19. Числа и их свойства: #210729

Пусть корни уравнения — натуральные числа $ x_1 $ и $ x_2 .$ По теореме Виета:
$$ x_1 + x_2 = p, \quad x_1 \cdot x_2 = q. $$

$а)$ Дано $ q = 5 .$ Так как $ q $ — произведение двух натуральных чисел, и $5$ — простое число, то возможны только два случая:
$1.$ $ x_1 = 1 ,$ $ x_2 = 5 ,$ тогда $ p = 1 + 5 = 6 .$
$2.$ $ x_1 = 5 ,$ $ x_2 = 1 $ (то же самое).

Других вариантов нет, так как делители $5$ только $1$ и $5. $

Ответ: $а)$ $ p = 6 .$

$б)$ Предположим, что $ p < 10 $ и $ q > 30 $ одновременно.
Так как $ p $ и $ q $ натуральные, то $ p \leq 9 ,$ $ q \geq 31 .$

Дискриминант уравнения:
$$ D = p^2- 4q $$ Подставим значения:
$$ D \leq 9^2- 4 \cdot 31 = 81- 124 = -43 < 0 $$ Но $ D < 0 $ означает, что уравнение не имеет действительных корней, что противоречит условию (корни натуральные).

Следовательно, такие неравенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наименьшее $ p $ при $ q > 30 .$
Так как $ q > 30 $ и $ q $ натуральное, то $ q \geq 31 .$

Уравнение имеет натуральные корни, поэтому дискриминант неотрицательный:
$$ D = p^2- 4q \geq 0 \quad \Rightarrow \quad p^2 \geq 4q \geq 4 \cdot 31 = 124. $$
Так как $ p $ натуральное, то $ p \geq \sqrt{124} \approx 11.135 ,$ значит, $ p \geq 12 .$

Проверим, подходит ли $ p = 12 .$
Нужно подобрать натуральные $ x_1, x_2 $ такие, что:
$$ x_1 + x_2 = 12, \quad x_1 \cdot x_2 \geq 31 $$
Например, $ x_1 = 4 ,$ $ x_2 = 8 $:
$$ p = 4 + 8 = 12, \quad q = 4 \cdot 8 = 32 > 30 $$
Уравнение: $ x^2- 12x + 32 = 0 ,$ корни $ x = 4 $ и $ x = 8 $ — натуральные.

Таким образом, наименьшее значение $ p = 12 .$

Ответ: $в)$ $12.$

Итоговые ответы:
$а)\ 6; $
$б)$ нет;
$в)\ 12.$