20. Числа и их свойства: #210742

$а)$ Пусть за футболиста проголосовало $ k $ человек из $14.$ Его рейтинг (округленный процент) равен $33.$ Это означает, что истинный процент $ \frac{k}{14} \cdot 100 $ округляется до $33.$ По правилам округления:
$$ 32.5 \leq \frac{k}{14} \cdot 100 < 33.5 \quad \Rightarrow \quad 0.325 \leq \frac{k}{14} < 0.335 $$ Умножим на $14$:
$$ 4.55 \leq k < 4.69 $$ Но $ k $ — целое число (количество голосов). В этом интервале нет целых чисел. Следовательно, такой рейтинг невозможен.

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Да, может. Приведем пример.
Пусть всего проголосовало $200$ человек. Распределение голосов:
За первого футболиста: $1$ голос.
За второго футболиста: $1$ голос.
За третьего футболиста: $198$ голосов.

Вычислим рейтинги (округленные проценты):
Первый: $ \frac{1}{200} \cdot 100 = 0.5 \% $ $ →$ округляется до $1.$
Второй: тоже $1.$
Третий: $ \frac{198}{200} \cdot 100 = 99 \% $ $→$ округляется до $99.$

Сумма рейтингов: $ 1 + 1 + 99 = 101 > 100 .$

Ответ: $б)$ Да.

$в)$ Пусть до Васиного голоса было подано $ n $ голосов, из них $ k $ — за данного футболиста. Его рейтинг был равен $6,$ значит:
$$ 5.5 \leq \frac{k}{n} \cdot 100 < 6.5 \quad \Rightarrow \quad 0.055 \leq \frac{k}{n} < 0.065 \tag{1} $$ После того как Вася проголосовал за этого футболиста, общее число голосов стало $ n+1 ,$ число голосов за футболиста — $ k+1 .$ Рейтинг остался равным $ 6$:
$$ 5.5 \leq \frac{k+1}{n+1} \cdot 100 < 6.5 \quad \Rightarrow \quad 0.055 \leq \frac{k+1}{n+1} < 0.065 \tag{2} $$
Преобразуем неравенства $(1)$ и $(2)$:
Из $(1)$: $ 0.055n \leq k < 0.065n .$
Из $(2)$: $ 0.055(n+1) \leq k+1 < 0.065(n+1) $
$ \Rightarrow 0.055n + 0.055 \leq k+1 < 0.065n + 0.065 $
$ \Rightarrow 0.055n- 0.945 \leq k < 0.065n- 0.935 .$

Таким образом, $ k $ должно удовлетворять двум условиям:
$$ \max(0.055n, 0.055n- 0.945) \leq k < \min(0.065n, 0.065n- 0.935) $$ Поскольку $ n $ велико, вторые границы более строгие. Фактически: $$ 0.055n \leq k < 0.065n- 0.935 \tag{3} $$ Чтобы такое $ k $ существовало, необходимо: $$ 0.055n < 0.065n- 0.935 \quad \Rightarrow \quad 0.01n > 0.935 \quad \Rightarrow \quad n > 93.5 $$ Значит, $ n \geq 94 .$

Проверим $ n = 94 $:
Левая граница: $ 0.055 \cdot 94 = 5.17 \Rightarrow k \geq 6 $ (так как $ k $ целое).
Правая граница: $ 0.065 \cdot 94- 0.935 = 6.11- 0.935 = 5.175 \Rightarrow k < 5.175 \Rightarrow k \leq 5 .$
Противоречие.

Проверим $ n = 107 $:
Левая граница: $ 0.055 \cdot 107 = 5.885 \Rightarrow k \geq 6 .$
Правая граница: $ 0.065 \cdot 107- 0.935 = 6.955- 0.935 = 6.02 \Rightarrow k < 6.02 \Rightarrow k \leq 6 .$
Таким образом, $ k = 6 $ удовлетворяет.

Проверим условия:
До голоса: $ \frac{6}{107} \cdot 100 \approx 5.607 \% $ $→$ округляется до $6.$
После голоса: $ \frac{7}{108} \cdot 100 \approx 6.481 \% $ $→$ округляется до $6.$

Условие выполнено.

Таким образом, минимальное $ n = 107 ,$ а общее число голосов, включая Васин: $ n + 1 = 108 .$

Ответ: $в)$ $108.$

Итоговые ответы:
$а)$ нет;
$б)$ да;
$в)$ $108.$