Карточки
Тесты
ВПР, 7 класс, Математика: 14. Геометрические задачи: геометрические места точек: все задания
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CD$. Найдите величину угла $BCD$, если $\angle BAC=52^\circ$ и $\angle ABC=64^\circ$. Запишите решение и ответ.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACB=180^\circ-52^\circ-64^\circ=64^\circ$.
Биссектриса $CD$ делит угол $ACB$ пополам: $\angle BCD=64^\circ:2=32^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Углы $ABC$ и $ACB$ равны $71^\circ$ и $43^\circ$. Найдите угол $CAD$. Запишите решение и ответ.
Найдем угол при вершине $A$: $\angle BAC=180^\circ-71^\circ-43^\circ=66^\circ$.
Так как $AD$ — биссектриса, $\angle CAD=66^\circ:2=33^\circ$.
20
В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $ACB$ равен $90^\circ$, а угол $BAC$ равен $34^\circ$. Проведена биссектриса $BD$. Найдите угол $CBD$. Запишите решение и ответ.
Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$, поэтому $\angle ABC=90^\circ-34^\circ=56^\circ$.
Биссектриса $BD$ делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle CBD=56^\circ:2=28^\circ$.
20
В равнобедренном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны. Биссектриса $AD$ проведена к основанию $BC$, угол $ABC$ равен $68^\circ$. Найдите угол $BAD$. Запишите решение и ответ.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle ACB=\angle ABC=68^\circ$.
Тогда $\angle BAC=180^\circ-68^\circ-68^\circ=44^\circ$. Биссектриса делит этот угол пополам: $\angle BAD=44^\circ:2=22^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CD$. Известно, что $\angle BCD=24^\circ$, а $\angle BAC=61^\circ$. Найдите угол $ABC$. Запишите решение и ответ.
Поскольку $CD$ — биссектриса, $\angle ACB=2\cdot24^\circ=48^\circ$.
По сумме углов треугольника $\angle ABC=180^\circ-61^\circ-48^\circ=71^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Известно, что $\angle BAD=27^\circ$ и $\angle ABC=72^\circ$. Найдите угол $ADB$. Запишите решение и ответ.
Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому $\angle ABD=\angle ABC=72^\circ$.
В треугольнике $ABD$ получаем $\angle ADB=180^\circ-27^\circ-72^\circ=81^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $O$. Угол $ACB$ равен $68^\circ$. Найдите угол $AOB$. Запишите решение и ответ.
Сумма углов $A$ и $B$ равна $180^\circ-68^\circ=112^\circ$.
Поскольку $AO$ и $BO$ лежат на биссектрисах, $\angle OAB+\angle ABO=112^\circ:2=56^\circ$.
В треугольнике $AOB$ получаем $\angle AOB=180^\circ-56^\circ=124^\circ$.
20
Биссектрисы $AE$ и $BF$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $\angle AOB=118^\circ$. Найдите угол $ACB$. Запишите решение и ответ.
В треугольнике $AOB$ сумма углов при вершинах $A$ и $B$ равна $180^\circ-118^\circ=62^\circ$.
Биссектрисы делят углы $A$ и $B$ пополам, поэтому $\angle BAC+\angle ABC=2\cdot62^\circ=124^\circ$.
Следовательно, $\angle ACB=180^\circ-124^\circ=56^\circ$.
20
Внутри угла $AOB$, равного $74^\circ$, отмечена точка $M$. Из нее опущены перпендикуляры $MH$ и $MK$ на стороны $OA$ и $OB$, причем $MH=MK$. Найдите угол $AOM$. Запишите решение и ответ.
Длины перпендикуляров $MH$ и $MK$ — расстояния от точки $M$ до сторон угла. Они равны, поэтому точка $M$ лежит на биссектрисе угла $AOB$.
Значит, $\angle AOM=74^\circ:2=37^\circ$.
20
Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $AOB$. Перпендикуляры $MH$ и $MK$ опущены на стороны $OA$ и $OB$. Их длины равны $MH=3x-2$ см и $MK=x+6$ см. Найдите длину $MH$. Запишите решение и ответ.
Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, поэтому $MH=MK$. Составим уравнение: $3x-2=x+6$.
Получаем $2x=8$, откуда $x=4$. Тогда $MH=3\cdot4-2=10$ см.
20
Точка $M$ лежит внутри угла $AOB$ на его биссектрисе. Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MH$ и $MK$ на стороны $OA$ и $OB$. Известно, что $OM=20$ см и $\angle HOM=30^\circ$. Найдите $MK$. Запишите решение и ответ.
В прямоугольном треугольнике $OHM$ катет $MH$ лежит напротив угла $HOM$, равного $30^\circ$. Такой катет равен половине гипотенузы: $MH=20:2=10$ см.
Точка $M$ лежит на биссектрисе, поэтому расстояния до сторон угла равны: $MK=MH=10$ см.
20
Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $AOB$, равного $110^\circ$. Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MH$ и $MK$ на стороны $OA$ и $OB$; точки $H$ и $K$ лежат на соответствующих лучах. Найдите угол $HMK$. Запишите решение и ответ.
Поскольку $OM$ — биссектриса, $\angle HOM=\angle MOK=110^\circ:2=55^\circ$.
В прямоугольных треугольниках $OHM$ и $OKM$ углы при вершине $M$ равны $90^\circ-55^\circ=35^\circ$.
Луч $MO$ проходит внутри угла $HMK$, поэтому $\angle HMK=\angle HMO+\angle OMK=35^\circ+35^\circ=70^\circ$.
20
Точка $M$ находится внутри угла $AOB$. Перпендикуляры $MH$ и $MK$, опущенные на стороны $OA$ и $OB$, равны. Угол $HMO$ равен $31^\circ$. Найдите угол $AOB$. Запишите решение и ответ.
Равенство $MH=MK$ означает, что точка $M$ равноудалена от сторон угла. Поэтому $OM$ — его биссектриса.
В прямоугольном треугольнике $OHM$ получаем $\angle HOM=90^\circ-31^\circ=59^\circ$.
Значит, $\angle AOB=2\cdot59^\circ=118^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ равно $4{,}5$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до стороны $BC$. Запишите решение и ответ.
Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $ABC$, поэтому она равноудалена от его сторон $BA$ и $BC$.
Следовательно, расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ равно расстоянию до стороны $AB$, то есть $4{,}5$ см.
20
Внутри треугольника $ABC$ находится точка $O$. Из нее опущены перпендикуляры $OD$, $OE$ и $OF$ на стороны $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. Известно, что $OD=OE=OF$ и $\angle CBO=29^\circ$. Найдите угол $ABC$. Запишите решение и ответ.
Из равенства $OD=OE$ следует, что точка $O$ равноудалена от сторон угла $ABC$. Поскольку она находится внутри этого угла, луч $BO$ является его биссектрисой.
Поэтому $\angle ABC=2\cdot\angle CBO=2\cdot29^\circ=58^\circ$.
20
Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $AOB$, равного $80^\circ$. Перпендикуляры $MH$ и $MK$ опущены на стороны $OA$ и $OB$. На луче $OA$ отмечена точка $P$, причем $H$ лежит между $O$ и $P$, $OP=18$ см, $HP=5$ см. Найдите $OK$. Запишите решение и ответ.
Точка $M$ лежит на биссектрисе, поэтому $MH=MK$. Прямоугольные треугольники $OHM$ и $OKM$ равны по гипотенузе $OM$ и катету. Значит, $OH=OK$.
Так как $H$ лежит между $O$ и $P$, $OH=OP-HP=18-5=13$ см. Следовательно, $OK=13$ см.
20
Внутри угла $AOB$ отмечена точка $M$. Перпендикуляры $MH$ и $MK$ опущены на стороны $OA$ и $OB$, причем $MH=MK$. Известно, что $OH=2x+3$ см и $OK=4x-7$ см. Найдите сумму длин $OH$ и $OK$. Запишите решение и ответ.
Прямоугольные треугольники $OHM$ и $OKM$ равны по общей гипотенузе $OM$ и равным катетам $MH$ и $MK$. Поэтому $OH=OK$.
Составим уравнение: $2x+3=4x-7$. Получаем $2x=10$, откуда $x=5$.
Тогда $OH=2\cdot5+3=13$ см и $OK=13$ см. Их сумма равна $13+13=26$ см.
20
Биссектрисы углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Угол $ACB$ равен $60^\circ$, $CI=18$ см. Из точки $I$ опущен перпендикуляр $IF$ на сторону $AC$. Найдите длину $IF$. Запишите решение и ответ.
Точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому ее расстояния до сторон $AB$ и $AC$ равны. Она также лежит на биссектрисе угла $B$, поэтому ее расстояния до $AB$ и $BC$ равны.
Значит, точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$ и лежит на биссектрисе угла $C$. Тогда $\angle ICF=60^\circ:2=30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $CFI$ катет $IF$ лежит напротив угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы: $IF=18:2=9$ см.
20
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Известно, что $MA=13$ см и $AB=10$ см. Найдите периметр треугольника $AMB$. Запишите решение и ответ.
Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому $MB=MA=13$ см.
Периметр треугольника $AMB$ равен $13+13+10=36$ см.
20
Точка $M$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Перпендикуляр $MO$ пересекает $AB$ в точке $O$, лежащей между $A$ и $B$. Известно, что $AO=7$ см. Найдите длину $AB$. Запишите решение и ответ.
Равноудаленная от $A$ и $B$ точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Поэтому основание перпендикуляра $O$ является серединой отрезка: $AO=OB$.
Следовательно, $AB=2\cdot AO=2\cdot7=14$ см.
20