ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
19. Числа и их свойства: #194251
Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый выставляет оценку — целое число баллов от $0$ до $10$ включительно. Все оценки различны. По старой системе рейтинг — среднее арифметическое всех оценок. По новой системе отбрасывают наименьшую и наибольшую оценки и вычисляют среднее арифметическое оставшихся.
а) Может ли разность рейтингов по старой и новой системам равняться $\dfrac{1}{30}?$
б) Может ли разность рейтингов по старой и новой системам равняться $\dfrac{1}{35}?$
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов.
Обозначим:
- $A=\dfrac{x_1+x_2+…+x_7}{7}$ — старый рейтинг
- $B=\dfrac{x_2+x_3+…+x_6}{5}$ — новый рейтинг (где $x_1$ — наименьшая, $x_7$ — наибольшая оценки)
а) Разность:
$$A-B=\frac{5(x_1+x_7)-2(x_2+…+x_6)}{35}$$
Для $A-B=\dfrac{1}{30}$:
$$\frac{5(x_1+x_7)-2(35A-7B)}{35}=\frac{1}{30}$$
Уравнение не имеет целочисленных решений.
Ответ: нет.
б) Для оценок $(0,1,2,4,7,8,9)$:
$$A=\frac{31}{7}, B=\frac{22}{5}$$
$$A-B=\frac{1}{35}$$
Ответ: да.
в) Максимальная разность достигается при:
- $x_1=0$ (минимальная возможная оценка)
- $x_7=10$ (максимальная возможная оценка)
- Остальные оценки минимально возможные: $1,2,3,4,5$
Тогда:
$$A=\frac{0+1+2+3+4+5+10}{7}=\frac{25}{7}$$
$$B=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$$
$$A-B=\frac{25}{7}-3=\frac{4}{7}$$
Ответ: $\dfrac{4}{7}$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) да;
в) $\dfrac{4}{7}.$
20
