ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194312
а) Чему равно число способов записать число $1292$ в виде $1292 = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 \leq a_i \leq 99$, $i = 0, 1, 2, 3?$
б) Существуют ли $10$ различных чисел $N$ таких, что их можно представить в указанном виде ровно $130$ способами?
в) Сколько существует чисел $N$, представимых в указанном виде ровно $130$ способами?
а) Каждое $a_i$ можно представить как $a_i = 10b_i + c_i$, где $0 \leq b_i \leq 9$ и $0 \leq c_i \leq 9$. Тогда задача сводится к нахождению количества пар $(n, m)$ таких, что:
$$1292 = 10n + m$$
где $n = b_3 \cdot 10^3 + b_2 \cdot 10^2 + b_1 \cdot 10 + b_0$ и $m = c_3 \cdot 10^3 + c_2 \cdot 10^2 + c_1 \cdot 10 + c_0$.
Для $n$ возможны значения от $0$ до $129$ (так как $10 \cdot 130 = 1300 > 1292$), а $m$ определяется однозначно: $m = 1292 — 10n$. Таким образом, число способов равно $130$.
Ответ: $130$.
б) Рассмотрим числа от $1290$ до $1299$. Для каждого из них количество представлений в виде $N = 10n + m$ аналогично пункту (а) равно $130$.
Ответ: да.
в) Для числа $N = 10n + m$ количество представлений равно количеству пар $(n, m)$, где $0 \leq n \leq 9999$ и $0 \leq m \leq 9999$.
Условие $130$ способов выполняется для чисел $N$, у которых:
- Либо $N = 1290 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что дает $10$ чисел.
- Либо $N = 108690 + l$, где $l$ — цифра ($0 \leq l \leq 9$), что даёт ещё $10$ чисел.
Таким образом, всего таких чисел $20$.
Ответ: $20$.
Итоговые ответы:
а) $130$;
б) да;
в) $20$.
20
