19. Числа и их свойства: свойства чисел

Пусть данное число равно $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно $(a \in {1, 2, \ldots, 9}$, $b, c \in {0, 1, \ldots, 9}$, причем $b$ и $c$ не равны нулю одновременно, так как число не кратно $100).$

Если частное числа и суммы его цифр равно $k$, то выполняется равенство:
$$100a + 10b + c = k(a + b + c).$$

а) Рассмотрим случай $k = 90$:$$100a + 10b + c = 90(a + b + c),$$ $$10a = 80b + 89c.$$
При $c = 0$ и $b = 1$:$$10a = 80 \implies a = 8.$$
Получаем число $810$. Проверим:$$\frac{810}{8 + 1 + 0} = 90.$$

Ответ: да.

б) Рассмотрим случай $k = 88$:$$100a + 10b + c = 88(a + b + c),$$ $$12a = 78b + 87c,$$ $$4a = 26b + 29c.$$
Попробуем $b = 0$, $c = 1$:$$4a = 29 \implies a = 7.25 \quad \text{(не целое)}.$$
Попробуем $b = 1$, $c = 0$:$$4a = 26 \implies a = 6.5 \quad \text{(не целое)}.$$

Ответ: нет.

в) Найдем наибольшее возможное значение $k$.

Из уравнения:$$k = \frac{100a + 10b + c}{a + b + c},$$
максимальное $k$ достигается при минимальной сумме цифр.

Для числа $910$:$$k = \frac{910}{9 + 1 + 0} = 91.$$

Проверим другие варианты:

• Для $900$ (кратно $100$) — не подходит.
• Для $909$: $k = \dfrac{909}{18} = 50.5$.
• Для $910$ дает максимальное целое $k = 91$.

Ответ: $91$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $91$.

а) Имеем систему уравнений:$$\begin{cases}a + b + c + d = 15 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 27 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = 27$$

Выразим из первого уравнения $ c + d = 15-(a + b) $ и подставим:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(15-a-b) = 27$$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Пусть $ a = b + 1 ,$ тогда:$$(2b + 1) + (c-d)(14-2b) = 27$$
   Это уравнение не имеет натуральных решений.
2. Пусть $ c = d + 1 ,$ тогда:
   $$(a-b)(a + b) + (1)(15-a-b) = 27$$
   Решая, получаем $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$

Ответ: $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$

б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a + b + c + d = 19 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 19\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = a + b + c + d$$

Это возможно только при $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Тогда:$$2b + 2d + 2 = 19 \implies b + d = 8.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.

Ответ: нет.

в) Имеем систему:$$\begin{cases}a + b + c + d = 1000 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 1000\end{cases}$$

Из второго уравнения следует $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Подставляя в первое:$$2a + 2d = 1000 \implies d = 500-a$$

Условия $ a > b > c > d $ дают:$$a > a-1 > 501-a > 500-a$$
Отсюда $ 251 < a < 500 .$ Количество целых $ a $:$$499-252 + 1 = 248$$

Ответ: $248.$

Итоговые ответы:
а) $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 $;
б) нет;
в) $248$.

а) Имеем систему уравнений:
$$\begin{cases}a+b+c+d=15 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=19\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=19$$

Выразим из первого уравнения $c+d=15-(a+b)$ и подставим:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(15-a-b)=19$$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Пусть $a=b+1$, тогда:$$(2b+1)+(c-d)(14-2b)=19$$
   При $c-d=1$ получаем:$$2b+1+14-2b=19 \implies 15=19$$
   Неверно.

При $c-d=2$:$$2b+1+28-4b=19 \implies -2b=-10 \implies b=5$$
Тогда $a=6$, $c+d=4$, $c-d=2$ $\implies$ $c=3$, $d=1$.

Ответ: $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$.

б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=23 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=23\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=a+b+c+d$$

Это возможно только при $a=b+1$ и $c=d+1$. Тогда:$$2b+2d+2=23 \implies b+d=10.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.

Ответ: нет.

в) Имеем систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=1200 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=1200\end{cases}$$

Из второго уравнения следует $a=b+1$ и $c=d+1$. Подставляя в первое:$$2a+2d=1200 \implies d=600-a$$

Условия $a>b>c>d$ дают:$$a>a-1>601-a>600-a$$
Отсюда $301<a<600$. Количество целых $a$:$$599-302+1=298$$

Ответ: $298$.

Итоговые ответы:
а) $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$;
б) нет;
в) $298$.

а) Рассмотрим число $11$. У него два соседа. Так как числа от $1$ до $21$ различны, хотя бы один сосед отличается от $11$ менее чем на $11$. Следовательно, минимум две разности будут меньше $11$.

Ответ: нет.

б) Пример подходящей расстановки:
$$1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,8,19,9,20,10,21,11$$
Все соседние разности: $11,10,11,10,\ldots,10$.

Ответ: да.

в) Оценим максимальное возможное $k$:

1. Числа от $1$ до $7$ должны быть расположены так, чтобы между любыми двумя было минимум два других числа (иначе найдется разность меньше $7$). Однако на $21$ числе это невозможно.
2. Пример расстановки с $k=6$:
   $$1,8,15,2,9,16,3,10,17,4,11,18,5,12,19,6,13,20,7,14,21$$
   Все соседние и через-одно разности $\geq6$.

Ответ: $6$.

Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $6$.

Обозначим:

• $A=\dfrac{x_1+x_2+…+x_7}{7}$ — старый рейтинг

• $B=\dfrac{x_2+x_3+…+x_6}{5}$ — новый рейтинг (где $x_1$ — наименьшая, $x_7$ — наибольшая оценки)

а) Разность:
$$A-B=\frac{5(x_1+x_7)-2(x_2+…+x_6)}{35}$$
Для $A-B=\dfrac{1}{30}$:
$$\frac{5(x_1+x_7)-2(35A-7B)}{35}=\frac{1}{30}$$
Уравнение не имеет целочисленных решений.

Ответ: нет.

б) Для оценок $(0,1,2,4,7,8,9)$:
$$A=\frac{31}{7}, B=\frac{22}{5}$$
$$A-B=\frac{1}{35}$$

Ответ: да.

в) Максимальная разность достигается при:

• $x_1=0$ (минимальная возможная оценка)
• $x_7=10$ (максимальная возможная оценка)
• Остальные оценки минимально возможные: $1,2,3,4,5$

Тогда:
$$A=\frac{0+1+2+3+4+5+10}{7}=\frac{25}{7}$$
$$B=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$$
$$A-B=\frac{25}{7}-3=\frac{4}{7}$$

Ответ: $\dfrac{4}{7}$.

Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $\dfrac{4}{7}.$

а) Да, может. Пример:

• Двузначное число: $36$
• Пятизначное число: $14872$ (используются оставшиеся цифры $1,4,8,7,2$)
• Сумма: $36 + 14872 = 14908$

Ответ: да.

б) Нет, не может. Двузначные числа, кратные $36$, это $36$ и $72$. Проверим оба случая:

1. Для $36$:$$74134-36 = 74098$$Число $74098$ содержит цифру $0$, которой нет в исходном наборе.
2. Для $72$:$$74134−72=74062$$Число $74062$ содержит цифру $0$, которой нет в исходном наборе.

Ответ: нет.

в) Найдем максимальную возможную сумму:

1. Если двузначное число — $36$, то из оставшихся цифр $1,2,4,7,8$ составляем максимальное пятизначное число $87421$. Сумма:
   $$36 + 87421 = 87457$$
2. Если двузначное число — $72$, то из оставшихся цифр $1,3,4,6,8$ составляем максимальное пятизначное число $86431$. Сумма:
   $$72 + 86431 = 86503$$

Максимальная сумма получается в первом случае.

Ответ: $87457$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $87457$.

а) Каждое $a_i$ можно представить как $a_i = 10b_i + c_i$, где $0 \leq b_i \leq 9$ и $0 \leq c_i \leq 9$. Тогда задача сводится к нахождению количества пар $(n, m)$ таких, что:
$$1292 = 10n + m$$
где $n = b_3 \cdot 10^3 + b_2 \cdot 10^2 + b_1 \cdot 10 + b_0$ и $m = c_3 \cdot 10^3 + c_2 \cdot 10^2 + c_1 \cdot 10 + c_0$.

Для $n$ возможны значения от $0$ до $129$ (так как $10 \cdot 130 = 1300 > 1292$), а $m$ определяется однозначно: $m = 1292 — 10n$. Таким образом, число способов равно $130$.

Ответ: $130$.

б) Рассмотрим числа от $1290$ до $1299$. Для каждого из них количество представлений в виде $N = 10n + m$ аналогично пункту (а) равно $130$.

Ответ: да.

в) Для числа $N = 10n + m$ количество представлений равно количеству пар $(n, m)$, где $0 \leq n \leq 9999$ и $0 \leq m \leq 9999$.

Условие $130$ способов выполняется для чисел $N$, у которых:

• Либо $N = 1290 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что дает $10$ чисел.
• Либо $N = 108690 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что даёт ещё $10$ чисел.

Таким образом, всего таких чисел $20$.

Ответ: $20$.

Итоговые ответы:
а) $130$;
б) да;
в) $20$.

а) Решим систему:
$$\begin{cases}3a+b=5 \\ 3b-a=5\end{cases}$$
Получаем $a=1$, $b=2$. Таким образом, $(1;2)\mapsto(5;5)$.

Ответ: да.

б) Пусть $(a;b)\mapsto(c;d)=(3a+b;3b-a)$. Тогда:
$$(-b;a)\mapsto(3(-b)+a;3a-(-b))=(-3b+a;3a+b)=(-d;c)$$

Ответ: да.

в) Найдем минимум выражения:
$$|3a+b-9|+|3b-a-2|$$
При $(a;b)=(2;2)$ получаем $(8;4)$, расстояние:
$$|8-9|+|4-2|=1+2=3$$

Докажем, что меньшее расстояние невозможно. Рассмотрим возможные случаи для $b$:

1. При $b=1$:

• $6\leq3a\leq10$ ⇒ $a=2,3$
• $(2;1)\mapsto(7;1)$: расстояние $2+1=3$
• $(3;1)\mapsto(10;0)$: расстояние $1+2=3$

1. При $b=2$:

• $(2;2)\mapsto(8;4)$: расстояние $1+2=3$
• $(3;2)\mapsto(11;3)$: расстояние $2+1=3$

Ответ: $3$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) да;
в) $3$.

а) Общая сумма всех монет:
$$16\cdot2 + 29\cdot5 = 32 + 145 = 177\text{ рублей}$$

Чтобы получить $175$ рублей, нужно оставить $2$ рубля. Это можно сделать, исключив одну $2$-рублевую монету:
$$175 = 15\cdot2 + 29\cdot5$$

Ответ: да.

б) Для получения $176$ рублей нужно оставить $1$ рубль, что невозможно, так как минимальная номинальная стоимость монет — $2$ рубля.

Ответ: нет.

в) Общий недостаток до $180$ рублей:
$$180-177 = 3\text{ рубля}$$

Добавим $3$ монеты по $1$ рублю. Проверим возможность получения любых сумм:

1. Для сумм $1-149$ рублей используем комбинации из $1$-рублевых и $2$-рублевых монет.
2. Для сумм $150-180$ рублей вычитаем из $180$ нужную сумму и оставляем соответствующие монеты.

Например:

• Для $178$ рублей: $180-178 = 2$ ⇒ оставляем одну $2$-рублевую монету.
• Для $179$ рублей: $180-179 = 1$ ⇒ оставляем одну $1$-рублевую монету.

Ответ: $3$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $3$.

а) Да, подойдёт набор гирь $1, 2, 3, 7, 14$ $кг.$ Примеры:

• $4=3+1$
• $5=3+2$
• $6=3+2+1$
• $8=7+1$
• $25=14+7+3+1$

Ответ: да, например набор $1, 2, 3, 7, 14$.

б) Нет. Четыре гири дают только $2^4=16$ комбинаций (включая нулевую). Нужно покрыть $25$ значений, что невозможно.

Ответ: нет.

в) Пять гирь дают $2^5-1=31$ возможную сумму (без нуля). Наибольший диапазон дают степени двойки: $1, 2, 4, 8, 16$ $кг.$ Они позволяют получить любую сумму от $1$ до $31$ $кг$:
$$31=16+8+4+2+1$$

Ответ: $31$.

Итоговые ответы:
а) да, например $1, 2, 3, 7, 14$;
б) нет;
в) $31$.

$а) $ Рассмотрим число $175.$ Его цифры: $a = 1,$ $b = 7,$ $c = 5.$
Произведение цифр: $abc = 1 \cdot 7 \cdot 5 = 35.$
Частное числа и произведения его цифр: $\frac{175}{35} = 5.$
Ответ: да, может $($например, для числа $175 ). $

$б)$ Пусть число имеет цифры $a,$ $b,$ $c$ $($каждая от $1$ до $9 ).$ Тогда число равно $100a + 10b + c,$ а произведение цифр — $abc.$
Если частное равно $1,$ то:
$$ 100a + 10b + c = abc $$
Преобразуем:
$$ 100a + 10b + c- abc = 0 \quad \Rightarrow \quad a(100- bc) + 10b + c = 0 $$ Поскольку $a \geq 1,$ $b \geq 1,$ $c \geq 1,$ то $bc \leq 81,$ и значит, $100- bc \geq 19 > 0.$
Все слагаемые в левой части неотрицательны, и хотя бы одно положительно. Поэтому левая часть строго больше нуля.
Полученное равенство невозможно.
Ответ: нет, частное не может быть равно $1.$

$в)$ Частное числа и произведения его цифр:
$$ f(a, b, c) = \frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab} $$ Функция $f(a, b, c)$ убывает по каждому аргументу (при увеличении $a,$ $b$ или $c$ знаменатели дробей увеличиваются, и слагаемые уменьшаются).
Следовательно, наименьшее значение достигается при максимальных $a,$ $b,$ $c,$ то есть при $a = b = c = 9.$
Подставляем:
$$ f(9, 9, 9) = \frac{100}{9 \cdot 9} + \frac{10}{9 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 9} = \frac{100 + 10 + 1}{81} = \frac{111}{81} = \frac{37}{27} $$ Ответ: наименьшее значение частного равно $\frac{37}{27}.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ нет;
$в)$ $\frac{37}{27}.$

Пусть корни уравнения — натуральные числа $ x_1 $ и $ x_2 .$ По теореме Виета:
$$ x_1 + x_2 = p, \quad x_1 \cdot x_2 = q. $$

$а)$ Дано $ q = 5 .$ Так как $ q $ — произведение двух натуральных чисел, и $5$ — простое число, то возможны только два случая:
$1.$ $ x_1 = 1 ,$ $ x_2 = 5 ,$ тогда $ p = 1 + 5 = 6 .$
$2.$ $ x_1 = 5 ,$ $ x_2 = 1 $ (то же самое).

Других вариантов нет, так как делители $5$ только $1$ и $5. $

Ответ: $а)$ $ p = 6 .$

$б)$ Предположим, что $ p < 10 $ и $ q > 30 $ одновременно.
Так как $ p $ и $ q $ натуральные, то $ p \leq 9 ,$ $ q \geq 31 .$

Дискриминант уравнения:
$$ D = p^2- 4q $$ Подставим значения:
$$ D \leq 9^2- 4 \cdot 31 = 81- 124 = -43 < 0 $$ Но $ D < 0 $ означает, что уравнение не имеет действительных корней, что противоречит условию (корни натуральные).

Следовательно, такие неравенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наименьшее $ p $ при $ q > 30 .$
Так как $ q > 30 $ и $ q $ натуральное, то $ q \geq 31 .$

Уравнение имеет натуральные корни, поэтому дискриминант неотрицательный:
$$ D = p^2- 4q \geq 0 \quad \Rightarrow \quad p^2 \geq 4q \geq 4 \cdot 31 = 124. $$
Так как $ p $ натуральное, то $ p \geq \sqrt{124} \approx 11.135 ,$ значит, $ p \geq 12 .$

Проверим, подходит ли $ p = 12 .$
Нужно подобрать натуральные $ x_1, x_2 $ такие, что:
$$ x_1 + x_2 = 12, \quad x_1 \cdot x_2 \geq 31 $$
Например, $ x_1 = 4 ,$ $ x_2 = 8 $:
$$ p = 4 + 8 = 12, \quad q = 4 \cdot 8 = 32 > 30 $$
Уравнение: $ x^2- 12x + 32 = 0 ,$ корни $ x = 4 $ и $ x = 8 $ — натуральные.

Таким образом, наименьшее значение $ p = 12 .$

Ответ: $в)$ $12.$

Итоговые ответы:
$а)\ 6; $
$б)$ нет;
$в)\ 12.$

Обозначим записанные числа как $ a_1, a_2, \dots, a_{10} .$ По условию, для любого набора из $ m $ чисел $( m = 3, 4, 5, 6 )$ их среднее арифметическое целое, то есть сумма этих $ m $ чисел делится на $ m .$

Анализ остатков от деления на $3, 4, 5, 6.$

Рассмотрим любые два числа $ a $ и $ b $ из записанных. Выберем какой-нибудь набор из $ m $ чисел, не содержащий $ a $ и $ b $ (так как всего чисел $10,$ а $ m \leq 6 ,$ такой набор существует). Обозначим сумму выбранных $ m $ чисел как $ S .$ Тогда:
$ S + a $ делится на $ m ,$
$ S + b $ делится на $ m .$

Вычитая, получаем, что $ a- b $ делится на $ m .$ Это верно для $ m = 3, 4, 5, 6 .$ Следовательно, $ a- b $ делится на наименьшее общее кратное этих чисел:
$$ \text{НОК}(3.4,5.6) = 60 $$
Таким образом, все записанные числа имеют одинаковый остаток при делении на $60.$ Обозначим этот остаток $ r .$

Известно, что одно из чисел равно $30\ 021.$ Найдем его остаток от деления на $60$:
$$ 30\,021 : 60 = 500 \cdot 60 = 30\,000, \quad 30\,021- 30\,000 = 21 $$
Значит, $ r = 21 .$ Поэтому все числа имеют вид:
$$ a_i = 60k_i + 21, \quad k_i \in \mathbb{N}. $$
Обратно, если все числа дают одинаковый остаток $21$ при делении на $60,$ то сумма любых $ m $ чисел:
$$ S = 60K + 21m $$и поскольку $ 21m $ делится на $ m $ (так как $ 21 $ делится на $ m $ для $ m=3.4,5.6 ?$ Проверим:
$ m=3 $: $ 21 : 3 = 7 ,$
$ m=4 $: $ 21: 4 $ не делится! Но заметим, что $ S $ должна делиться на $ m ,$ то есть $ 60K + 21m $ должно делиться на $ m .$ Так как $ 60K $ делится на $ m $ $($поскольку $ 60 $ делится на $ m $ для $ m=3.4,5.6 ),$ то $ 21m $ должно делиться на $ m ,$ что верно. Поэтому условие выполнено.

$а)$ Число $351$:
$$ 351 : 60 = 5 \cdot 60 = 300, \quad 351- 300 = 51. $$
Остаток $51,$ а не $21.$ Поэтому оно не может быть среди записанных чисел.

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Пусть отношение двух чисел равно $11.$ То есть, есть числа $ a = 60k + 21 $ и $ b = 60l + 21 $ такие, что:
$$ \frac{a}{b} = 11 \quad \Rightarrow \quad a = 11b $$ Подставим:
$$ 60k + 21 = 11(60l + 21) = 660l + 231 $$ Перенесем:
$$ 60k = 660l + 231- 21 = 660l + 210 $$ $$ k = 11l + \frac{210}{60} = 11l + 3.5 $$ Но $ k $ должно быть целым. Противоречие.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Пусть отношение двух чисел равно целому $ n $:
$$ a = n b, \quad \text{где } a = 60k + 21, \quad b = 60l + 21 $$ Тогда:
$$ 60k + 21 = n(60l + 21) = 60n l + 21n $$ Перенесем:
$$ 60k- 60n l = 21n- 21 $$$$ 60(k- n l) = 21(n- 1) $$Так как левая часть делится на $60, $ правая тоже должна делиться на $60$:
$$ 21(n- 1) \equiv 0 \pmod{60}. $$ Разложим на множители:
$$ 21(n- 1) = 3 \cdot 7 \cdot (n- 1) \quad \text{должно делиться на } 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $$Значит, $ n- 1 $ должно делиться на $ \frac{60}{\text{НОД}(60.21)} = \frac{60}{3} = 20 $:
$$ n- 1 \equiv 0 \pmod{20} \quad \Rightarrow \quad n = 20t + 1 $$Наименьшее натуральное $ n $ при $ t = 1 $: $ n = 21 .$

Проверим. Найдем $ k $ и $ l $ из уравнения:
$$ 60(k- 21l) = 21(21- 1) = 21 \cdot 20 = 420 $$ $$ k- 21l = \frac{420}{60} = 7 $$ Например, $ l = 0 ,$ тогда $ k = 7 .$ Тогда:
$$ b = 60 \cdot 0 + 21 = 21, \quad a = 60 \cdot 7 + 21 = 441 $$ И $ \frac{a}{b} = \frac{441}{21} = 21 .$

Таким образом, числа $21$ и $441$ могут быть среди записанных $($они дают остаток $21$ при делении на $60).$

Ответ: $в)\ 21.$

Итоговые ответы:
$а)$ нет;
$б)$ нет;
$в)\ 21.$

Обозначим:
Квадрат со стороной $ s ,$ его площадь $ s^2 .$
Прямоугольник шириной $ w $ и длиной $ l ,$ его площадь $ w \cdot l .$

По условию:
$1.$ Для каждого квадрата со стороной $ s $ существует прямоугольник шириной $ w = s- 5 $ и такой же площади:
$$ s^2 = w \cdot l = (s- 5) \cdot l \tag{1} $$ $2.$ Для каждого прямоугольника шириной $ w $ существует квадрат со стороной $ s = w + 5 $ и такой же площади:
$$ w \cdot l = s^2 = (w + 5)^2 \tag{2} $$
Из $(1)$ и $ (2)$ следует, что для каждой пары связанных фигур выполняется:
$$ s = w + 5, \quad s^2 = w \cdot l $$

$а)$ Пусть на столе лежит прямоугольник шириной $ w = 15 .$ Тогда для него должен существовать квадрат со стороной $ s = w + 5 = 20 ,$ площадь которого $ s^2 = 400 .$ Этот квадрат равен по площади прямоугольнику, поэтому:
$$ 15 \cdot l = 400 \quad \Rightarrow \quad l = \frac{400}{15} = \frac{80}{3} \notin \mathbb{N} $$ Длина не является натуральным числом. Противоречие.

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Пусть на столе лежит прямоугольник длиной $ l = 36 .$ Обозначим его ширину $ w .$ Тогда для него существует квадрат со стороной $ s = w + 5 ,$ такой что:
$$ w \cdot 36 = (w + 5)^2 $$ Раскроем:
$$ 36w = w^2 + 10w + 25 \quad \Rightarrow \quad w^2- 26w + 25 = 0 $$ Решим квадратное уравнение:
$$ w = \frac{26 \pm \sqrt{676- 100}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{26 \pm 24}{2} $$ Корни: $ w_1 = \frac{50}{2} = 25 ,$ $ w_2 = \frac{2}{2} = 1 .$

Оба корня натуральные. Проверим:
Если $ w = 25 ,$ то квадрат со стороной $ s = 30 ,$ площадь $ 900 .$ Площадь прямоугольника: $ 25 \cdot 36 = 900 .$
Если $ w = 1 ,$ то квадрат со стороной $ s = 6 ,$ площадь $ 36 .$ Площадь прямоугольника: $ 1 \cdot 36 = 36 .$

Таким образом, возможны два варианта.

Ответ: $б)$ Да.

$в)$ Найдем все возможные пары связанных фигур.

Из условия для прямоугольника шириной $ w $ и длины $ l $ и квадрата со стороной $ s = w + 5 $ имеем:
$$ w \cdot l = (w + 5)^2 $$ Выразим $ l $:
$$ l = \frac{(w + 5)^2}{w} = w + 10 + \frac{25}{w} $$ Так как $ l $ должно быть натуральным, $ \frac{25}{w} $ должно быть целым, то есть $ w $ — делитель $25.$ Натуральные делители $25$: $ 1, 5, 25 .$

Рассмотрим случаи:

$1.$ $ w = 1 $:
$ s = 6 ,$ $ l = 1 + 10 + 25 = 36 .$
Прямоугольник: $ 1 \cdot 36 ,$ площадь $36. $
Квадрат: $ 6 \cdot 6 ,$ площадь $36.$

$2.$ $ w = 5 $:
$ s = 10 ,$ $ l = 5 + 10 + 5 = 20 .$
Прямоугольник: $ 5 \cdot 20 ,$ площадь $100. $
Квадрат: $ 10 \cdot 10 ,$ площадь $100.$

$3.$ $ w = 25 $:
$ s = 30 ,$ $ l = 25 + 10 + 1 = 36 .$
Прямоугольник: $ 25 \cdot 36 ,$ площадь$ 900. $
Квадрат: $ 30 \cdot 30 ,$ площадь $900.$

Таким образом, существует три типа прямоугольников и три соответствующих им квадрата. Все фигуры различны. Максимальное количество фигур на столе — $6$ (все три пары).

Проверим, могут ли на столе лежать все $6$ фигур одновременно. Условие требует, чтобы для каждой фигуры существовала парная. Если мы положим все три прямоугольника и все три квадрата, то:
Для каждого квадрата есть прямоугольник $($например, для квадрата $6\times6$ — прямоугольник $1\times36).$
Для каждого прямоугольника есть квадрат $($например, для прямоугольника $1\times36$ — квадрат $6\times6).$

Условие выполнено.

Ответ: $в)\ 6.$

Итоговые ответы:
$а)$ нет;
$б)$ да;
$в)$ $6.$

$а)$ Пусть за футболиста проголосовало $ k $ человек из $14.$ Его рейтинг (округленный процент) равен $33.$ Это означает, что истинный процент $ \frac{k}{14} \cdot 100 $ округляется до $33.$ По правилам округления:
$$ 32.5 \leq \frac{k}{14} \cdot 100 < 33.5 \quad \Rightarrow \quad 0.325 \leq \frac{k}{14} < 0.335 $$ Умножим на $14$:
$$ 4.55 \leq k < 4.69 $$ Но $ k $ — целое число (количество голосов). В этом интервале нет целых чисел. Следовательно, такой рейтинг невозможен.

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Да, может. Приведем пример.
Пусть всего проголосовало $200$ человек. Распределение голосов:
За первого футболиста: $1$ голос.
За второго футболиста: $1$ голос.
За третьего футболиста: $198$ голосов.

Вычислим рейтинги (округленные проценты):
Первый: $ \frac{1}{200} \cdot 100 = 0.5 \% $ $ →$ округляется до $1.$
Второй: тоже $1.$
Третий: $ \frac{198}{200} \cdot 100 = 99 \% $ $→$ округляется до $99.$

Сумма рейтингов: $ 1 + 1 + 99 = 101 > 100 .$

Ответ: $б)$ Да.

$в)$ Пусть до Васиного голоса было подано $ n $ голосов, из них $ k $ — за данного футболиста. Его рейтинг был равен $6,$ значит:
$$ 5.5 \leq \frac{k}{n} \cdot 100 < 6.5 \quad \Rightarrow \quad 0.055 \leq \frac{k}{n} < 0.065 \tag{1} $$ После того как Вася проголосовал за этого футболиста, общее число голосов стало $ n+1 ,$ число голосов за футболиста — $ k+1 .$ Рейтинг остался равным $ 6$:
$$ 5.5 \leq \frac{k+1}{n+1} \cdot 100 < 6.5 \quad \Rightarrow \quad 0.055 \leq \frac{k+1}{n+1} < 0.065 \tag{2} $$
Преобразуем неравенства $(1)$ и $(2)$:
Из $(1)$: $ 0.055n \leq k < 0.065n .$
Из $(2)$: $ 0.055(n+1) \leq k+1 < 0.065(n+1) $
$ \Rightarrow 0.055n + 0.055 \leq k+1 < 0.065n + 0.065 $
$ \Rightarrow 0.055n- 0.945 \leq k < 0.065n- 0.935 .$

Таким образом, $ k $ должно удовлетворять двум условиям:
$$ \max(0.055n, 0.055n- 0.945) \leq k < \min(0.065n, 0.065n- 0.935) $$ Поскольку $ n $ велико, вторые границы более строгие. Фактически: $$ 0.055n \leq k < 0.065n- 0.935 \tag{3} $$ Чтобы такое $ k $ существовало, необходимо: $$ 0.055n < 0.065n- 0.935 \quad \Rightarrow \quad 0.01n > 0.935 \quad \Rightarrow \quad n > 93.5 $$ Значит, $ n \geq 94 .$

Проверим $ n = 94 $:
Левая граница: $ 0.055 \cdot 94 = 5.17 \Rightarrow k \geq 6 $ (так как $ k $ целое).
Правая граница: $ 0.065 \cdot 94- 0.935 = 6.11- 0.935 = 5.175 \Rightarrow k < 5.175 \Rightarrow k \leq 5 .$
Противоречие.

Проверим $ n = 107 $:
Левая граница: $ 0.055 \cdot 107 = 5.885 \Rightarrow k \geq 6 .$
Правая граница: $ 0.065 \cdot 107- 0.935 = 6.955- 0.935 = 6.02 \Rightarrow k < 6.02 \Rightarrow k \leq 6 .$
Таким образом, $ k = 6 $ удовлетворяет.

Проверим условия:
До голоса: $ \frac{6}{107} \cdot 100 \approx 5.607 \% $ $→$ округляется до $6.$
После голоса: $ \frac{7}{108} \cdot 100 \approx 6.481 \% $$ →$ округляется до $6.$

Условие выполнено.

Таким образом, минимальное $ n = 107 ,$ а общее число голосов включая Васин: $ n + 1 = 108 .$

Ответ: $в)$ $108.$

Итоговые ответы:
$а)$ нет;
$б)$ да;
$в)$ $108.$

$а)$ Рассмотрим последовательность действий:
$1. $ Из числа $65$ вычтем утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $6 + 5 = 11,$ утроенная сумма: $3 \cdot 11 = 33.$
$$65- 33 = 32$$ $2.$ Из числа $32$ вычтем утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $3 + 2 = 5,$ утроенная сумма: $3 \cdot 5 = 15.$
$$32- 15 = 17$$ $3.$ К числу $17$ прибавим утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $1 + 7 = 8,$ утроенная сумма: $3 \cdot 8 = 24.$
$$17 + 24 = 41$$ Таким образом, из $65$ можно получить $41$ за три хода:
$$65 \to 32 \to 17 \to 41 $$
Ответ: да, могло.

$б)$ Заметим, что при выполнении операции (прибавление или вычитание утроенной суммы цифр) остаток числа по модулю $3$ не меняется.
Пусть $n$ — число, $S(n)$ — сумма его цифр. Тогда:
$$n \equiv n \pm 3S(n) \pmod{3} $$ поскольку $3S(n) \equiv 0 \pmod{3}.$

Найдем остатки от деления на $3$:
$65:3 = 21$ $($остаток $2 ), $ так как $65 = 3 \cdot 21 + 2.$
$43 : 3 = 14$ $($остаток $1 ),$ так как $43 = 3 \cdot 14 + 1.$

Остатки различны, поэтому из $65$ нельзя получить $43.$
Ответ: нет, не могло.

$в)$ Как показано в пункте $(б),$ при выполнении операции остаток числа по модулю $3$ сохраняется.
Число $65$ имеет остаток $2$ при делении на $3.$
Найдем наименьшее двузначное число с остатком $2$: это $11$ $($так как $11 = 3 \cdot 3 + 2 ). $

Покажем, как из $65$ получить $11$:
Приведем одну из возможных последовательностей:
$1.$ $65 + 3 \cdot (6 + 5) = 65 + 33 = 98$
$2.$ $98 + 3 \cdot (9 + 8) = 98 + 51 = 149$
$3.$ $149- 3 \cdot (1 + 4 + 9) = 149- 42 = 107$
$4.$ $107- 3 \cdot (1 + 0 + 7) = 107- 24 = 83$
$5.$ $83- 3 \cdot (8 + 3) = 83- 33 = 50$
$6.$ $50- 3 \cdot (5 + 0) = 50- 15 = 35$
$7.$ $35- 3 \cdot (3 + 5) = 35- 24 = 11$

Таким образом:
$$65 \to 98 \to 149 \to 107 \to 83 \to 50 \to 35 \to 11 $$ Ответ: наименьшее двузначное число, которое можно получить из $65,$ это $11.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ нет;
$в)\ 11.$

$а)$ Рассмотрим пример: числа $12,$ $13,$ $14,$ $15.$ Их последние цифры: $2,$ $3,$ $4,$ $5.$
Вычислим частные:
$$ \frac{12}{2} = 6, \quad \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}, \quad \frac{14}{4} = 3\frac{1}{2}, \quad \frac{15}{5} = 3 $$Сложим:
$$ 6 + 4\frac{1}{3} + 3\frac{1}{2} + 3 = 16 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 16 + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = 16\frac{5}{6} $$
Таким образом, $S = 16\frac{5}{6}$ возможно.
Ответ: да.

$б)$ Предположим, что такие числа существуют. Заметим, что в сумме $S = 369\frac{29}{126}$ знаменатель $126$ кратен $9,$ значит, среди знаменателей дробей (последних цифр) должно быть $9.$ Поэтому последние цифры четырех последовательных чисел — это $6,$ $7,$ $8,$ $9.$
Пусть числа имеют вид:
$$ 10x + 6, \quad 10x + 7, \quad 10x + 8, \quad 10x + 9 $$ Разделим каждое на его последнюю цифру и сложим:
$$ \frac{10x + 6}{6} + \frac{10x + 7}{7} + \frac{10x + 8}{8} + \frac{10x + 9}{9} $$ Упростим каждое слагаемое:
$$ \frac{10x}{6} + 1 + \frac{10x}{7} + 1 + \frac{10x}{8} + 1 + \frac{10x}{9} + 1 = 4 + 10x \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \right) $$ Вычислим сумму дробей: $$ \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} = \frac{84 + 72 + 63 + 56}{504} = \frac{275}{504} $$ Таким образом,
$$ S = 4 + 10x \cdot \frac{275}{504} = 4 + \frac{2\ 750x}{504} $$ Приравняем к $369\frac{29}{126} = \frac{369 \cdot 126 + 29}{126} = \frac{46\ 523}{126}$: $$ 4 + \frac{2\ 750x}{504} = \frac{46\ 523}{126} $$ Умножим обе части на $504$:
$$ 2\ 016 + 2\ 750x = 46\ 523 \cdot 4 = 186\ 092 $$ Тогда:
$$ 2\ 750x = 186\ 092- 2\ 016 = 184\ 076, \quad x = \frac{184\ 076}{2\ 750} = \frac{92\ 038}{1\ 375} $$ Число $\frac{92\ 038}{1 \ 375}$ не является целым. Противоречие.
Ответ: нет, такое $S$ невозможно.

$в)$ Пусть числа трехзначные. Чтобы $S$ было целым и наибольшим, выгодно взять числа с малыми последними цифрами (так как деление на маленькую цифру дает большое частное). Рассмотрим случай, когда последние цифры — $1,$ $2,$ $3,$ $4.$
Пусть числа имеют вид:
$$ 10x + 1, \quad 10x + 2, \quad 10x + 3, \quad 10x + 4 $$ Разделим на последние цифры и сложим:
$$ \frac{10x + 1}{1} + \frac{10x + 2}{2} + \frac{10x + 3}{3} + \frac{10x + 4}{4}$$ $$= (10x + 1) + (5x + 1) + \left( \frac{10x}{3} + 1 \right) + \left( \frac{5x}{2} + 1 \right) $$ Упростим:
$$ 10x + 1 + 5x + 1 + \frac{10x}{3} + 1 + \frac{5x}{2} + 1 = (10x + 5x) + \left( \frac{10x}{3} + \frac{5x}{2} \right) + 4 $$ Приведем подобные:
$$ 15x + \frac{20x + 15x}{6} + 4 = 15x + \frac{35x}{6} + 4 = \frac{90x + 35x}{6} + 4 = \frac{125x}{6} + 4 $$ Чтобы $S$ было целым, $\frac{125x}{6}$ должно быть целым, то есть $x$ должно делиться на $6.$
Поскольку числа трехзначные, $x$ принимает значения от $10$ до $99.$ Наибольшее $x,$ кратное $6,$ это $96.$
Подставим $x = 96$:
$$ S = \frac{125 \cdot 96}{6} + 4 = \frac{12\ 000}{6} + 4 = 2\ 000 + 4 = 2\ 004 $$
Проверим для чисел: $961,$ $962,$ $963,$ $964.$
$$ \frac{961}{1} + \frac{962}{2} + \frac{963}{3} + \frac{964}{4} = 961 + 481 + 321 + 241 = 2\ 004 $$
Если последние цифры другие, то каждое слагаемое не превосходит $\frac{999}{2} = 499.5$ (так как минимальная последняя цифра — $2$), и сумма $S \leq 4 \cdot 500 = 2\ 000.$
Таким образом, наибольшее целое $S$ равно $2\ 004.$
Ответ: $2\ 004.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ нет;
$в)$ $2\ 004.$

$а)$ Рассмотрим пример: числа $109,$ $110,$ $111,$ $112.$
Выберем цифру для деления каждого числа:
Для $109$ делим на $1$: $\frac{109}{1} = 109.$
Для $110$ делим на $1$: $\frac{110}{1} = 110.$
Для $111$ делим на $1$: $\frac{111}{1} = 111.$
Для $112$ делим на $2$: $\frac{112}{2} = 56.$

Сумма: $109 + 110 + 111 + 56 = 386.$
Ответ: да, может.

$б)$ Предположим, что сумма равна $9.125 = 9\frac{1}{8} = \frac{73}{8}.$
Чтобы получить дробную часть $\frac{1}{8},$ хотя бы одно число должно делиться на $8$ (так как другие знаменатели дадут в сумме дробь с другим знаменателем).

Пусть одно из чисел делится на $8.$ Наименьшее такое число $($с цифрой $8 )$ — это $81.$ Тогда $\frac{81}{8} = 10.125,$ что уже больше $9.125.$

Если взять число меньше $81$ $($например, $80 ),$ но его последняя цифра $0,$ а по условию делить можно только на цифру, не равную нулю.

Таким образом, даже одно слагаемое не может быть меньше $10.125,$ поэтому сумма $S \geq 10.125 > 9.125.$

Ответ: нет, не может.

$в)$ Чтобы сумма $S$ была наибольшей, нужно делить каждое число на наименьшую возможную цифру $($лучше всего на $1 ),$ так как это даст наибольшее частное.

По условию, числа от $200$ до $699.$ Наибольшие числа в этом диапазоне, которые содержат цифру $1$ $($чтобы можно было делить на $1 ),$ это $699,$ но $699$ не содержит $1.$

Рассмотрим четыре последовательных числа, которые все содержат цифру $1$: это $616,$ $617,$ $618,$ $619.$
Для каждого делим на $1$:
$$ \frac{616}{1} + \frac{617}{1} + \frac{618}{1} + \frac{619}{1} = 616 + 617 + 618 + 619 = 2470 $$ Проверим, можно ли получить больше. Если хотя бы одно число не делится на $1$ $ ($т.е. не содержит цифру $1 ), $ то его придется делить на цифру не меньше $2,$ и частное будет не более $\frac{699}{2} = 349.5.$
Тогда сумма:
$$ S \leq 699 + 699 + 699 + 349.5 = 2\ 446.5 $$
Так как $2470 > 2446.5,$ то вариант с числами $616 -619$ дает наибольшую целую сумму.
Ответ: наибольшее целое значение суммы равно $2\ 470.$

Итоговый ответ:
$а) $ да;
$б)$ нет;
$в)$ $2\ 470.$

$а)$ Да, например:
$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = \frac{6}{42} + \frac{1}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} $$ Ответ: да.

$б)$ Да, например:
$$ \frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} $$ Ответ: да.

$в)$ Покажем, что одной или двумя дробями представить $\frac{3}{7}$ невозможно.

Одной дробью: $\frac{3}{7} = \frac{1}{x}$ implies $x = \frac{7}{3},$ не натуральное.
Двумя дробями: пусть $\frac{3}{7} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},$ где $x \neq y$ натуральные. Без ограничения общности, пусть $x < y.$ Тогда:
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{7} < \frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad 3x < 14 \quad \Rightarrow \quad x \leq 4 $$ Переберем возможные $x$:
$x = 1$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- 1 = -\frac{4}{7}$ — не подходит.

$x = 2$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{2} = \frac{6}{14}- \frac{7}{14} = -\frac{1}{14}$ — не подходит.

$x = 3$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{3} = \frac{9}{21}- \frac{7}{21} = \frac{2}{21}$ ⇒ $y = \frac{21}{2} = 10.5$ — не натуральное.

$x = 4$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{4} = \frac{12}{28}- \frac{7}{28} = \frac{5}{28}$ ⇒ $y = \frac{28}{5} = 5.6$ — не натуральное.

Таким образом, двумя дробями представить $\frac{3}{7}$ нельзя.

Теперь представим тремя дробями:
$$ \frac{3}{7} = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{28} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{28} = \frac{4}{28} + \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} $$
Все знаменатели различны.
Ответ: наименьшее количество слагаемых — $3.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ да;
$в)$ $3.$

$а)$ Рассмотрим число $A = 221.$ Его цифры: $2,$ $2,$ $1.$ Сумма цифр $S = 2 + 2 + 1 = 5.$
Тогда $A \cdot S = 221 \cdot 5 = 1\ 105.$

Ответ: да, может.

$б)$ Заметим, что число $A$ и сумма его цифр $S$ имеют одинаковые остатки при делении на $3$ $($так как $A \equiv S \pmod{3}$ по свойству делимости на $3 ). $

Рассмотрим возможные случаи:
Если $A \equiv 0 \pmod{3},$ то $S \equiv 0 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 0 \pmod{3}.$
Если $A \equiv 1 \pmod{3},$ то $S \equiv 1 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 1 \pmod{3}.$
Если $A \equiv 2 \pmod{3},$ то $S \equiv 2 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}.$

Таким образом, $A \cdot S$ может давать только остаток $0$ или $1$ при делении на $3.$
Число $1\ 106$ при делении на $3$ дает остаток $2,$ так как $1106 = 3 \cdot 368 + 2.$

Следовательно, равенство $A \cdot S = 1106$ невозможно.

Ответ: нет, не может.

$в)$ Найдем наименьшее значение $A \cdot S > 1\ 503.$

Заметим, что $A$ — трехзначное число $( 100 \leq A \leq 999 ),$ а $S$ — сумма его цифр $( 1 \leq S \leq 27 ). $

Так как $A \cdot S > 1\ 503,$ то $A \geq \frac{1\ 503}{27} \approx 55.67,$ что всегда верно для трехзначных чисел.

Из пункта $(б)$ мы знаем, что $A \cdot S \equiv 0$ или $1 \pmod{3}.$

Рассмотрим числа, начиная с $1\ 504$:
$1\ 504 : 3 = 501$ $($остаток $1 )$ — возможный остаток.

Проверим, можно ли представить $1\ 504$ в виде $A \cdot S.$
Разложим $1\ 504$ на множители: $1\ 504 = 2^5 \cdot 47.$

Возможные делители $A$ (трехзначные) должны быть кратны $47$:
$47 \cdot 2 = 94$ (не трехзначное),
$47 \cdot 4 = 188$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{188} = 8.$

Число $188$: сумма цифр $1 + 8 + 8 = 17 \neq 8.$

$47 \cdot 8 = 376$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{376} = 4.$

Сумма цифр $376$: $3 + 7 + 6 = 16 \neq 4.$

$47 \cdot 16 = 752$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{752} = 2.$

Сумма цифр $752$: $7 + 5 + 2 = 14 \neq 2.$

$47 \cdot 32 = 1\ 504$ (не трехзначное).

Таким образом, $1\ 504$ не подходит.

$1\ 505 : 3 = 501$ $($остаток $2 ) $ — недопустимый остаток $($должен быть $0$ или $1 ). $

$1\ 506 : 3 = 502$ $($остаток $0 )$ — возможный остаток.
Но если $A \cdot S$ делится на $3,$ то и $A,$ и $S$ делятся на $3.$ Тогда $A$ делится на $9$ $($так как сумма цифр $S$ делится на $3 ). $
Но $1\ 506$ не делится на $9$ $($сумма цифр $1+5+0+6=12$ не делится на $9 ).$ Противоречие.

$1\ 507 : 3 = 502$ $($остаток $1 )$ — возможный остаток.
Разложим $1\ 507$ на множители: $1\ 507 = 11 \cdot 137.$

Возможные трехзначные делители: $137$ и $11 \cdot 11 = 121$ $($но $121$ не кратно $137 ). $
Проверим $A = 137$: $S = \frac{1507}{137} = 11.$

Сумма цифр числа $137$: $1 + 3 + 7 = 11.$ Совпадает.

Таким образом, для $A = 137$ и $S = 11$ имеем $A \cdot S = 1\ 507.$

Ответ: наименьшее значение $A \cdot S > 1\ 503$ равно $1\ 507.$

Итоговый ответ:
$а) $ да;
$б)$ нет;
$в) $ $1\ 507.$