19. Числа и их свойства: #194224

Пусть данное число равно $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно $(a \in {1, 2, \ldots, 9}$, $b, c \in {0, 1, \ldots, 9}$, причем $b$ и $c$ не равны нулю одновременно, так как число не кратно $100).$

Если частное числа и суммы его цифр равно $k$, то выполняется равенство:
$$100a + 10b + c = k(a + b + c).$$

а) Рассмотрим случай $k = 90$:$$100a + 10b + c = 90(a + b + c),$$ $$10a = 80b + 89c.$$
При $c = 0$ и $b = 1$:$$10a = 80 \implies a = 8.$$
Получаем число $810$. Проверим:$$\frac{810}{8 + 1 + 0} = 90.$$

Ответ: да.

б) Рассмотрим случай $k = 88$:$$100a + 10b + c = 88(a + b + c),$$ $$12a = 78b + 87c,$$ $$4a = 26b + 29c.$$
Попробуем $b = 0$, $c = 1$:$$4a = 29 \implies a = 7.25 \quad \text{(не целое)}.$$
Попробуем $b = 1$, $c = 0$:$$4a = 26 \implies a = 6.5 \quad \text{(не целое)}.$$

Ответ: нет.

в) Найдем наибольшее возможное значение $k$.

Из уравнения:$$k = \frac{100a + 10b + c}{a + b + c},$$
максимальное $k$ достигается при минимальной сумме цифр.

Для числа $910$:$$k = \frac{910}{9 + 1 + 0} = 91.$$

Проверим другие варианты:

• Для $900$ (кратно $100$) — не подходит.
• Для $909$: $k = \dfrac{909}{18} = 50.5$.
• Для $910$ дает максимальное целое $k = 91$.

Ответ: $91$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $91$.