19. Числа и их свойства: #210768

$а)$ Рассмотрим число $A = 221.$ Его цифры: $2,$ $2,$ $1.$ Сумма цифр $S = 2 + 2 + 1 = 5.$
Тогда $A \cdot S = 221 \cdot 5 = 1\ 105.$

Ответ: да, может.

$б)$ Заметим, что число $A$ и сумма его цифр $S$ имеют одинаковые остатки при делении на $3$ $($так как $A \equiv S \pmod{3}$ по свойству делимости на $3 ). $

Рассмотрим возможные случаи:
Если $A \equiv 0 \pmod{3},$ то $S \equiv 0 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 0 \pmod{3}.$
Если $A \equiv 1 \pmod{3},$ то $S \equiv 1 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 1 \pmod{3}.$
Если $A \equiv 2 \pmod{3},$ то $S \equiv 2 \pmod{3},$ и $A \cdot S \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}.$

Таким образом, $A \cdot S$ может давать только остаток $0$ или $1$ при делении на $3.$
Число $1\ 106$ при делении на $3$ дает остаток $2,$ так как $1106 = 3 \cdot 368 + 2.$

Следовательно, равенство $A \cdot S = 1106$ невозможно.

Ответ: нет, не может.

$в)$ Найдем наименьшее значение $A \cdot S > 1\ 503.$

Заметим, что $A$ — трехзначное число $( 100 \leq A \leq 999 ),$ а $S$ — сумма его цифр $( 1 \leq S \leq 27 ). $

Так как $A \cdot S > 1\ 503,$ то $A \geq \frac{1\ 503}{27} \approx 55.67,$ что всегда верно для трехзначных чисел.

Из пункта $(б)$ мы знаем, что $A \cdot S \equiv 0$ или $1 \pmod{3}.$

Рассмотрим числа, начиная с $1\ 504$:
$1\ 504 : 3 = 501$ $($остаток $1 )$ — возможный остаток.

Проверим, можно ли представить $1\ 504$ в виде $A \cdot S.$
Разложим $1\ 504$ на множители: $1\ 504 = 2^5 \cdot 47.$

Возможные делители $A$ (трехзначные) должны быть кратны $47$:
$47 \cdot 2 = 94$ (не трехзначное),
$47 \cdot 4 = 188$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{188} = 8.$

Число $188$: сумма цифр $1 + 8 + 8 = 17 \neq 8.$

$47 \cdot 8 = 376$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{376} = 4.$

Сумма цифр $376$: $3 + 7 + 6 = 16 \neq 4.$

$47 \cdot 16 = 752$ (трехзначное), $S = \frac{1504}{752} = 2.$

Сумма цифр $752$: $7 + 5 + 2 = 14 \neq 2.$

$47 \cdot 32 = 1\ 504$ (не трехзначное).

Таким образом, $1\ 504$ не подходит.

$1\ 505 : 3 = 501$ $($остаток $2 ) $ — недопустимый остаток $($должен быть $0$ или $1 ). $

$1\ 506 : 3 = 502$ $($остаток $0 )$ — возможный остаток.
Но если $A \cdot S$ делится на $3,$ то и $A,$ и $S$ делятся на $3.$ Тогда $A$ делится на $9$ $($так как сумма цифр $S$ делится на $3 ). $
Но $1\ 506$ не делится на $9$ $($сумма цифр $1+5+0+6=12$ не делится на $9 ).$ Противоречие.

$1\ 507 : 3 = 502$ $($остаток $1 )$ — возможный остаток.
Разложим $1\ 507$ на множители: $1\ 507 = 11 \cdot 137.$

Возможные трехзначные делители: $137$ и $11 \cdot 11 = 121$ $($но $121$ не кратно $137 ). $
Проверим $A = 137$: $S = \frac{1507}{137} = 11.$

Сумма цифр числа $137$: $1 + 3 + 7 = 11.$ Совпадает.

Таким образом, для $A = 137$ и $S = 11$ имеем $A \cdot S = 1\ 507.$

Ответ: наименьшее значение $A \cdot S > 1\ 503$ равно $1\ 507.$

Итоговый ответ:
$а) $ да;
$б)$ нет;
$в) $ $1\ 507.$