20. Числа и их свойства: #194227

а) Имеем систему уравнений:
$$\begin{cases}a+b+c+d=15 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=19\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=19$$

Выразим из первого уравнения $c+d=15-(a+b)$ и подставим:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(15-a-b)=19$$

Рассмотрим возможные случаи:

1. Пусть $a=b+1$, тогда:$$(2b+1)+(c-d)(14-2b)=19$$
   При $c-d=1$ получаем:$$2b+1+14-2b=19 \implies 15=19$$
   Неверно.

При $c-d=2$:$$2b+1+28-4b=19 \implies -2b=-10 \implies b=5$$
Тогда $a=6$, $c+d=4$, $c-d=2$ $\implies$ $c=3$, $d=1$.

Ответ: $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$.

б) Рассмотрим систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=23 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=23\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:$$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)=a+b+c+d$$

Это возможно только при $a=b+1$ и $c=d+1$. Тогда:$$2b+2d+2=23 \implies b+d=10.5$$
Что невозможно для натуральных чисел.

Ответ: нет.

в) Имеем систему:
$$\begin{cases}a+b+c+d=1200 \\ a^2-b^2+c^2-d^2=1200\end{cases}$$

Из второго уравнения следует $a=b+1$ и $c=d+1$. Подставляя в первое:$$2a+2d=1200 \implies d=600-a$$

Условия $a>b>c>d$ дают:$$a>a-1>601-a>600-a$$
Отсюда $301<a<600$. Количество целых $a$:$$599-302+1=298$$

Ответ: $298$.

Итоговые ответы:
а) $a=6$, $b=5$, $c=3$, $d=1$;
б) нет;
в) $298$.