20. Числа и их свойства: #210798

$а)$ Да, существуют.
Дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 + mx + n $ вычисляется по формуле:
$$ D = m^2- 4n $$ Требуется, чтобы $ D = 17 ,$ т.е.
$$ m^2- 4n = 17 $$ Например, возьмем $ m = 5 .$ Тогда:
$$ 25- 4n = 17 \quad \Rightarrow \quad 4n = 8 \quad \Rightarrow \quad n = 2 $$ Числа $ m = 5 $ и $ n = 2 $ — натуральные. Соответствующий трехчлен: $ x^2 + 5x + 2 .$

$б)$ Нет, не существуют.
Пусть $ D = m^2- 4n = 54 .$ Рассмотрим остатки от деления на $4$:
Если $ m $ четно, то $ m^2 $ делится на 4. Тогда $ m^2- 4n $ также делится на $4.$ Но $54$ при делении на $4$ дает остаток $2$ $($так как $ 54 = 4 \cdot 13 + 2 ).$ Противоречие.

Если $ m $ нечетно, то $ m^2 $ при делении на $4$ дает остаток $1.$ Тогда $ m^2- 4n $ дает остаток $1$ по модулю $4.$ Но $54$ дает остаток $2.$ Противоречие.

Таким образом, уравнение $ m^2- 4n = 54 $ не имеет решений в натуральных числах.

$в)$ Найдем дискриминант трехчлена $ x^2 + (3m + n)x + (3n + m) $:
$$ D = (3m + n)^2- 4(3n + m) $$ Раскроем скобки:
$$ D = 9m^2 + 6mn + n^2- 12n- 4m $$ Преобразуем выражение, выделяя полный квадрат относительно $ (3m + n) $:
$$ D = (3m + n)^2- 12n- 4m $$ Заметим, что $ -12n- 4m = -4(3n + m) ,$ но это не помогает. Попробуем другой подход:
Добавим и вычтем $36$:
$$ D = (3m + n)^2- 12(3m + n) + 32m $$ Действительно:
$$ (3m + n)^2- 12(3m + n) = 9m^2 + 6mn + n^2- 36m- 12n $$ $$ D = (9m^2 + 6mn + n^2- 36m- 12n) + 32m = 9m^2 + 6mn + n^2- 4m- 12n $$ что совпадает с исходным.

Теперь дополним до полного квадрата:
$$ D = (3m + n)^2- 12(3m + n) + 36 + 32m- 36 = (3m + n- 6)^2 + 32m- 36 $$ $$ D = (3m + n- 6)^2 + 32m- 36 $$ По условию $ m, n, D \in \mathbb{N} .$ Найдем наименьшее значение $ D .$

Зафиксируем $ m = 1 .$ Тогда:
$$ D = (3 \cdot 1 + n- 6)^2 + 32 \cdot 1- 36 = (n- 3)^2- 4 $$ $$ D = (n- 3)^2- 4 $$ Подберем натуральное $ n ,$ чтобы $ D $ было натуральным и минимальным.
При $ n = 1 $: $ D = (1- 3)^2- 4 = 4- 4 = 0 $ — но $0$ не является натуральным числом (натуральные числа — положительные целые).
При $ n = 2 $: $ D = (2- 3)^2- 4 = 1- 4 = -3 $ — отрицательно.
При $ n = 3 $: $ D = 0- 4 = -4 $ — отрицательно.
При $ n = 4 $: $ D = (4- 3)^2- 4 = 1- 4 = -3 $ — отрицательно.
При $ n = 5 $: $ D = (5- 3)^2- 4 = 4- 4 = 0 $ — не натурально.
При $ n = 6 $: $ D = (6- 3)^2- 4 = 9- 4 = 5 .$
При $ n = 7 $: $ D = (7- 3)^2- 4 = 16- 4 = 12 .$
При $ n \geq 6 $ значение $ D $ возрастает.
Таким образом, при $ m = 1, n = 6 $ получаем $ D = 5 .$

Проверим, что при $ m \geq 2 $ значение $ D $ будет больше.
Из выражения $ D = (3m + n- 6)^2 + 32m- 36 $ видно, что при $ m \geq 2 $:
$$ 32m- 36 \geq 64- 36 = 28 $$ а квадрат неотрицателен. Поэтому $ D \geq 28 .$
Следовательно, наименьшее натуральное значение $ D = 5 $ достигается при $ m = 1, n = 6 .$

Проверим трехчлен:
$$ x^2 + (3 \cdot 1 + 6)x + (3 \cdot 6 + 1) = x^2 + 9x + 19 $$ Его дискриминант: $ D = 81- 76 = 5 .$

Ответ:
$а)$ Да;
$б)$ Нет;
$в)\ 5.$