГЭ их нет?

На пределе держится определение производной: скорость в мгновение — это предел средней скорости. Задания ЕГЭ на производную опираются именно на эту идею.

Следующий урок

Средняя скорость на промежутке $\Delta t$ превратится в отношение приращений функции и аргумента, а ее предел при $\Delta t \to 0$ — в производную. Разберем это в уроке «Определение производной».

Повторите

Функции и графики: как читать график и находить значение функции в точке.
Разложение на множители: оно нужно, чтобы сокращать дроби при вычислении пределов.

Тест урока

Проверьте себя: пройдите тест урока — вычисление пределов и поиск точек разрыва.

Награды за урок