ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194228
На окружности расставили натуральные числа от $1$ до $21$ (каждое число по одному разу). Для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше $11?$
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше $10?$
в) Для пар чисел, стоящих через одно, также нашли разности. Каково наибольшее целое $k$, при котором можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше $k?$
а) Рассмотрим число $11$. У него два соседа. Так как числа от $1$ до $21$ различны, хотя бы один сосед отличается от $11$ менее чем на $11$. Следовательно, минимум две разности будут меньше $11$.
Ответ: нет.
б) Пример подходящей расстановки:
$$1,12,2,13,3,14,4,15,5,16,6,17,7,18,8,19,9,20,10,21,11$$
Все соседние разности: $11,10,11,10,\ldots,10$.
Ответ: да.
в) Оценим максимальное возможное $k$:
- Числа от $1$ до $7$ должны быть расположены так, чтобы между любыми двумя было минимум два других числа (иначе найдется разность меньше $7$). Однако на $21$ числе это невозможно.
- Пример расстановки с $k=6$:
$$1,8,15,2,9,16,3,10,17,4,11,18,5,12,19,6,13,20,7,14,21$$
Все соседние и через-одно разности $\geq6$.
Ответ: $6$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $6$.
20
