19. Числа и их свойства: #194225

а) Имеем систему уравнений:$$\begin{cases}a + b + c + d = 15 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 27 \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = 27$$

Выразим из первого уравнения $ c + d = 15-(a + b) $ и подставим:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(15-a-b) = 27$$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Пусть $ a = b + 1 ,$ тогда:$$(2b + 1) + (c-d)(14-2b) = 27$$
   Это уравнение не имеет натуральных решений.
2. Пусть $ c = d + 1 ,$ тогда:
   $$(a-b)(a + b) + (1)(15-a-b) = 27$$
   Решая, получаем $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$

Ответ: $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 .$

б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a + b + c + d = 19 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 19\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a + b) + (c-d)(c + d) = a + b + c + d$$

Это возможно только при $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Тогда:$$2b + 2d + 2 = 19 \implies b + d = 8.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.

Ответ: нет.

в) Имеем систему:$$\begin{cases}a + b + c + d = 1000 \\ a^2-b^2 + c^2-d^2 = 1000\end{cases}$$

Из второго уравнения следует $ a = b + 1 $ и $ c = d + 1 .$ Подставляя в первое:$$2a + 2d = 1000 \implies d = 500-a$$

Условия $ a > b > c > d $ дают:$$a > a-1 > 501-a > 500-a$$
Отсюда $ 251 < a < 500 .$ Количество целых $ a $:$$499-252 + 1 = 248$$

Ответ: $248.$

Итоговые ответы:
а) $ a = 7 ,$ $ b = 5 ,$ $ c = 2 ,$ $ d = 1 $;
б) нет;
в) $248$.