19. Числа и их свойства: #210749

$а)$ Рассмотрим последовательность действий:
$1. $ Из числа $65$ вычтем утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $6 + 5 = 11,$ утроенная сумма: $3 \cdot 11 = 33.$
$$65- 33 = 32$$ $2.$ Из числа $32$ вычтем утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $3 + 2 = 5,$ утроенная сумма: $3 \cdot 5 = 15.$
$$32- 15 = 17$$ $3.$ К числу $17$ прибавим утроенную сумму его цифр:
Сумма цифр: $1 + 7 = 8,$ утроенная сумма: $3 \cdot 8 = 24.$
$$17 + 24 = 41$$ Таким образом, из $65$ можно получить $41$ за три хода:
$$65 \to 32 \to 17 \to 41 $$
Ответ: да, могло.

$б)$ Заметим, что при выполнении операции (прибавление или вычитание утроенной суммы цифр) остаток числа по модулю $3$ не меняется.
Пусть $n$ — число, $S(n)$ — сумма его цифр. Тогда:
$$n \equiv n \pm 3S(n) \pmod{3} $$ поскольку $3S(n) \equiv 0 \pmod{3}.$

Найдем остатки от деления на $3$:
$65:3 = 21$ $($остаток $2 ), $ так как $65 = 3 \cdot 21 + 2.$
$43 : 3 = 14$ $($остаток $1 ),$ так как $43 = 3 \cdot 14 + 1.$

Остатки различны, поэтому из $65$ нельзя получить $43.$
Ответ: нет, не могло.

$в)$ Как показано в пункте $(б),$ при выполнении операции остаток числа по модулю $3$ сохраняется.
Число $65$ имеет остаток $2$ при делении на $3.$
Найдем наименьшее двузначное число с остатком $2$: это $11$ $($так как $11 = 3 \cdot 3 + 2 ). $

Покажем, как из $65$ получить $11$:
Приведем одну из возможных последовательностей:
$1.$ $65 + 3 \cdot (6 + 5) = 65 + 33 = 98$
$2.$ $98 + 3 \cdot (9 + 8) = 98 + 51 = 149$
$3.$ $149- 3 \cdot (1 + 4 + 9) = 149- 42 = 107$
$4.$ $107- 3 \cdot (1 + 0 + 7) = 107- 24 = 83$
$5.$ $83- 3 \cdot (8 + 3) = 83- 33 = 50$
$6.$ $50- 3 \cdot (5 + 0) = 50- 15 = 35$
$7.$ $35- 3 \cdot (3 + 5) = 35- 24 = 11$

Таким образом:
$$65 \to 98 \to 149 \to 107 \to 83 \to 50 \to 35 \to 11 $$ Ответ: наименьшее двузначное число, которое можно получить из $65,$ это $11.$

Итоговый ответ:
$а)$ да;
$б)$ нет;
$в)\ 11.$