Карточки
Тесты
ВПР, 7 класс, Математика: 14. Геометрические задачи: геометрические места точек: все задания
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Длины отрезков заданы выражениями: $MA=3x+1$ см, $MB=5x-9$ см. Найдите $MA$. Запишите решение и ответ.
Точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, значит, $3x+1=5x-9$.
Получаем $2x=10$, откуда $x=5$. Тогда $MA=3\cdot5+1=16$ см.
20
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Угол $MAB$ равен $38^\circ$. Найдите угол $AMB$. Запишите решение и ответ.
Так как $M$ лежит на серединном перпендикуляре, $MA=MB$. Поэтому треугольник $AMB$ равнобедренный, а угол $MBA$ равен $38^\circ$.
По сумме углов треугольника $\angle AMB=180^\circ-38^\circ-38^\circ=104^\circ$.
20
В треугольнике $AMB$ стороны $MA$ и $MB$ равны, точка $O$ — середина $AB$. Угол $AMB$ равен $46^\circ$. Найдите угол $AMO$. Запишите решение и ответ.
В треугольниках $AMO$ и $BMO$ равны стороны $MA$ и $MB$, $AO$ и $BO$, а сторона $MO$ общая. Треугольники равны по трем сторонам.
Следовательно, $\angle AMO=\angle OMB=46^\circ:2=23^\circ$.
20
Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $OA=2x+3$ см и $OC=5x-12$ см. Найдите длину $OB$. Запишите решение и ответ.
Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому $OA=OB$. Так как она лежит и на серединном перпендикуляре к $BC$, $OB=OC$. Значит, $OA=OC$.
Составим уравнение: $2x+3=5x-12$. Тогда $3x=15$, откуда $x=5$.
Следовательно, $OB=OA=2\cdot5+3=13$ см.
20
Две различные точки $M$ и $N$ равноудалены от концов отрезка $AB$: $MA=MB$ и $NA=NB$. Прямая $MN$ пересекает $AB$ в точке $P$. Известно, что $AB=18$ см. Найдите $AP$. Запишите решение и ответ.
Из равенств $MA=MB$ и $NA=NB$ следует, что обе точки лежат на серединном перпендикуляре к $AB$. Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому $MN$ — этот серединный перпендикуляр.
Значит, точка $P$ — середина $AB$, и $AP=18:2=9$ см.
20
В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB=AC$ и $BC=10$ см. Точка $D$ — середина $BC$. На прямой $AD$ вне треугольника отмечена точка $M$, причем $A$ лежит между $D$ и $M$. Известно, что $MB=14$ см. Найдите периметр треугольника $MBC$. Запишите решение и ответ.
Поскольку $AB=AC$, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$. Этот перпендикуляр проходит через середину $D$, поэтому совпадает с прямой $AD$.
Точка $M$ лежит на той же прямой и равноудалена от $B$ и $C$: $MC=MB=14$ см.
Периметр треугольника $MBC$ равен $14+14+10=38$ см.
20
Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. Известно, что $\angle ABC=35^\circ$ и $\angle ACB=79^\circ$. Найдите угол $ACM$. Запишите решение и ответ.
Так как $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, $MB=MC$. Треугольник $BMC$ равнобедренный. Точка $M$ лежит на $AB$, поэтому $\angle MBC=\angle ABC=35^\circ$, а значит, $\angle MCB=35^\circ$.
Точка $M$ лежит на стороне $AB$, поэтому луч $CM$ проходит внутри угла $ACB$. Следовательно, $\angle ACM=\angle ACB-\angle MCB=79^\circ-35^\circ=44^\circ$.
20
В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ одновременно является высотой, причем точка $D$ лежит на стороне $BC$. Известно, что $AB=19$ см и $BC=16$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$. Запишите решение и ответ.
Прямоугольные треугольники $ADB$ и $ADC$ имеют общий катет $AD$ и равные прилежащие острые углы $BAD$ и $CAD$, поскольку $AD$ — биссектриса. Поэтому треугольники равны.
Следовательно, $AC=AB=19$ см. Периметр треугольника $ABC$ равен $19+19+16=54$ см.
20
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечена точка $M$, отличная от ее концов. В треугольнике $ABM$ проведена биссектриса $MK$, а в треугольнике $CBM$ — высота $MP$, причем $P$ лежит на стороне $BC$. Известно, что $\angle KMP=90^\circ$ и $CM=15$ см. Найдите $BM$. Запишите решение и ответ.
Обозначим $\angle AMK=\angle KMB=\alpha$. Поскольку $MK\perp MP$, получаем $\angle BMP=90^\circ-\alpha$.
Лучи $MA$ и $MC$ противоположны, поэтому $\angle PMC=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha$. Значит, $MP$ — биссектриса угла $BMC$.
Прямоугольные треугольники $BMP$ и $CMP$ равны по общему катету $MP$ и прилежащему острому углу. Следовательно, $BM=CM=15$ см.
20
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена внутренняя точка $M$. Биссектриса $MK$ треугольника $ABM$ и высота $MP$ треугольника $CBM$ перпендикулярны. Точка $P$ лежит на стороне $BC$, $CM=2x+1$ см, $BM=3x-5$ см. Найдите длину $CM$. Запишите решение и ответ.
Пусть $\angle AMK=\angle KMB=\alpha$. Из $MK\perp MP$ следует, что $\angle BMP=90^\circ-\alpha$. Так как $MA$ и $MC$ — противоположные лучи, $\angle PMC=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha$.
Прямоугольные треугольники $BMP$ и $CMP$ равны по общему катету $MP$ и прилежащему острому углу. Поэтому $BM=CM$.
Получаем $3x-5=2x+1$, откуда $x=6$. Следовательно, $CM=2\cdot6+1=13$ см.
20