ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194345
Над парой целых чисел $(a;b)$ проводится операция, после которой получается пара $(3a+b;3b-a)$.
а) Можно ли получить пару $(5;5)$ из некоторой исходной пары?
б) Верно ли, что если пара $(c;d)$ может быть получена операцией, то и пара $(-d;c)$ также может быть получена?
в) Найдите минимальное расстояние $|a-c|+|b-d|$ между парой $(9;2)$ и парой, полученной операцией из некоторой исходной пары.
а) Решим систему:
$$\begin{cases}3a+b=5 \\ 3b-a=5\end{cases}$$
Получаем $a=1$, $b=2$. Таким образом, $(1;2)\mapsto(5;5)$.
Ответ: да.
б) Пусть $(a;b)\mapsto(c;d)=(3a+b;3b-a)$. Тогда:
$$(-b;a)\mapsto(3(-b)+a;3a-(-b))=(-3b+a;3a+b)=(-d;c)$$
Ответ: да.
в) Найдем минимум выражения:
$$|3a+b-9|+|3b-a-2|$$
При $(a;b)=(2;2)$ получаем $(8;4)$, расстояние:
$$|8-9|+|4-2|=1+2=3$$
Докажем, что меньшее расстояние невозможно. Рассмотрим возможные случаи для $b$:
- При $b=1$:
- $6\leq3a\leq10$ ⇒ $a=2,3$
- $(2;1)\mapsto(7;1)$: расстояние $2+1=3$
- $(3;1)\mapsto(10;0)$: расстояние $1+2=3$
- При $b=2$:
- $(2;2)\mapsto(8;4)$: расстояние $1+2=3$
- $(3;2)\mapsto(11;3)$: расстояние $2+1=3$
Ответ: $3$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) да;
в) $3$.
20
