19. Числа и их свойства: #210752

$а)$ Рассмотрим пример: числа $109,$ $110,$ $111,$ $112.$
Выберем цифру для деления каждого числа:
Для $109$ делим на $1$: $\frac{109}{1} = 109.$
Для $110$ делим на $1$: $\frac{110}{1} = 110.$
Для $111$ делим на $1$: $\frac{111}{1} = 111.$
Для $112$ делим на $2$: $\frac{112}{2} = 56.$

Сумма: $109 + 110 + 111 + 56 = 386.$
Ответ: да, может.

$б)$ Предположим, что сумма равна $9.125 = 9\frac{1}{8} = \frac{73}{8}.$
Чтобы получить дробную часть $\frac{1}{8},$ хотя бы одно число должно делиться на $8$ (так как другие знаменатели дадут в сумме дробь с другим знаменателем).

Пусть одно из чисел делится на $8.$ Наименьшее такое число $($с цифрой $8 )$ — это $81.$ Тогда $\frac{81}{8} = 10.125,$ что уже больше $9.125.$

Если взять число меньше $81$ $($например, $80 ),$ но его последняя цифра $0,$ а по условию делить можно только на цифру, не равную нулю.

Таким образом, даже одно слагаемое не может быть меньше $10.125,$ поэтому сумма $S \geq 10.125 > 9.125.$

Ответ: нет, не может.

$в)$ Чтобы сумма $S$ была наибольшей, нужно делить каждое число на наименьшую возможную цифру $($лучше всего на $1 ),$ так как это даст наибольшее частное.

По условию, числа от $200$ до $699.$ Наибольшие числа в этом диапазоне, которые содержат цифру $1$ $($чтобы можно было делить на $1 ),$ это $699,$ но $699$ не содержит $1.$

Рассмотрим четыре последовательных числа, которые все содержат цифру $1$: это $616,$ $617,$ $618,$ $619.$
Для каждого делим на $1$:
$$ \frac{616}{1} + \frac{617}{1} + \frac{618}{1} + \frac{619}{1} = 616 + 617 + 618 + 619 = 2470 $$ Проверим, можно ли получить больше. Если хотя бы одно число не делится на $1$ $ ($т.е. не содержит цифру $1 ), $ то его придется делить на цифру не меньше $2,$ и частное будет не более $\frac{699}{2} = 349.5.$
Тогда сумма:
$$ S \leq 699 + 699 + 699 + 349.5 = 2\ 446.5 $$
Так как $2470 > 2446.5,$ то вариант с числами $616 -619$ дает наибольшую целую сумму.
Ответ: наибольшее целое значение суммы равно $2\ 470.$

Итоговый ответ:
$а) $ да;
$б)$ нет;
$в)$ $2\ 470.$