19. Числа и их свойства: #210760

$а)$ Да, например:
$$ \frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = \frac{6}{42} + \frac{1}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6} $$ Ответ: да.

$б)$ Да, например:
$$ \frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} $$ Ответ: да.

$в)$ Покажем, что одной или двумя дробями представить $\frac{3}{7}$ невозможно.

Одной дробью: $\frac{3}{7} = \frac{1}{x}$ implies $x = \frac{7}{3},$ не натуральное.
Двумя дробями: пусть $\frac{3}{7} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},$ где $x \neq y$ натуральные. Без ограничения общности, пусть $x < y.$ Тогда:
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{7} < \frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad 3x < 14 \quad \Rightarrow \quad x \leq 4 $$ Переберем возможные $x$:
$x = 1$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- 1 = -\frac{4}{7}$ — не подходит.

$x = 2$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{2} = \frac{6}{14}- \frac{7}{14} = -\frac{1}{14}$ — не подходит.

$x = 3$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{3} = \frac{9}{21}- \frac{7}{21} = \frac{2}{21}$ ⇒ $y = \frac{21}{2} = 10.5$ — не натуральное.

$x = 4$: $\frac{1}{y} = \frac{3}{7}- \frac{1}{4} = \frac{12}{28}- \frac{7}{28} = \frac{5}{28}$ ⇒ $y = \frac{28}{5} = 5.6$ — не натуральное.

Таким образом, двумя дробями представить $\frac{3}{7}$ нельзя.

Теперь представим тремя дробями:
$$ \frac{3}{7} = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{28} $$ Проверим:
$$ \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{28} = \frac{4}{28} + \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} $$
Все знаменатели различны.
Ответ: наименьшее количество слагаемых — $3.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ да;
$в)$ $3.$