20. Числа и их свойства: #210786

$а)$ Да, может.
Например, возьмем числа $ 4 $ и $ 6 .$ Все их цифры четны. Их сумма:
$$ S = 4 + 6 = 10 $$ Сумма цифр числа $ S = 10 $ равна $ 1 + 0 = 1 ,$ что является нечетным числом.

$б) $ Нет, не может.
Все записанные числа состоят из четных цифр. Поэтому каждое такое число четно. Сумма четных чисел также четна. Значит, число $ S $ четно, и его последняя цифра четна.

Если в записи $ S $ есть хотя бы одна четная цифра (в частности, последняя), то произведение всех цифр числа $ S $ будет четным (так как умножение на четное число дает четный результат). Следовательно, произведение цифр числа $ S $ не может быть нечетным.

$в)$ Так как число $ S $ четно (как сумма четных чисел), то хотя бы одна его цифра четна, и поэтому произведение цифр $ S $ не меньше $2$ (поскольку оно четно и натурально).

Покажем, что произведение цифр может быть равно $2.$
Рассмотрим число $ S ,$ десятичная запись которого состоит из $366$ цифр:
$$ S = \underbrace{111\ldots1}_{365\text{ единиц}}2 $$ То есть $365$ раз цифра $1$ и последняя цифра $2.$ Произведение цифр:
$$ 1^{365} \cdot 2 = 2 $$ Теперь покажем, что такое $ S $ действительно можно получить как сумму чисел с четными цифрами.

Заметим, что все цифры чисел четны $($т.е. $0, 2, 4, 6, 8 ).$ Поэтому каждое число можно представить в виде суммы степеней $10,$ умноженных на четные цифры.

Рассмотрим следующие числа:
Число $ a = \underbrace{888\ldots8}{365\text{ восьмерок}} $ (т.е. $ a = 8 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} ).$ Число $ b = \underbrace{222\ldots2}{365\text{ двоек}} $ (т.е. $ b = 2 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} ). $
Число $ c = 2 .$

Все цифры этих чисел четны. Их сумма:
$$ S = a + b + c = 8 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} + 2 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} + 2 = (8 + 2) \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} + 2 = 10 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} + 2 $$ Вычислим:
$$ 10 \cdot \frac{10^{365}- 1}{9} = \frac{10^{366}- 10}{9} $$ Тогда:
$$ S = \frac{10^{366}- 10}{9} + 2 = \frac{10^{366}- 10 + 18}{9} = \frac{10^{366} + 8}{9} $$ Проверим, что $ \frac{10^{366} + 8}{9} $ является целым числом. Заметим, что $ 10^{366} \equiv 1 \pmod{9} ,$ поэтому $ 10^{366} + 8 \equiv 1 + 8 = 9 \equiv 0 \pmod{9} ,$ значит, число целое.

Теперь запишем $ S $ в десятичной форме:
$$ 10^{366} + 8 = 1\underbrace{000\ldots0}{366\text{ нулей}} + 8 = 999\ldots9 + 9 \quad (\text{так как } 10^{366} = 999\ldots9 + 1, \text{ где 9 повторяется 366 раз}) $$ $$ \frac{10^{366} + 8}{9} = \frac{999\ldots9 + 9}{9} \quad (\text{поскольку } 10^{366}- 1 = 999\ldots9). $$ $$ \frac{10^{366} + 8}{9} = \frac{10^{366}- 1}{9} + 1 = \underbrace{111\ldots1}{366\text{ единиц}} + 1 $$
Но $ \underbrace{111\ldots1}_{366} + 1 = 111\ldots112 $ $(365$ единиц и затем $2).$ Действительно:
$$ 111\ldots111 + 1 = 111\ldots112 $$ Таким образом, $ S = 111\ldots112 $ $(365$ единиц и цифра $2).$ Произведение его цифр:
$$ 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot 2 = 2 $$ Значит, наименьшее возможное натуральное значение произведения цифр числа $ S $ равно $2.$

Ответ:
$а)$ Да;
$б)$ Нет;
$в)\ 2.$