19. Числа и их свойства: Свойства чисел
Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное $100.$
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $90?$
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $88?$
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно $(a \in {1, 2, \ldots, 9}$, $b, c \in {0, 1, \ldots, 9}$, причем $b$ и $c$ не равны нулю одновременно, так как число не кратно $100).$
Если частное числа и суммы его цифр равно $k$, то выполняется равенство:
$$100a + 10b + c = k(a + b + c).$$
а) Рассмотрим случай $k = 90$:$$100a + 10b + c = 90(a + b + c),$$ $$10a = 80b + 89c.$$
При $c = 0$ и $b = 1$:$$10a = 80 \implies a = 8.$$
Получаем число $810$. Проверим:$$\frac{810}{8 + 1 + 0} = 90.$$
Ответ: да.
б) Рассмотрим случай $k = 88$:$$100a + 10b + c = 88(a + b + c),$$ $$12a = 78b + 87c,$$ $$4a = 26b + 29c.$$
Попробуем $b = 0$, $c = 1$:$$4a = 29 \implies a = 7.25 \quad \text{(не целое)}.$$
Попробуем $b = 1$, $c = 0$:$$4a = 26 \implies a = 6.5 \quad \text{(не целое)}.$$
Ответ: нет.
в) Найдем наибольшее возможное значение $k$.
Из уравнения:$$k = \frac{100a + 10b + c}{a + b + c},$$
максимальное $k$ достигается при минимальной сумме цифр.
Для числа $910$:$$k = \frac{910}{9 + 1 + 0} = 91.$$
Проверим другие варианты:
- Для $900$ (кратно $100$) — не подходит.
- Для $909$: $k = \dfrac{909}{18} = 50.5$.
- Для $910$ дает максимальное целое $k = 91$.
Ответ: $91$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $91$.
20
Даны натуральные числа $ a, b, c $ и $ d ,$ удовлетворяющие условию $ a > b > c > d .$
а) Найдите числа $ a, b, c $ и $ d ,$ если $ a + b + c + d = 15 $ и $ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 27 .$
б) Может ли быть $ a + b + c + d = 19 $ и $ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 19 ?$
в) Пусть $ a + b + c + d = 1000 $ и $ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 1000 .$ Найдите количество возможных значений числа $ a .$
а) Имеем систему уравнений:$$\begin{cases}a + b + c + d = 15 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 27 \end{cases}$$
Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = 27$$
Выразим из первого уравнения $ c + d = 15-(a + b) $ и подставим:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(15-a-b) = 27$$
Рассмотрим возможные случаи:
- Пусть $ a = b + 1 ,$ тогда:$$(2b + 1) + (c-d)(14-2b) = 27$$
Это уравнение не имеет натуральных решений. - Пусть $ c = d + 1 ,$ тогда:
$$(a-b)(a + b) + (1)(15-a-b) = 27$$
Решая, получаем $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$
Ответ: $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$
б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a + b + c + d = 19 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 19\end{cases}$$
Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = a + b + c + d$$
Это возможно только при $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Тогда:$$2b + 2d + 2 = 19 \implies b + d = 8.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.
Ответ: нет.
в) Имеем систему:$$\begin{cases}a + b + c + d = 1000 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 1000\end{cases}$$
Из второго уравнения следует $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Подставляя в первое:$$2a + 2d = 1000 \implies d = 500-a$$
Условия $ a > b > c > d $ дают:$$a > a-1 > 501-a > 500-a$$
Отсюда $ 251 < a < 500 .$ Количество целых $ a $:$$499-252 + 1 = 248$$
Ответ: $248.$
Итоговые ответы:
а) $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 $;
б) нет;
в) $248$.
20
Даны натуральные числа $a,b,c$ и $d$, удовлетворяющие условию $a>b>c>d$.
а) Найдите числа $a,b,c$ и $d$, если $a+b+c+d=15$ и $a^2-b^2+c^2-d^2=19$.
б) Может ли быть $a+b+c+d=23$ и $a^2-b^2+c^2-d^2=23?$
в) Пусть $a+b+c+d=1200$ и $a^2-b^2+c^2-d^2=1200$. Найдите количество возможных значений числа $a.$
а) Имеем систему уравнений:
$$\begin{cases}a+b+c+d=15 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=19\end{cases}$$
Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=19$$
Выразим из первого уравнения $c+d=15-(a+b)$ и подставим:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(15-a-b)=19$$
Рассмотрим возможные случаи:
- Пусть $a=b+1$, тогда:$$(2b+1)+(c-d)(14-2b)=19$$
При $c-d=1$ получаем:$$2b+1+14-2b=19 \implies 15=19$$
Неверно.
При $c-d=2$:$$2b+1+28-4b=19 \implies -2b=-10 \implies b=5$$
Тогда $a=6$, $c+d=4$, $c-d=2$ $\implies$ $c=3$, $d=1$.
Ответ: $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$.
б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=23 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=23\end{cases}$$
Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=a+b+c+d$$
Это возможно только при $a=b+1$ и $c=d+1$. Тогда:$$2b+2d+2=23 \implies b+d=10.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.
Ответ: нет.
в) Имеем систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=1200 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=1200\end{cases}$$
Из второго уравнения следует $a=b+1$ и $c=d+1$. Подставляя в первое:$$2a+2d=1200 \implies d=600-a$$
Условия $a>b>c>d$ дают:$$a>a-1>601-a>600-a$$
Отсюда $301<a<600$. Количество целых $a$:$$599-302+1=298$$
Ответ: $298$.
Итоговые ответы:
а) $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$;
б) нет;
в) $298$.
20
На окружности расставили натуральные числа от $1$ до $21$ (каждое число по одному разу). Для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше $11?$
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше $10?$
в) Для пар чисел, стоящих через одно, также нашли разности. Каково наибольшее целое $k$, при котором можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше $k?$
а) Рассмотрим число $11$. У него два соседа. Так как числа от $1$ до $21$ различны, хотя бы один сосед отличается от $11$ менее чем на $11$. Следовательно, минимум две разности будут меньше $11$.
Ответ: нет.
б) Пример подходящей расстановки:
$$1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,8,19,9,20,10,21,11$$
Все соседние разности: $11,10,11,10,\ldots,10$.
Ответ: да.
в) Оценим максимальное возможное $k$:
- Числа от $1$ до $7$ должны быть расположены так, чтобы между любыми двумя было минимум два других числа (иначе найдется разность меньше $7$). Однако на $21$ числе это невозможно.
- Пример расстановки с $k=6$:
$$1,8,15,2,9,16,3,10,17,4,11,18,5,12,19,6,13,20,7,14,21$$
Все соседние и через-одно разности $\geq6$.
Ответ: $6$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $6$.
20
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый выставляет оценку — целое число баллов от $0$ до $10$ включительно. Все оценки различны. По старой системе рейтинг — среднее арифметическое всех оценок. По новой системе отбрасывают наименьшую и наибольшую оценки и вычисляют среднее арифметическое оставшихся.
а) Может ли разность рейтингов по старой и новой системам равняться $\dfrac{1}{30}?$
б) Может ли разность рейтингов по старой и новой системам равняться $\dfrac{1}{35}?$
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов.
Обозначим:
- $A=\dfrac{x_1+x_2+…+x_7}{7}$ — старый рейтинг
- $B=\dfrac{x_2+x_3+…+x_6}{5}$ — новый рейтинг (где $x_1$ — наименьшая, $x_7$ — наибольшая оценки)
а) Разность:
$$A-B=\frac{5(x_1+x_7)-2(x_2+…+x_6)}{35}$$
Для $A-B=\dfrac{1}{30}$:
$$\frac{5(x_1+x_7)-2(35A-7B)}{35}=\frac{1}{30}$$
Уравнение не имеет целочисленных решений.
Ответ: нет.
б) Для оценок $(0,1,2,4,7,8,9)$:
$$A=\frac{31}{7}, B=\frac{22}{5}$$
$$A-B=\frac{1}{35}$$
Ответ: да.
в) Максимальная разность достигается при:
- $x_1=0$ (минимальная возможная оценка)
- $x_7=10$ (максимальная возможная оценка)
- Остальные оценки минимально возможные: $1,2,3,4,5$
Тогда:
$$A=\frac{0+1+2+3+4+5+10}{7}=\frac{25}{7}$$
$$B=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$$
$$A-B=\frac{25}{7}-3=\frac{4}{7}$$
Ответ: $\dfrac{4}{7}$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $\dfrac{4}{7}.$
20
Из набора цифр $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$ составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Одно число — пятизначное, другое — двузначное и кратно $36$.
а) Может ли сумма такой пары чисел равняться $14908?$
б) Может ли сумма такой пары чисел равняться $74134?$
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в этой паре?
а) Да, может. Пример:
- Двузначное число: $36$
- Пятизначное число: $14872$ (используются оставшиеся цифры $1,4,8,7,2$)
- Сумма: $36 + 14872 = 14908$
Ответ: да.
б) Нет, не может. Двузначные числа, кратные $36$, это $36$ и $72$. Проверим оба случая:
- Для $36$:$$74134-36 = 74098$$Число $74098$ содержит цифру $0$, которой нет в исходном наборе.
- Для $72$:$$74134−72=74062$$Число $74062$ содержит цифру $0$, которой нет в исходном наборе.
Ответ: нет.
в) Найдем максимальную возможную сумму:
- Если двузначное число — $36$, то из оставшихся цифр $1,2,4,7,8$ составляем максимальное пятизначное число $87421$. Сумма:
$$36 + 87421 = 87457$$ - Если двузначное число — $72$, то из оставшихся цифр $1,3,4,6,8$ составляем максимальное пятизначное число $86431$. Сумма:
$$72 + 86431 = 86503$$
Максимальная сумма получается в первом случае.
Ответ: $87457$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $87457$.
20
а) Чему равно число способов записать число $1292$ в виде $1292 = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 \leq a_i \leq 99$, $i = 0, 1, 2, 3?$
б) Существуют ли $10$ различных чисел $N$ таких, что их можно представить в указанном виде ровно $130$ способами?
в) Сколько существует чисел $N$, представимых в указанном виде ровно $130$ способами?
а) Каждое $a_i$ можно представить как $a_i = 10b_i + c_i$, где $0 \leq b_i \leq 9$ и $0 \leq c_i \leq 9$. Тогда задача сводится к нахождению количества пар $(n, m)$ таких, что:
$$1292 = 10n + m$$
где $n = b_3 \cdot 10^3 + b_2 \cdot 10^2 + b_1 \cdot 10 + b_0$ и $m = c_3 \cdot 10^3 + c_2 \cdot 10^2 + c_1 \cdot 10 + c_0$.
Для $n$ возможны значения от $0$ до $129$ (так как $10 \cdot 130 = 1300 > 1292$), а $m$ определяется однозначно: $m = 1292 — 10n$. Таким образом, число способов равно $130$.
Ответ: $130$.
б) Рассмотрим числа от $1290$ до $1299$. Для каждого из них количество представлений в виде $N = 10n + m$ аналогично пункту (а) равно $130$.
Ответ: да.
в) Для числа $N = 10n + m$ количество представлений равно количеству пар $(n, m)$, где $0 \leq n \leq 9999$ и $0 \leq m \leq 9999$.
Условие $130$ способов выполняется для чисел $N$, у которых:
- Либо $N = 1290 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что дает $10$ чисел.
- Либо $N = 108690 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что даёт ещё $10$ чисел.
Таким образом, всего таких чисел $20$.
Ответ: $20$.
Итоговые ответы:
а) $130$;
б) да;
в) $20$.
20
Над парой целых чисел $(a;b)$ проводится операция, после которой получается пара $(3a+b;3b-a)$.
а) Можно ли получить пару $(5;5)$ из некоторой исходной пары?
б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена операцией, то и пара $(-d;c)$ также может быть получена?
в) Найдите минимальное расстояние $|a-c|+|b-d|$ между парой $(9;2)$ и парой, полученной операцией из некоторой исходной пары.
а) Решим систему:
$$\begin{cases}3a+b=5 \\ 3b-a=5\end{cases}$$
Получаем $a=1$, $b=2$. Таким образом, $(1;2)\mapsto(5;5)$.
Ответ: да.
б) Пусть $(a;b)\mapsto(c;d)=(3a+b;3b-a)$. Тогда:
$$(-b;a)\mapsto(3(-b)+a;3a-(-b))=(-3b+a;3a+b)=(-d;c)$$
Ответ: да.
в) Найдем минимум выражения:
$$|3a+b-9|+|3b-a-2|$$
При $(a;b)=(2;2)$ получаем $(8;4)$, расстояние:
$$|8-9|+|4-2|=1+2=3$$
Докажем, что меньшее расстояние невозможно. Рассмотрим возможные случаи для $b$:
- При $b=1$:
- $6\leq3a\leq10$ ⇒ $a=2,3$
- $(2;1)\mapsto(7;1)$: расстояние $2+1=3$
- $(3;1)\mapsto(10;0)$: расстояние $1+2=3$
- При $b=2$:
- $(2;2)\mapsto(8;4)$: расстояние $1+2=3$
- $(3;2)\mapsto(11;3)$: расстояние $2+1=3$
Ответ: $3$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) да;
в) $3$.
20
Имеется $16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей.
а) Можно ли выбрать несколько монет на сумму $175$ рублей?
б) Можно ли выбрать несколько монет на сумму $176$ рублей?
в) Какое минимальное количество монет по $1$ рублю нужно добавить, чтобы можно было получить любую сумму от $1$ до $180$ рублей?
а) Общая сумма всех монет:
$$16\cdot2 + 29\cdot5 = 32 + 145 = 177\text{ рублей}$$
Чтобы получить $175$ рублей, нужно оставить $2$ рубля. Это можно сделать, исключив одну $2$-рублевую монету:
$$175 = 15\cdot2 + 29\cdot5$$
Ответ: да.
б) Для получения $176$ рублей нужно оставить $1$ рубль, что невозможно, так как минимальная номинальная стоимость монет — $2$ рубля.
Ответ: нет.
в) Общий недостаток до $180$ рублей:
$$180-177 = 3\text{ рубля}$$
Добавим $3$ монеты по $1$ рублю. Проверим возможность получения любых сумм:
- Для сумм $1-149$ рублей используем комбинации из $1$-рублевых и $2$-рублевых монет.
- Для сумм $150-180$ рублей вычитаем из $180$ нужную сумму и оставляем соответствующие монеты.
Например:
- Для $178$ рублей: $180-178 = 2$ ⇒ оставляем одну $2$-рублевую монету.
- Для $179$ рублей: $180-179 = 1$ ⇒ оставляем одну $1$-рублевую монету.
Ответ: $3$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $3$.
20
В магазине есть весы с двумя чашами. На одной чаше взвешивают продукты, на другой используют гири. Можно класть несколько гирь одновременно.
а) Можно ли подобрать набор из пяти гирь для взвешивания любого целого количества килограммов от $1$ до $25?$
б) Можно ли сделать то же самое с четырьмя гирями?
в) Какое максимальное число $n$ позволяет взвешивать любой вес от $1$ до $n$ $кг$ с помощью пяти гирь?
а) Да, подойдёт набор гирь $1, 2, 3, 7, 14$ $кг.$ Примеры:
- $4=3+1$
- $5=3+2$
- $6=3+2+1$
- $8=7+1$
- $25=14+7+3+1$
Ответ: да, например набор $1, 2, 3, 7, 14$.
б) Нет. Четыре гири дают только $2^4=16$ комбинаций (включая нулевую). Нужно покрыть $25$ значений, что невозможно.
Ответ: нет.
в) Пять гирь дают $2^5-1=31$ возможную сумму (без нуля). Наибольший диапазон дают степени двойки: $1, 2, 4, 8, 16$ $кг.$ Они позволяют получить любую сумму от $1$ до $31$ $кг$:
$$31=16+8+4+2+1$$
Ответ: $31$.
Итоговые ответы:
а) да, например $1, 2, 3, 7, 14$;
б) нет;
в) $31$.
20