Простейшие показательные уравнения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]На рисунке — график функции $y = 2^x$ и прямая $y = 4$. Найдите корень уравнения $2^x = 4$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ky0zyhuh0pxj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Корень уравнения — абсцисса точки пересечения графика и прямой.","Прямая $y = 4$ пересекает график в точке с абсциссой $2$.","Проверка: $2^{2} = 4$. Ответ: $2$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]На рисунке — график функции $y = 3^x$ и прямая $y = 1$. Найдите корень уравнения $3^x = 1$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/6387fvf4g9zv.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Корень уравнения — абсцисса точки пересечения графика и прямой.","Прямая $y = 1$ пересекает график в точке с абсциссой $0$.","Проверка: $3^{0} = 1$. Ответ: $0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Уравнение $2^{x+1} = 2^{3x}$ равносильно уравнению [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x+1=2\\cdot3x$","$2(x+1)=3x$","$x+1=3x$","$x+1+2=3x$"],"answer":2}},"hints":["Основание одно и то же, положительное и не равное единице.","Значит, равны показатели.","Ответ: $x+1=3x$."],"step":1},{"id":"2","content":"Уравнение $5^{x^2} = 5^{2x+3}$ равносильно уравнению [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$x=2x+3$","$x^2=2x+3$","$x^2=5(2x+3)$","$x^2+5=2x+3$"],"answer":1}},"hints":["Основание одно и то же, положительное и не равное единице.","Значит, равны показатели.","Ответ: $x^2=2x+3$."],"step":1},{"id":"3","content":"При каких значениях $c$ уравнение $\\left(\\sqrt{2}\\right)^x = c$ имеет отрицательный корень?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$c < 1$","$0 < c < 1$","$c > 1$","$c > 0$"],"explanations":["Этого мало: при $c \\le 0$ корней нет вовсе, так как значения функции положительны","","При $c > 1$ корень положительный: функция возрастает, а при $x = 0$ равна $1$","При $c > 0$ корень есть, но он отрицателен не всегда: при $c \\ge 1$ корень неотрицателен"],"answer":[1]}},"hints":["Корень существует только при $c > 0$. Функция $y = \\left(\\sqrt{2}\\right)^x$ возрастает, а при $x = 0$ ее значение равно $1$.","Отрицательному $x$ соответствует значение функции меньше $1$ (например, $x = -2$ дает $\\frac1{2}$), и это значение положительно.","Значит, нужны $c > 0$ и $c < 1$. Ответ: $0 < c < 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"При каких значениях $c$ уравнение $\\left(\\sqrt{3}\\right)^x = c$ имеет отрицательный корень?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$c > 1$","$c < 1$","$0 < c < 1$","$c > 0$"],"explanations":["При $c > 1$ корень положительный: функция возрастает, а при $x = 0$ равна $1$","Этого мало: при $c \\le 0$ корней нет вовсе, так как значения функции положительны","","При $c > 0$ корень есть, но он отрицателен не всегда: при $c \\ge 1$ корень неотрицателен"],"answer":[2]}},"hints":["Корень существует только при $c > 0$. Функция $y = \\left(\\sqrt{3}\\right)^x$ возрастает, а при $x = 0$ ее значение равно $1$.","Отрицательному $x$ соответствует значение функции меньше $1$ (например, $x = -2$ дает $\\frac1{3}$), и это значение положительно.","Значит, нужны $c > 0$ и $c < 1$. Ответ: $0 < c < 1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $4^x = 32$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"]}},"hints":["Запишем обе части степенью числа $2$: $4 = 2^{2}$, $32 = 2^{5}$.","$2^{2x} = 2^{5}$, откуда $2x = 5$.","Ответ: $2{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $25^x = 125$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["1,5","1.5"]}},"hints":["Запишем обе части степенью числа $5$: $25 = 5^{2}$, $125 = 5^{3}$.","$5^{2x} = 5^{3}$, откуда $2x = 3$.","Ответ: $1{,}5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $\\left(\\frac12\\right)^x = 16$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Запишем основание степенью: $\\frac12 = 2^{-1}$, поэтому левая часть равна $2^{-x}$.","$16 = 2^{4}$, значит $2^{-x} = 2^{4}$ и $-x = 4$.","Проверка: $\\left(\\frac12\\right)^{-4} = 16$. Ответ: $-4$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $(0{,}2)^x = 125$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Запишем основание степенью: $\\frac15 = 5^{-1}$, поэтому левая часть равна $5^{-x}$.","$125 = 5^{3}$, значит $5^{-x} = 5^{3}$ и $-x = 3$.","Проверка: $(0{,}2)^{-3} = 125$. Ответ: $-3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр решает уравнение $2^x = -8$ так: «$-8 = 2^{-3}$, поэтому $2^x = 2^{-3}$ и $x = -3$». Где ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["В вычислении показателя","В записи правой части","В переходе к равенству показателей","В проверке найденного числа"],"explanations":["Показатель посчитан правильно для выбранной записи; неверна сама запись правой части","","Переход к показателям выполнен верно для той записи, которую взял Решавр; ошибка раньше: равенство $-8 = 2^{-3}$ неверно","Проверки в решении нет, а найденное число не подходит: левая часть положительна, правая отрицательна"],"answer":[1]}},"hints":["Левая часть $2^x$ положительна при любом $x$, а правая равна $-8$.","Число $-8$ нельзя записать степенью положительного числа, равенство $-8 = 2^{-3}$ неверно.","Ответ: ошибка в первом равенстве, корней нет."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр решает уравнение $\\left(\\frac12\\right)^x = -4$ так: «$-4 = \\left(\\frac12\\right)^{-2}$, поэтому $\\left(\\frac12\\right)^x = \\left(\\frac12\\right)^{-2}$ и $x = -2$». Где ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["В переходе к равенству показателей","В проверке найденного числа","В записи правой части","В вычислении показателя"],"explanations":["Переход к показателям выполнен верно для той записи, которую взял Решавр; ошибка раньше: равенство $-4 = \\left(\\frac12\\right)^{-2}$ неверно","Проверки в решении нет, а найденное число не подходит: левая часть положительна, правая отрицательна","","Показатель посчитан правильно для выбранной записи; неверна сама запись правой части"],"answer":[2]}},"hints":["Левая часть $\\left(\\frac12\\right)^x$ положительна при любом $x$, а правая равна $-4$.","Число $-4$ нельзя записать степенью положительного числа, равенство $-4 = \\left(\\frac12\\right)^{-2}$ неверно.","Ответ: ошибка в первом равенстве, корней нет."],"step":1},{"id":"7","content":"Расставьте шаги решения уравнения $4^{x-1} = 8$ в верном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Запишем обе части степенью числа $2$: $4 = 2^{2}$, $8 = 2^{3}$.","Тогда $2^{2(x-1)} = 2^{3}$.","Значит, показатели равны: $2(x-1) = 3$.","Откуда $x = 2{,}5$."]}},"hints":["Сначала приведем обе части к одному основанию.","Затем приравняем показатели.","Ответ: $2{,}5$."],"step":1},{"id":"7","content":"Расставьте шаги решения уравнения $9^{x+1} = 27$ в верном порядке.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Запишем обе части степенью числа $3$: $9 = 3^{2}$, $27 = 3^{3}$.","Тогда $3^{2(x+1)} = 3^{3}$.","Значит, показатели равны: $2(x+1) = 3$.","Откуда $x = 0{,}5$."]}},"hints":["Сначала приведем обе части к одному основанию.","Затем приравняем показатели.","Ответ: $0{,}5$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\sqrt{2}\\right)^x = 16$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Запишем основание степенью: $\\sqrt{2} = 2^{\\frac12}$, левая часть равна $2^{\\frac{x}{2}}$.","Правая часть: $16 = 2^{4}$, поэтому $\\frac{x}{2} = 4$.","Отсюда $x = 8$. Ответ: $8$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\sqrt{3}\\right)^x = \\frac{1}{9}$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Запишем основание степенью: $\\sqrt{3} = 3^{\\frac12}$, левая часть равна $3^{\\frac{x}{2}}$.","Правая часть: $\\frac{1}{9} = 3^{-2}$, поэтому $\\frac{x}{2} = -2$.","Отсюда $x = -4$. Ответ: $-4$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр решает уравнение $\\left(\\frac{1}{9}\\right)^{x+1} = \\sqrt[3]{3}$: «$\\left(\\frac{1}{9}\\right)^{x+1} = 3^{2(x+1)}$, $\\sqrt[3]{3} = 3^{\\frac13}$, поэтому $2(x+1) = \\frac13$ и $x = -\\frac{5}{6}$». Где ошибка и каков верный корень?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет; корень $x = -\\frac{5}{6}$","Дробь $\\frac{1}{9}$ записана как $3^{2}$, а должно быть $3^{-2}$; корень $x = -\\frac{7}{6}$","Неверно записан корень: $\\sqrt[3]{3}$ равен $3^{3}$; корень $x = \\frac{1}{2}$","Скобка раскрыта неверно: нужно $2x+1 = \\frac13$; корень $x = -\\frac{1}{3}$"],"explanations":["Проверка: при $x = -\\frac{5}{6}$ левая часть равна $3^{-\\frac13} = \\frac{1}{\\sqrt[3]{3}}$, а не $\\sqrt[3]{3}$","","$\\sqrt[3]{3} = 3^{\\frac13}$: запись корня в решении верна","Показатель $x+1$ умножают целиком: $2(x+1) = 2x+2$; ошибка не в скобке, а в знаке показателя основания"],"answer":[1]}},"hints":["Подставьте $x = -\\frac{5}{6}$ в левую часть уравнения и сравните результат с $\\sqrt[3]{3}$.","$\\frac{1}{9} = 3^{-2}$, поэтому левая часть равна $3^{-2(x+1)}$, а не $3^{2(x+1)}$.","Тогда $-2(x+1) = \\frac13$, $x+1 = -\\frac16$, $x = -\\frac{7}{6}$. Проверка: $\\left(\\frac{1}{9}\\right)^{-\\frac16} = 3^{\\frac13} = \\sqrt[3]{3}$. Ответ: $-\\frac{7}{6}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр решает уравнение $\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{x-1} = \\sqrt[3]{5}$: «$\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{x-1} = 5^{2(x-1)}$, $\\sqrt[3]{5} = 5^{\\frac13}$, поэтому $2(x-1) = \\frac13$ и $x = \\frac{7}{6}$». Где ошибка и каков верный корень?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет; корень $x = \\frac{7}{6}$","Скобка раскрыта неверно: нужно $2x-1 = \\frac13$; корень $x = \\frac{2}{3}$","Неверно записан корень: $\\sqrt[3]{5}$ равен $5^{3}$; корень $x = \\frac{5}{2}$","Дробь $\\frac{1}{25}$ записана как $5^{2}$, а должно быть $5^{-2}$; корень $x = \\frac{5}{6}$"],"explanations":["Проверка: при $x = \\frac{7}{6}$ левая часть равна $5^{-\\frac13} = \\frac{1}{\\sqrt[3]{5}}$, а не $\\sqrt[3]{5}$","Показатель $x-1$ умножают целиком: $2(x-1) = 2x-2$; ошибка не в скобке, а в знаке показателя основания","$\\sqrt[3]{5} = 5^{\\frac13}$: запись корня в решении верна",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставьте $x = \\frac{7}{6}$ в левую часть уравнения и сравните результат с $\\sqrt[3]{5}$.","$\\frac{1}{25} = 5^{-2}$, поэтому левая часть равна $5^{-2(x-1)}$, а не $5^{2(x-1)}$.","Тогда $-2(x-1) = \\frac13$, $x-1 = -\\frac16$, $x = \\frac{5}{6}$. Проверка: $\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac16} = 5^{\\frac13} = \\sqrt[3]{5}$. Ответ: $\\frac{5}{6}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите корень уравнения $4^{x+1} = 8^{x-1}$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Запишем основания степенью числа $2$: $4 = 2^{2}$, $8 = 2^{3}$.","Приравняем показатели: $2(x+1) = 3(x-1)$.","Отсюда $x = 5$. Проверка: 2(6) = 3(4). Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите корень уравнения $25^{x-1} = 125^{x-3}$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Запишем основания степенью числа $5$: $25 = 5^{2}$, $125 = 5^{3}$.","Приравняем показатели: $2(x-1) = 3(x-3)$.","Отсюда $x = 7$. Проверка: 2(6) = 3(4). Ответ: $7$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>