19. Числа и их свойства: #210728

$а) $ Рассмотрим число $175.$ Его цифры: $a = 1,$ $b = 7,$ $c = 5.$
Произведение цифр: $abc = 1 \cdot 7 \cdot 5 = 35.$
Частное числа и произведения его цифр: $\frac{175}{35} = 5.$
Ответ: да, может $($например, для числа $175 ). $

$б)$ Пусть число имеет цифры $a,$ $b,$ $c$ $($каждая от $1$ до $9 ).$ Тогда число равно $100a + 10b + c,$ а произведение цифр — $abc.$
Если частное равно $1,$ то:
$$ 100a + 10b + c = abc $$
Преобразуем:
$$ 100a + 10b + c- abc = 0 \quad \Rightarrow \quad a(100- bc) + 10b + c = 0 $$ Поскольку $a \geq 1,$ $b \geq 1,$ $c \geq 1,$ то $bc \leq 81,$ и значит, $100- bc \geq 19 > 0.$
Все слагаемые в левой части неотрицательны, и хотя бы одно положительно. Поэтому левая часть строго больше нуля.
Полученное равенство невозможно.
Ответ: нет, частное не может быть равно $1.$

$в)$ Частное числа и произведения его цифр:
$$ f(a, b, c) = \frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab} $$ Функция $f(a, b, c)$ убывает по каждому аргументу (при увеличении $a,$ $b$ или $c$ знаменатели дробей увеличиваются, и слагаемые уменьшаются).
Следовательно, наименьшее значение достигается при максимальных $a,$ $b,$ $c,$ то есть при $a = b = c = 9.$
Подставляем:
$$ f(9, 9, 9) = \frac{100}{9 \cdot 9} + \frac{10}{9 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 9} = \frac{100 + 10 + 1}{81} = \frac{111}{81} = \frac{37}{27} $$ Ответ: наименьшее значение частного равно $\frac{37}{27}.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ нет;
$в)$ $\frac{37}{27}.$