Предел последовательности

Содержание

В уроке о сложных процентах последовательность сумм вклада росла шаг за шагом. Здесь нас интересует другое: куда приближаются члены последовательности, когда номер $n$ растет без границы. Разберем, что такое предел последовательности, как находить пределы дробей и как сложить бесконечно много членов геометрической прогрессии.

Вопрос урока: число $0{,}999\ldots$ с бесконечным числом девяток меньше единицы или равно ей?

Члены последовательности подходят все ближе к одному числу

Выпишем первые члены последовательности $a_n=\frac{1}{n}$: $1;\ \frac12;\ \frac13;\ \frac14;\ \ldots;\ \frac{1}{10}$. Каждый следующий член меньше предыдущего, но все они положительны. При $n=100$ член равен $0{,}01$, при $n=1000$ — уже $0{,}001$.

Отметим члены точками: по горизонтали — номер $n$, по вертикали — значение $a_n$. Точки опускаются к горизонтальной оси, и чем дальше вправо, тем меньше расстояние до нее. При этом ни одна точка на ось не ложится: дробь $\frac{1}{n}$ не равна нулю ни при каком $n$.

Точки (n; 1/n) для n от 1 до 10 опускаются к горизонтальной оси и не ложатся на нее — Точки (n; 1/n) с ростом номера опускаются к горизонтальной оси все ближе, но ни одна на нее не ложится

Так ведут себя многие последовательности: $\frac{2}{n}$, $\frac{1}{n^2}$, $5+\frac{1}{n}$. У первых двух члены приближаются к нулю, у третьей — к числу $5$. Чтобы сказать точно, что значит «приближаются», нужен способ измерять близость.

{"questions":[{"content":"К какому числу приближаются члены последовательности $4-\\frac{2}{n}$ при росте $n$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Дробь $\\frac{2}{n}$ с растущим знаменателем становится сколь угодно малой.","Значит, $4-\\frac{2}{n}$ все ближе к $4$.","Ответ: $4$."],"step":1}],"mix":1}

Трубка вокруг числа: сколько точек остается снаружи

Проведем вокруг прямой $a=0$ полосу: от $-0{,}1$ до $0{,}1$. Назовем ее трубкой с отступом $0{,}1$ в каждую сторону от нуля. Какие точки графика $\frac{1}{n}$ лежат внутри? Нужно $\frac{1}{n}<0{,}1$, то есть $n>10$. Значит, все члены, начиная с $11$-го, внутри трубки. Снаружи остались только $10$ первых; точка $n=10$ лежит ровно на границе $0{,}1$ и внутрь не входит.

Сузим трубку до $0{,}01$. Теперь нужно $n>100$: снаружи $100$ членов, но все остальные, бесконечно много, снова внутри. Какую бы узкую трубку ни взять, снаружи окажется лишь конечное число первых членов.

Трубка от −0,1 до 0,1 вокруг нуля: члены 1/n с 11-го номера внутри, первые десять снаружи — В трубку от −0,1 до 0,1 входят все члены 1/n начиная с 11-го; снаружи — только первые десять

Пример 1

Последовательность $a_n=\frac{1}{n}$. Найдите наименьший номер $N$, начиная с которого все члены лежат в трубке от $-0{,}01$ до $0{,}01$.

Решение. Члены положительны, поэтому достаточно условия $\frac{1}{n}<0{,}01$. Оно равносильно $n>100$. При $n=100$ член равен $0{,}01$ — это граница, она в трубку не входит. Первый номер внутри — $101$, и все следующие члены еще меньше.

Ответ: $N=101$.

predel-posledovatelnosti-trubka

{"questions":[{"content":"Последовательность $a_n = \\frac{1}{n}$ имеет предел $0$. Сколько ее членов не лежат в интервале $(-0{,}04;\\ 0{,}04)$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Член лежит вне интервала, если $\\frac{1}{n} \\ge 0{,}04$.","Это равносильно $n \\le 25$.","Подходят $n = 1, 2, \\ldots, 25$. Ответ: $25$."],"step":1},{"content":"Последовательность $a_n=\\frac{3}{n}$ имеет предел $0$. Найдите наименьший номер $N$, начиная с которого все ее члены лежат в интервале $(-0{,}1;\\ 0{,}1)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"31"}},"hints":["Член лежит в интервале, если $\\frac{3}{n}<0{,}1$.","Это равносильно $n>30$; при $n=30$ член равен ровно $0{,}1$ и в интервал не попадает.","Ответ: $31$."],"step":1}],"mix":1}

Число, в любую трубку вокруг которого входят почти все члены

Отступ трубки от числа в каждую сторону обозначают греческой буквой $\varepsilon$ («эпсилон»). Точка $a_n$ лежит в трубке вокруг числа $a$, если расстояние от $a_n$ до $a$ меньше $\varepsilon$, то есть $\lvert a_n-a \rvert<\varepsilon$. Интервал $(a-\varepsilon;\ a+\varepsilon)$ называют окрестностью числа $a$. В примере 1 было $a=0$, $\varepsilon=0{,}01$, $N=101$.

Определение

Число $a$ называют пределом последовательности $(a_n)$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется номер $N$, начиная с которого все члены лежат в трубке вокруг $a$:

Записывают $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ и говорят: «$a_n$ стремится к $a$». Последовательность, у которой есть предел, называют сходящейся, у которой нет — расходящейся.

Короче: вне любой окрестности предела остается лишь конечное число членов, а внутри — почти все. Важны два слова. «Любой»: трубку можно сузить сколько угодно, и для каждой нужен свой номер $N$. «Начиная с некоторого номера»: первые члены могут быть где угодно, их конечное число на предел не влияет.

Простейший случай — постоянная последовательность $7;\ 7;\ 7;\ \ldots$: все ее члены лежат в любой трубке вокруг $7$, поэтому ее предел равен $7$. А у последовательности $(-1)^n$ с членами $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ предела нет. Возьмем трубку вокруг $1$ с $\varepsilon=0{,}5$, то есть от $0{,}5$ до $1{,}5$: члены $-1$ из нее выпадают бесконечно много раз. То же для любого другого числа: трубка с $\varepsilon=0{,}5$ не вмещает одновременно $-1$ и $1$.

Последовательность (−1)^n: трубка от 0,5 до 1,5 вокруг числа 1 вмещает члены 1, но члены −1 всякий раз остаются снаружи — У последовательности (−1)^n трубка от 0,5 до 1,5 (ε = 0,5) вокруг числа 1 вмещает члены 1, но члены −1 каждый раз остаются снаружи: предела нет

{"questions":[{"content":"Что означает запись $\\lim_{n\\to\\infty} a_n = a$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В некоторой окрестности точки $a$ лежат все члены последовательности","Все члены последовательности меньше $a$","Некоторый член последовательности равен $a$","В любой окрестности точки $a$ лежат все члены последовательности, начиная с некоторого номера"],"explanations":["Окрестность должна быть любой, в том числе очень узкой: «в некоторой» выполняется и для расходящихся последовательностей","Члены могут быть и больше, и меньше предела, и совпадать с ним","Предел не обязан быть членом последовательности",""],"answer":[3]}},"hints":["В определении окрестность выбирают любой малой.","Какое бы малое число $\\varepsilon$ ни взять, начиная с некоторого номера $\\lvert a_n-a \\rvert < \\varepsilon$.","Ответ: в любой окрестности точки $a$ лежат все члены, начиная с некоторого номера."],"step":1},{"content":"Число $a$ — предел последовательности, если в любой окрестности точки $a$ лежат [[fill_choice-1]] члены последовательности.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["почти все","хотя бы один","ровно один","половина"],"answer":0}},"hints":["Вспомните: сколько членов может оказаться вне маленькой окрестности?","Вне окрестности может остаться лишь конечное число членов — значит, внутри лежат почти все.","Ответ: почти все."],"step":1}],"mix":1}

Предел может так и не встретиться среди членов

Сравним две последовательности с пределом $2$. У первой $a_n=2-\frac{1}{n}$: $1;\ 1{,}5;\ 1{,}667;\ \ldots;\ 1{,}999$ при $n=1000$. Все члены меньше $2$. У второй члены с четными номерами равны $2$, а с нечетными равны $2+\frac{1}{n}$: $3;\ 2;\ 2{,}333;\ 2;\ 2{,}2;\ 2;\ \ldots$ На графике первая подходит к прямой $a=2$ снизу и не касается ее, вторая ложится на прямую через одну точку.

Две последовательности с пределом 2: 2 − 1/n никогда не равна 2, вторая равна 2 через один член — У обеих последовательностей предел 2: слева члены не равны 2 ни разу, справа — через один. Определению важно попадание в трубку, а не равенство

Ошибка

Рассуждают так: «Члены $2-\frac{1}{n}$ никогда не равны $2$, значит, $2$ — не предел; предел должен когда-нибудь получиться».

Проверка на числах: $\lvert a_n-2 \rvert=\frac{1}{n}$. Для трубки $\varepsilon=0{,}01$ годится $N=101$, для $\varepsilon=0{,}001$ — $N=1001$. Номер находится для любой трубки, значит, по определению $\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)=2$.

Где сломалось рассуждение: в определении требуется $\lvert a_n-a \rvert<\varepsilon$, а не $a_n=a$. Предел — число, к которому члены приближаются; совпадать с каким-то членом оно не обязано, хотя может, как у второй последовательности.

{"questions":[{"content":"Предел последовательности $a_n = \\frac{1}{n}$ равен $0$. Есть ли среди ее членов нуль?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нулевой член есть, иначе нуль не мог бы быть пределом","Нулевых членов нет, поэтому предела у последовательности нет","При очень большом $n$ член становится нулем","Нулевых членов нет, но члены подходят к нулю сколь угодно близко"],"explanations":["Предел не обязан быть членом последовательности","Из того, что нуля среди членов нет, не следует отсутствие предела","При любом n дробь 1/n положительна: она лишь становится малой",""],"answer":[3]}},"hints":["Решите уравнение $\\frac{1}{n} = 0$.","Дробь с числителем 1 никогда не равна нулю.","Ответ: нулевых членов нет, но члены приближаются к 0."],"step":1},{"content":"Ученик рассуждает: «Все члены последовательности $a_n = 3-\\frac{1}{n}$ меньше $3$, и ни один из них не равен $3$. Значит, число $3$ не может быть ее пределом». Найдите ошибку в рассуждении.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Члены этой последовательности больше $3$","Ошибки нет: предел всегда равен одному из членов","Предел не обязан совпадать ни с одним членом","При очень большом $n$ член станет равен $3$"],"explanations":["При $n=1$ член равен $2$, при $n=10$ — $2{,}9$: все члены меньше $3$","Контрпример — $\\frac{1}{n}$: предел равен $0$, а нулевых членов нет","","Равенство $3-\\frac{1}{n}=3$ означало бы $\\frac{1}{n}=0$, а это неверно ни при каком $n$"],"answer":[2]}},"hints":["Вспомните трубку вокруг предела: определение требует, чтобы члены попадали в трубку, или чтобы они совпали с числом?","$\\lvert a_n-3 \\rvert = \\frac{1}{n}$, и для любой трубки ширины $\\varepsilon$ это меньше $\\varepsilon$, начиная с некоторого номера.","Ответ: предел не обязан быть членом последовательности; предел равен $3$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Предел дроби определяют старшие слагаемые

Посчитаем $a_n=\frac{5n-2}{2n+3}$ для больших номеров: при $n=10$ получаем $\frac{48}{23}\approx 2{,}087$, при $n=100$ — $\frac{498}{203}\approx 2{,}453$, при $n=1000$ — $\frac{4998}{2003}\approx 2{,}495$. Значения подходят к $2{,}5=\frac52$. При больших $n$ числа $-2$ и $3$ почти ничего не меняют: числитель близок к $5n$, знаменатель — к $2n$.

Таблица значений дроби (5n − 2)/(2n + 3) при n = 10, 100, 1000: значения приближаются к 5/2 = 2,5 — С ростом n слагаемые −2 и 3 становятся незаметны рядом с 5n и 2n: дробь приближается к 5/2

Чтобы это доказать, разделим числитель и знаменатель на $n$: $a_n=\frac{5-\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}}$. Слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{3}{n}$ стремятся к нулю, как $\frac{1}{n}$. Осталось понять, можно ли переходить к пределу в сумме и частном по частям. Можно — это свойства пределов.

Свойства пределов

Если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ и $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$, то предел суммы, разности и произведения равен сумме, разности и произведению пределов, а предел частного — частному пределов, если $b \ne 0$:

Кроме того, $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{c}{n}=0$ для любого числа $c$.

$$\lim(a_n \pm b_n)=a \pm b,\quad \lim(a_n b_n)=ab,\quad \lim\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$$

Почему верно для суммы: если $a_n$ попадает в трубку с отступом $\frac{\varepsilon}{2}$ вокруг $a$, а $b_n$ — в такую же трубку вокруг $b$, то $a_n+b_n$ отличается от $a+b$ меньше чем на $\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$. Начиная с большего из двух номеров, выполнены оба условия.

Пример 2

Найдите $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n}{4n^2-1}$.

Решение. Старшая степень $n$ в дроби — $n^2$. Разделим на $n^2$ числитель и знаменатель: $\frac{2+\frac{3}{n}}{4-\frac{1}{n^2}}$. По свойствам пределов числитель стремится к $2$, знаменатель — к $4$.

Проверка: при $n=1000$ дробь равна $\approx 0{,}5008$.

Ответ: $\frac12$.

Если старшая степень в знаменателе больше, чем в числителе, предел равен нулю. Например, $\frac{3n+1}{n^2+2}=\frac{\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}$: числитель стремится к $0$, знаменатель к $1$. При $n=1000$ дробь равна $\approx 0{,}003$.

Если старшая степень больше в числителе, дробь растет без границы и предела нет. Например, $\frac{n^2+1}{n+2}=\frac{n+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$: знаменатель стремится к $1$, а числитель растет вместе с $n$.

Ошибка

Берут отношение свободных членов: «$\frac{5n-2}{2n+3}$ стремится к $\frac{-2}{3}$, ведь эти числа не зависят от $n$». Проверка на числах: при $n=1000$ дробь равна $\approx 2{,}495$ — она положительна и далека от $-\frac23$. Где сломалось: при больших $n$ главные — слагаемые со старшей степенью, а постоянные после деления на $n$ превращаются в $\frac{c}{n}$ и исчезают.

{"questions":[{"content":"Чему равен $\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{6n+1}{3n-2}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Разделите числитель и знаменатель на $n$.","Получится $\\frac{6+1/n}{3-2/n}$; слагаемые с $\\frac{1}{n}$ стремятся к 0.","$\\frac{6}{3} = 2$. Ответ: $2$."],"step":1},{"content":"Ученик нашел предел так: «$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\frac{4n+9}{2n+3}=\\frac{9}{3}=3$, ведь числа $9$ и $3$ не меняются, когда $n$ растет». Найдите ошибку и верный предел.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Слагаемые с $n$ растут без границы; предел равен $0$","Взято отношение свободных членов; предел равен $2$","Ошибки нет; предел равен $3$","Коэффициенты надо делить наоборот; предел равен $\\frac{1}{2}$"],"explanations":["После деления на $n$ нулю стремятся только $\\frac{9}{n}$ и $\\frac{3}{n}$, остается $\\frac{4}{2}$","","При $n=1000$ дробь равна $\\frac{4009}{2003}\\approx 2{,}001$, а не близка к $3$","Это перевернутая дробь $\\frac{2}{4}$: делят коэффициент числителя на коэффициент знаменателя"],"answer":[1]}},"hints":["Посчитайте дробь при $n=1000$: к какому числу она ближе?","Разделите числитель и знаменатель на $n$: $\\frac{4+9/n}{2+3/n}$, слагаемые $\\frac{9}{n}$ и $\\frac{3}{n}$ стремятся к нулю.","Ответ: взято отношение свободных членов; предел равен $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги нахождения предела $\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{4n+7}{2n+1}$ в правильном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разделить числитель и знаменатель на $n$: $\\frac{4+7/n}{2+1/n}$","Тогда $\\frac{7}{n} \\to 0$ и $\\frac{1}{n} \\to 0$","Значит, остается предел дроби $\\frac{4}{2}$","Тогда предел равен $2$"]}},"hints":["Начните с преобразования дроби.","После деления слагаемые с $\\frac{1}{n}$ исчезают.","Ответ: $2$."],"step":1}],"mix":1}

Степени числа, меньшего единицы по модулю, уходят в ноль, и бесконечная сумма получает значение

Посчитаем степени $0{,}5$: $0{,}5;\ 0{,}25;\ 0{,}125;\ 0{,}0625;\ \ldots$ Каждая вдвое меньше предыдущей, и точки быстро входят в любую трубку вокруг нуля. У $(-0{,}5)^n$ знаки чередуются: $-0{,}5;\ 0{,}25;\ -0{,}125;\ \ldots$, но расстояние до нуля то же самое — предел тоже $0$. А степени $2$: $2;\ 4;\ 8;\ 16;\ \ldots$ растут без границы, предела нет.

Предел степени

Если $\lvert q \rvert<1$, то $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$. Если $\lvert q \rvert>1$, то $\lvert q^n \rvert$ растет без границы и предела нет.

Теперь сложим $\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ Закрасим половину квадрата площади $1$, затем половину остатка, затем снова половину остатка. Закрашено $1-\frac{1}{2^n}$, незакрашенный остаток $\frac{1}{2^n}$ стремится к нулю. Суммы подходят к $1$ — это и называют суммой бесконечной прогрессии.

Квадрат площади 1, разрезанный на части 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и остаток 1/32: суммы приближаются к 1 — Половина, четверть, восьмая… закрывают квадрат все плотнее: суммы 1/2 + 1/4 + … приближаются к 1

В общем случае сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии равна $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$. При $\lvert q \rvert<1$ множитель $q^n$ стремится к нулю, и по свойствам пределов $S_n$ стремится к $\frac{b_1}{1-q}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Суммой бесконечной геометрической прогрессии называют предел ее частичных сумм $S_n$. При $\lvert q \rvert<1$ он существует и равен

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Пример 3

Найдите сумму $2+1+\frac12+\frac14+\ldots$

Решение. $b_1=2$, $q=\frac12$, $\lvert q \rvert<1$. $S=\frac{2}{1-\frac12}=4$. Проверка частичными суммами: $2;\ 3;\ 3{,}5;\ 3{,}75;\ 3{,}875$ — каждый раз до $4$ остается вдвое меньше.

Ответ: $4$.

Ошибка

Формулу применяют при $\lvert q \rvert \ge 1$: «$1+2+4+8+\ldots=\frac{1}{1-2}=-1$». Проверка на числах: частичные суммы $1;\ 3;\ 7;\ 15$ растут без границы, и сумма положительных чисел не может быть отрицательной. Где сломалось: формула выведена из $q^n\to 0$, а при $q=2$ степени растут.

{"questions":[{"content":"Если $\\lvert q \\rvert < 1$, то предел последовательности $q^n$ равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$q$","$1$","$0$","не существует"],"answer":2}},"hints":["Возьмите $q = 0{,}5$ и найдите несколько первых степеней.","Степени $0{,}5;\\ 0{,}25;\\ 0{,}125;\\ \\ldots$ приближаются к нулю.","Ответ: $0$."],"step":1},{"content":"У геометрической прогрессии бесконечно много членов, $b_1 = 5$, $q = \\frac16$. Чему равна ее сумма? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Проверьте, что $\\lvert q \\rvert < 1$.","$S = \\frac{5}{1-\\frac16} = \\frac{5}{\\frac56}$.","$S = 6$. Ответ: $6$."],"step":1},{"content":"Ученик записал: «$3+6+12+24+\\ldots=\\frac{3}{1-2}=-3$». В чем ошибка его вывода?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, сумма действительно равна $-3$","Знаменатель найден неверно, на самом деле $q=3$","Делить нужно было на $1+q$, тогда сумма равна $1$","Формулу применили при $q=2$, а она верна только при $\\lvert q \\rvert<1$"],"explanations":["Суммы $3,\\ 9,\\ 21,\\ 45$ положительны и растут без границы","$q=6:3=2$ — знаменатель найден верно; ошибка в другом","Формула суммы — $\\frac{b_1}{1-q}$; при $\\lvert q \\rvert \\ge 1$ неприменима любая подобная формула",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма положительных чисел не может быть отрицательной: посчитайте суммы $3$, $3+6$, $3+6+12$.","Суммы $3,\\ 9,\\ 21,\\ 45,\\ \\ldots$ растут без границы: к одному числу они не приближаются.","Ответ: формула $S=\\frac{b_1}{1-q}$ верна только при $\\lvert q \\rvert<1$, а здесь $q=2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Периодическая дробь — сумма бесконечной прогрессии

Запишем $0{,}(12)=0{,}121212\ldots$ по разрядам: $0{,}12+0{,}0012+0{,}000012+\ldots$ Каждое слагаемое в $100$ раз меньше предыдущего: это геометрическая прогрессия с $b_1=0{,}12$ и $q=0{,}01$.

Пример 4

Запишите $0{,}(12)$ обыкновенной дробью.

Решение. $S=\frac{0{,}12}{1-0{,}01}=\frac{0{,}12}{0{,}99}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$. Проверка делением: $4:33=0{,}1212\ldots$

Ответ: $\frac{4}{33}$.

Вернемся к вопросу урока. $0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+\ldots$ — прогрессия с $b_1=0{,}9$ и $q=0{,}1$. Ее сумма $\frac{0{,}9}{1-0{,}1}=1$. Частичные суммы $0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999$ меньше единицы, но это не противоречие: бесконечная дробь — предел этих сумм, а предел не обязан быть одной из них. Значит, $0{,}999\ldots=1$.

Три уровня увеличения: частичные суммы 0,9; 0,99; 0,999 ближе к единице — Суммы 0,9; 0,99; 0,999 входят во все более узкие трубки вокруг 1: их предел — ровно 1

{"questions":[{"content":"Преобразуйте $0{,}(18)$ в несократимую обыкновенную дробь. Ответ запишите в виде «m/n». [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2/11"}},"hints":["$0{,}(18)=0{,}18+0{,}0018+0{,}000018+\\ldots$ — прогрессия с $b_1=0{,}18$ и $q=0{,}01$.","$S=\\frac{0{,}18}{1-0{,}01}=\\frac{0{,}18}{0{,}99}=\\frac{18}{99}$.","Сократим на $9$: $\\frac{2}{11}$. Ответ: 2/11."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Ученик утверждает: «$0{,}(9)<1$, ведь сколько девяток ни выписать, до единицы немного не хватит». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}(9)=1$: это предел сумм $0{,}9;\\ 0{,}99;\\ 0{,}999;\\ \\ldots$","$0{,}(9)=0{,}9$, остальные девятки ничего не меняют","$0{,}(9)$ — не число, значения у нее нет","$0{,}(9)<1$: разность с единицей всегда положительна"],"explanations":["","Уже $0{,}99>0{,}9$: каждая следующая девятка увеличивает сумму","Бесконечная десятичная дробь — число: предел сумм ее разрядов","Положительна разность $1$ с каждой конечной суммой, а бесконечная дробь — их предел, он равен $1$"],"answer":[0]}},"hints":["Запишите $0{,}(9)$ как сумму $0{,}9+0{,}09+0{,}009+\\ldots$ — какая это прогрессия?","$b_1=0{,}9$, $q=0{,}1$, сумма $\\frac{0{,}9}{1-0{,}1}=1$; суммы $0{,}9;\\ 0{,}99;\\ \\ldots$ лишь приближаются к ней.","Ответ: $0{,}(9)=1$ — это предел сумм, а не одна из них."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Предел — это ответ на вопрос «куда приближаемся при $n\to\infty$». Проверка всегда одна: вокруг числа строим трубку любой ширины и ищем номер, начиная с которого все члены внутри. Пределы объясняют, что такое бесконечная десятичная дробь ($0{,}(9)=1$) и откуда берется формула суммы бесконечной прогрессии. Дальше они пригодятся в уроке о пределе функции и для производной.

Случай	Что видно в трубке	Предел
$\frac{c}{n}$	точки опускаются к оси	$0$
постоянная $c$	все точки на одной прямой	$c$
члены не равны пределу	точки входят в трубку, но не ложатся на прямую	предел есть
дробь из многочленов	постоянные слагаемые незаметны	отношение старших коэффициентов, или $0$, или предела нет
$q^n$, $\lvert q \rvert<1$	расстояние до нуля умножается на $\lvert q \rvert$	$0$
бесконечная прогрессия, $\lvert q \rvert<1$	частичные суммы входят в трубку вокруг $S$	$S=\frac{b_1}{1-q}$
$(-1)^n$, $2^n$	ни одна трубка не вмещает почти все члены	предела нет

Часто задаваемые вопросы

Если предел не достигается, почему пишут знак равенства?

Равенство $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ говорит о числе $a$, а не о каком-то члене. Оно означает: для любой трубки вокруг $a$ найдется номер, начиная с которого все члены внутри. Это утверждение либо верно, либо нет — отсюда и знак равенства.

Может ли у последовательности быть два предела?

Нет. Если бы члены приближались и к $a$, и к $b \ne a$, взяли бы две трубки с отступом меньше половины расстояния между $a$ и $b$. Они не пересекаются, а почти все члены должны лежать в каждой — так не бывает.

Влияют ли первые члены на предел?

Нет. Можно изменить первые $100$ или $1000$ членов — предел останется тем же, ведь определение говорит только о членах, начиная с некоторого номера. Меняется лишь сам номер $N$.

Почему у прогрессии $1+2+4+\ldots$ суммы нет, а у $1+\frac12+\frac14+\ldots$ она есть?

Сумма бесконечной прогрессии — предел частичных сумм. У первой частичные суммы $1;\ 3;\ 7;\ 15$ растут без границы, предела нет. У второй они $1;\ 1{,}5;\ 1{,}75$ и приближаются к $2$, так что сумма равна $2$. Дело в знаменателе: при $\lvert q \rvert<1$ суммы приближаются к числу, при $\lvert q \rvert \ge 1$ — нет.

Награды за урок