21. Текстовые задачи: все задания

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час, тогда первый делает $x+10$ деталей в час.

Время работы второго:

$\frac{60}{x}$

Время работы первого:

$\frac{60}{x+10}$

Первый работает на $3$ часа быстрее, значит:

$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3$

$\frac{60(x+10)-60x}{x(x+10)}=3$

$\frac{600}{x(x+10)}=3$

$x(x+10)=200$

$x^2+10x-200=0$

$(x-10)(x+20)=0$

$x=10$, так как скорость не может быть отрицательной.

Значит, первый рабочий делает:

$x+10=20$ деталей.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ $км/ч$.

Тогда скорость против течения:

$x-3$

Скорость по течению:

$x+3$

Время против течения:

$\frac{72}{x-3}$

Время по течению:

$\frac{72}{x+3}$

По условию:

$\frac{72}{x-3}-\frac{72}{x+3}=2$

$\frac{72(x+3)-72(x-3)}{(x-3)(x+3)}=2$

$\frac{432}{x^2-9}=2$

$x^2-9=216$

$x^2=225$

$x=15$, так как скорость не может быть отрицательной.

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров в минуту, тогда первая пропускает $x-16$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой:

$\frac{105}{x}$

Время заполнения резервуара первой трубой:

$\frac{105}{x-16}$

По условию первая труба работает на $4$ минуты дольше:

$\frac{105}{x-16}-\frac{105}{x}=4$

$\frac{105x-105(x-16)}{x(x-16)}=4$

$\frac{1680}{x(x-16)}=4$

$x(x-16)=420$

$x^2-16x-420=0$

$D=16^2+4\cdot420=1936=44^2$

$x=\frac{16+44}{2}=30$

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час, тогда первый делает $x+5$ деталей в час.

Время работы второго:

$\frac{200}{x}$

Время работы первого:

$\frac{200}{x+5}$

По условию первый работает на $2$ часа быстрее:

$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2$

$\frac{200(x+5)-200x}{x(x+5)}=2$

$\frac{1000}{x(x+5)}=2$

$x(x+5)=500$

$x^2+5x-500=0$

$D=5^2+4\cdot500=2025=45^2$

$x=\frac{-5+45}{2}=20$

Значит, первый рабочий делает:

$x+5=25$ деталей.

Свежие фрукты содержат $86\%$ воды, значит сухого вещества в них $14\%$. Высушенные фрукты содержат $18\%$ воды, значит сухого вещества в них $82\%$.

В $35$ $кг$ высушенных фруктов сухого вещества:

$35\cdot0{,}82=28{,}7$

Пусть нужно $x$ $кг$ свежих фруктов. Тогда сухого вещества в них:

$0{,}14x$

Получаем уравнение:

$0{,}14x=28{,}7$

$x=\frac{28{,}7}{0{,}14}=205$ $кг$ свежих фруктов.

Пусть скорость течения равна $x\text{ км/ч}$.

Скорость по течению:

$24+x$

Скорость против течения:

$24-x$

На движение теплоход затратил:

$14-8=6\text{ ч}$

Составим уравнение:

$\frac{70}{24+x}+\frac{70}{24-x}=6$

$\frac{70(24-x)+70(24+x)}{(24+x)(24-x)}=6$

$\frac{3360}{576-x^2}=6$

$3360=3456-6x^2$

$6x^2=96$

$x^2=16$

$x=4$ $км/ч$.

Пусть скорость велосипедиста из $А$ в $В$ равна $x\text{ км/ч}$.

Тогда скорость из $В$ в $А$:

$x+9$

Время пути из $А$ в $В$:

$\frac{112}{x}$

Время обратного пути с остановкой:

$\frac{112}{x+9}+4$

Составим уравнение:

$\frac{112}{x}=\frac{112}{x+9}+4$

$\frac{112}{x}-\frac{112}{x+9}=4$

$\frac{1008}{x(x+9)}=4$

$x(x+9)=252$

$x^2+9x-252=0$

$D=9^2+4\cdot252=1089=33^2$

$x=\frac{-9+33}{2}=12$

Значит, скорость на обратном пути:

$x+9=21$ $км/ч$.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x\text{ км/ч}$.

Скорость против течения:

$x-4$

Скорость по течению:

$x+4$

Время против течения:

$\frac{288}{x-4}$

Время по течению:

$\frac{288}{x+4}$

Составим уравнение:

$\frac{288}{x-4}-\frac{288}{x+4}=3$

$\frac{288(x+4)-288(x-4)}{(x-4)(x+4)}=3$

$\frac{2304}{x^2-16}=3$

$x^2-16=768$

$x^2=784$

$x=28$ $км/ч$.

Пусть скорость течения равна $x\text{ км/ч}$.

Скорость по течению:

$19+x$

Скорость против течения:

$19-x$

На движение теплоход затратил:

$20-1=19\text{ ч}$

Составим уравнение:

$\frac{176}{19+x}+\frac{176}{19-x}=19$

$\frac{176(19-x)+176(19+x)}{(19+x)(19-x)}=19$

$\frac{6688}{361-x^2}=19$

$6688=6859-19x^2$

$19x^2=171$

$x^2=9$

$x=3$ $км/ч$.

Пусть второй рабочий делает $x\text{ деталей/ч}$.

Тогда первый рабочий делает:

$x+6$

Время работы второго:

$\frac{140}{x}$

Время работы первого:

$\frac{140}{x+6}$

Составим уравнение:

$\frac{140}{x}-\frac{140}{x+6}=3$

$\frac{140(x+6)-140x}{x(x+6)}=3$

$\frac{840}{x(x+6)}=3$

$x(x+6)=280$

$x^2+6x-280=0$

$D=6^2+4\cdot280=1156=34^2$

$x=\frac{-6+34}{2}=14$

Значит, первый рабочий делает:

$x+6=20$ $деталей/ч$.

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, относительная скорость равна:

$63-3=60\text{ км/ч}$

Переведём в метры в секунду:

$60\text{ км/ч}=\frac{60\cdot1000}{3600}=\frac{50}{3}\text{ м/с}$

Длина поезда равна расстоянию, пройденному за $18\text{ с}$:

$\frac{50}{3}\cdot18=300\text{ м}$.

В свежих фруктах сухого вещества:

$100\%-81\%=19\%$

В высушенных фруктах сухого вещества:

$100\%-16\%=84\%$

Масса сухого вещества в $420\text{ кг}$ свежих фруктов:

$420\cdot0{,}19=79{,}8\text{ кг}$

Пусть получится $x\text{ кг}$ высушенных фруктов. Тогда:

$0{,}84x=79{,}8$

$x=\frac{79{,}8}{0{,}84}=95$ $кг$.

Пусть скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $x\text{ км/ч}$.

Тогда скорость на пути из $B$ в $A$:

$x+10$

Время пути из $A$ в $B$:

$\frac{60}{x}$

Время обратного пути с остановкой:

$\frac{60}{x+10}+3$

Составим уравнение:

$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+10}+3$

$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3$

$\frac{600}{x(x+10)}=3$

$x(x+10)=200$

$x^2+10x-200=0$

$(x-10)(x+20)=0$

$x=10$

Значит, скорость на пути из $B$ в $A$:

$x+10=20$ $км/ч$.

Пусть скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $x\text{ км/ч}$.

Тогда скорость на пути из $B$ в $A$:

$x+2$

Время пути из $A$ в $B$:

$\frac{224}{x}$

Время обратного пути с остановкой:

$\frac{224}{x+2}+2$

Составим уравнение:

$\frac{224}{x}=\frac{224}{x+2}+2$

$\frac{224}{x}-\frac{224}{x+2}=2$

$\frac{448}{x(x+2)}=2$

$x(x+2)=224$

$x^2+2x-224=0$

$D=2^2+4\cdot224=900=30^2$

$x=\frac{-2+30}{2}=14$

Значит, скорость на пути из $B$ в $A$:

$x+2=16$ $км/ч$.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, относительная скорость равна:

$36+4=40\text{ км/ч}$

Переведём в метры в секунду:

$40\text{ км/ч}=\frac{40\cdot1000}{3600}=\frac{100}{9}\text{ м/с}$

Длина поезда равна расстоянию, пройденному за $81\text{ с}$:

$\frac{100}{9}\cdot81=900\text{ м}$.

В свежих фруктах сухого вещества:

$100\%-72\%=28\%$

В высушенных фруктах сухого вещества:

$100\%-26\%=74\%$

Масса сухого вещества в $222\text{ кг}$ свежих фруктов:

$222\cdot0{,}28=62{,}16\text{ кг}$

Пусть получится $x\text{ кг}$ высушенных фруктов. Тогда:

$0{,}74x=62{,}16$

$x=\frac{62{,}16}{0{,}74}=84$ $кг$.

Пусть в первом растворе содержится $x\text{ кг}$ кислоты, а во втором — $y\text{ кг}$ кислоты.

При смешивании всех растворов получаем:

$x+y=0{,}55\cdot26=14{,}3$

Концентрации растворов равны:

$\frac{x}{10}$ и $\frac{y}{16}$

Если слить равные массы, концентрация будет средним арифметическим:

$\frac{\frac{x}{10}+\frac{y}{16}}{2}=0{,}61$

Получаем систему:

$\left\{\begin{aligned}x+y&=14{,}3,\\ \frac{x}{10}+\frac{y}{16}&=1{,}22.\end{aligned}\right.$

Из первого уравнения:

$y=14{,}3-x$

Подставим во второе:

$\frac{x}{10}+\frac{14{,}3-x}{16}=1{,}22$

$8x+5(14{,}3-x)=97{,}6$

$3x+71{,}5=97{,}6$

$3x=26{,}1$

$x=8{,}7$ $кг$.

Пусть скорость первого бегуна равна $x\text{ км/ч}$.

Тогда скорость второго бегуна:

$x+11$

За $1\text{ ч}$ первый бегун пробежал $x\text{ км}$, и ему осталось $4\text{ км}$, значит длина круга:

$x+4$

Второй бегун пробежал первый круг $20\text{ мин}$ назад, то есть за:

$1\text{ ч}-20\text{ мин}=\frac{2}{3}\text{ ч}$

Составим уравнение:

$x+4=\frac{2}{3}(x+11)$

$3x+12=2x+22$

$x=10$ $км/ч$.

Плот движется со скоростью течения, значит его скорость:

$5\text{ км/ч}$

Время движения плота:

$\frac{30}{5}=6\text{ ч}$

Лодка отправилась на $1\text{ ч}$ позже, значит она была в пути:

$6-1=5\text{ ч}$

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x\text{ км/ч}$.

Скорость лодки по течению:

$x+5$

Скорость лодки против течения:

$x-5$

Составим уравнение:

$\frac{60}{x+5}+\frac{60}{x-5}=5$

$\frac{60(x-5)+60(x+5)}{(x+5)(x-5)}=5$

$\frac{120x}{x^2-25}=5$

$120x=5x^2-125$

$x^2-24x-25=0$

$(x-25)(x+1)=0$

$x=25$ $км/ч$.

Пусть собственная скорость баржи равна $x\text{ км/ч}$.

Скорость по течению:

$x+5$

Скорость против течения:

$x-5$

Составим уравнение:

$\frac{32}{x+5}+\frac{24}{x-5}=4$

$\frac{32(x-5)+24(x+5)}{(x+5)(x-5)}=4$

$\frac{56x-40}{x^2-25}=4$

$56x-40=4x^2-100$

$4x^2-56x-60=0$

$x^2-14x-15=0$

$(x-15)(x+1)=0$

$x=15$ $км/ч$.